Из треугольника в звезду


По схеме подключения двигателей “звезда-треугольник” написано предостаточно. Но в каждой статье есть неточности и ошибки. Авторы просто переписывают друг у друга. Подозреваю, что большинство из них ни разу в жизни не подключали двигатель, а название схемы для них – лишь геометрические фигуры. Поэтому решил последовать народной мудрости “хочешь сделать хорошо – сделай это сам”, и написать эту статью.

Рассказываю, полагаясь на свой опыт и понимание вопроса. Как всегда, буду давать теорию и показывать, как это выглядит на практике.

Для начала, если кто совсем не в теме, из какой области знаний вообще это всё? Речь идёт об одном из распространенных способов подключения трехфазного асинхронного электродвигателя, при котором обмотки двигателя сначала подключаются к питающей сети по схеме “звезда”, а потом – по схеме “треугольник”. В молодых пытливых умах сразу возникнет вопрос – “Зачем это нужно?” ОК.

 

Зачем нужна схема “Звезда – Треугольник”?

Корень проблемы кроется в пусковых токах и чрезмерных нагрузках, которые испытывает двигатель, когда на него подают питание напрямую. Да что там двигатель – весь привод при пуске скрежещет и содрогается!


ВАЖНО! Если дочитали досюда, ознакомьтесь с моей статьёй про пусковые токи. Там очень подробно о том, откуда они берутся, как их узнать, посчитать и измерить.

Особенно это критично там, где нет понижающей передачи – редуктора или ремня на шкивах.

Особенно это важно там, где на валу двигателя насажено что-то массивное – крыльчатка или центрифуга.

Особенно это значимо там, где мощность двигателя – более 5 кВт, а скорость вращения большая (3000 об/мин).

Привод отличается от двигателя, как колесо от покрышки и как пускатель от контактора.

Так вот, для того, чтобы уменьшить мощность на валу двигателя во время пуска, его включают сначала на пониженное напряжение, он не спеша разгоняется, а потом врубают по полной, на номинальную мощность. Реализуется это не изменением напряжения реостатами и трансформаторами, а более хитро. Но по порядку.

 

Схемы “Звезда” и “Треугольник”

У любого классического трехфазного двигателя есть три обмотки статора. Они могут иметь разную конфигурацию в пространстве, дополнительные выводы, но их три.

Многоскоростные двигатели не в счёт.


Как подключить все эти 6 выводов, если у нашего источника питания всего 3 фазы?

На ум пришла статья про включение транзисторных датчиков. Там похожая ситуация – у датчика три вывода, а у нагрузки два…

Это простейшая логическая задача, у которой есть два решения – “Звезда” и “Треугольник”:

 

В результате имеем у каждой схемы три вывода, которые можно подключать к источнику питания. А вот почему напрямую подключать не всегда возможно, об этом статья.

Эти схемы также имеют названия “Delta” и “Star“, и могут обозначаться на схемах как D и S. Но чаще обозначение идёт от вида схем – Δ и Υ. Или D и Y.

Если интересно, можно у меня почитать, чем отличаются трехфазная система от однофазной, а линейное напряжение – от фазного.

На обратной крышке борно обычно указывают схемы подключения и обозначения выводов:

А что там свежего в группе ВК СамЭлектрик.ру?

Подписывайся, и читай статью дальше:

По по схемам мы плотно пройдёмся ниже.

И ещё немного теории.

Мощность на валу при подаче номинального напряжения будет одинакова хоть в Звезде, хоть в Треугольнике. А токи разные, ведь P=UI. Это происходит потому, что Напряжение питания в этих схемах отличается в √3 раз, ток – тоже. В “звезде” напряжение питания двигателя (линейное) больше номинала катушки, а в “треугольнике” ток питания двигателя больше тока катушки в 1,73 раза.


Другими словами, если “базовое” рабочее напряжение катушки равно 220 В, то напряжение в “Звезде” будет 1,73 · 220 = 380 В. Другими словами, Uл=1,73Uф, где Uф – это номинальное напряжение катушки, Uл – номинальное напряжение питания. Для треугольника ситуация повторяется, но только для тока.

Таким образом, если написано одно из напряжений, можно легко узнать другое напряжение и ток:

Вот этот же двигатель, вид на клеммы в коробке:

В данном случае на шильде приведён только треугольник, но чудес не бывает – этот двигатель может работать и в звезде, главное переключить правильно обмотки. Напряжение “Звезды” будет 1,73 · 400 = 690 В, ток в то же число меньше.

Кто хочет копнуть поглубже – в конце выложу для скачивания умные книги.

 

Какой двигатель можно подключать в “звезду-треугольник”, а какой нет?

Двигатели наша (и не наша) промышленность выпускает разные. Но наиболее ходовые у нас (большинство читателей подтвердит) – низковольтные, для работы в сетях 0,4 кВ 50 Гц. Мы будем рассматривать как раз такие асинхронники. Они бывают на 2 вида напряжения – 220/380 и 380/660 В. Первое число – это “треугольник”, второе – “звезда”. Такое разделение идёт в основном от мощности, “граница” проходит примерно по 4 кВт.

Бывают номиналы на новый стандарт 230/400 или 240/440 В, но это не так важно.


Как видим, оба вида имеют вариант подключения 380 В. В первом случае для этого нужно собрать схему “звезда”, во втором – “треугольник”.

Жаль, но тут возникла путаница, и нужно об этом помнить: Напряжения на двигателе обозначаются как “Треугольник/Звезда”, а схема, о которой речь – “Звезда/Треугольник”. В любом случае – номинальное напряжение в “Звезде” всегда больше в √3 раз!

Подробнее рассмотрим работу на этих напряжениях.

 

220/380 В

Вариант с низкими напряжениями 220/380 можно подключать на 220 В только в однофазную сеть через фазосдвигающий конденсатор либо от однофазного преобразователя частоты. И только в “Треугольнике”! А 380 В – можно подключать в трехфазную сеть через контактор, либо УПП, либо частотник только в “Звезде”! Важно, что такие двигатели для работы в схеме “Звезда/Треугольник” использовать нельзя!

Центральная точка звезды, обозначенная “0”, может быть подключена к нейтрали N, если она, конечно, есть. Но этого никто никогда не делает – ток по этому проводу будет мизерный, ибо двигатель – нагрузка симметричная.


Реальные примеры движков 220-380:

Как будет выглядеть подключение подобного двигателя в коробке:

Внизу “тройная” клемма – та самая точка “0”, которая никуда не подключается.

 

380/660 В

Вариант с высокими напряжениями 380/660 идеально подходит для работы в схеме “Звезда/Треугольник”. Для работы напрямую (через контактор или ПЧ) обмотки нужно собрать в “Треугольник”.

Напряжение питания 660 В в реальной жизни не используется, а схема, показанная справа, используется для “раскрутки” ротора.

Реальные примеры:

Вот этот же двигатель, его коробка борно:

Как же так? – скажете вы. 22 кВт на 380? Напрямую, что ли? Нет конечно, иначе при его включении “тухла” бы сеть всего цеха, а здоровье энергосетей ждало бы серьезное испытание. Тем более, что он раскручивает тяжелый маховик вырубного пресса (справа видна полумуфта). Двигатель подключен через частотник, в этом весь секрет.

 

Звезда / Треугольник: работа схемы

Хорош теорию, даёшь практику! Как же реализован алгоритм работы схемы? Если очень коротко, схема “Звезда-Треугольник” работает так.


1. Подается питание (а напряжение питания у нас во всех режимах 380 В) на выводы U1, V1, W1, а выводы U2, V2, W2 соединяются в одной точке. Реализуется схема “Звезда”, в которой вместо номинала 660 В подается 380 В:

2. Так двигатель работает несколько секунд (от 5 с до нескольких минут, зависит от тяжести пуска). Это время задается таймером (реле времени), который входит в состав схемы.

3. Далее питание полностью снимается на время второго таймера, двигатель по инерции вращается несколько периодов напряжения (время от 50 до 500 мс). Этот защитный интервал необходим для гарантированной безаварийной работы схемы. Контактор “звездного” режима должен успеть выключиться, прежде чем включится “треугольный” контактор. Ведь время выключения у контакторов всегда в несколько раз больше, чем время включения, из-за явлений намагничивания. К сожалению, эта пауза технически реализуется далеко не всегда…

4. После второго таймера включается основной режим, “Треугольник”, в котором двигатель получает нормальное питание и работает, пока его не выключат:

Всё, если коротко. Дальше будут временные диаграммы, будет всё понятно.

Есть варианты и без второго таймера, но с обязательной блокировкой включения “Треугольника”, пока не выключится “Звезда”.

Вот как я нарисовал для себя схемку много лет назад:

Но у меня приличный блог, поэтому дальше будет красиво и по порядку.

Теперь о том, как реализуется этот алгоритм. Для удобства разделим схему на две части, которые могут даже иметь разное питание – силовую и управляющую.

 

Реализация силовой части схемы

Понятно, что включение двигателя производится контакторами. Их нужно три.


Есть варианты схемы “Звезда-Треугольник” с использованием Преобразователей частоты и Устройств плавного пуска (мягкого пускателя, софтстартера), но не будем раздувать статью.

  1. КМ1 – это общий контактор, он подаёт питание на выводы U1, V1, W1 сразу и навсегда.
  2. КМ2 – контактор “Звезды”, он соединяет выводы U2, V2, W2 в одну точку на время разгона.
  3. КМ3 – контактор “Треугольника”, он подает питание на выводы U2, V2, W2 для дальнейшей работы в номинальном режиме.

Следите за цветами, буду и дальше их соблюдать для простоты восприятия:

  1. общий контактор КМ1 – синий,
  2. контактор “Звезды” КМ2 – зеленый,
  3. контактор треугольника КМ3 – красный.

 

Реализация части управления

Включать и выключать эти три контактора можно разными способами, вот несколько:

  1. Три тумблера. Самый простой и дешевый способ. А что? Главное соблюсти алгоритм!
  2. Специальный переключатель 0 – Y – Δ. Его можно купить или собрать самостоятельно, из любого галетного или кулачкового, типа ПКП.
  3. Релейная схема с таймером. Её рассмотрим ниже.
  4. Управление от специализированного реле. Это отдельная статья, следите за новостями.
  5. Управление от универсального контроллера (PLC). Тут рассматривать нечего – это тот же 1 или 2 вариант, только управляет не человек, а программа.

Слаботочная часть может быть вообще гальванически развязана от силовой, например через трансформатор 380 /110 В или блок питания 220 / 24 VDC. Более того, вообще питаться от аккумулятора 12 В. Главное, чтобы напряжение катушек пускателей соответствовало. Что такое гальваническая развязка и почему она безопасна – читайте про систему заземления IT.

Короче, вот простейшая схема:

В контактах с временной задержкой все постоянно путаются. У меня – правильно)

Что такое КМ1, КМ2, КМ3, вы уже знаете, а вот КА1 – это реле времени с задержкой при включении. Реле может быть любым, хоть электронным, хоть пневматическим типа ПВЛ. Главное, чтобы контакты переключались из исходного состояния через время задержки после подачи питания на КА1.

Я писал подробно про задержку времени в статье про приставку выдержку времени ПВЛ. Рекомендую, там обширная теоретическая часть.

Также годится электронное реле, как в статье про пневматический термопресс.

Подавать питание на схему (запускать двигатель) можно любыми способами – хоть тумблером, хоть через классическую схему с самоподхватом.


Минус такой схемы – есть опасность конфликта между КМ2 и КМ3. Поэтому я не очень люблю такую схему, т.к. она работает “на грани”, и её безаварийность очень зависит от механики и конструкции контакторов. Из-за этого могут подгорать контакты, а может и выбивать вводной автомат. Поэтому обязательно необходима блокировка (электрическая и желательно механическая):

Блокировка реализована на НЗ контактах, подробно об этом и не только в статье про подключение двигателя при помощи  магнитного пускателя. Между катушками показана механическая блокировка, не путать со схемой “Треугольник”!

Это реальная схема, можно её применять. Если что не понятно – спрашивайте.

Кстати, вместо КА1.1 можно поставить НО контакт с задержкой Отключения. То есть, включается сразу после подачи питания, выключается – через время. Но для этого нужно два отдельных реле времени с разными принципами работы, которые должны быть синхронизированы для гарантированной паузы. Именно так и реализуется в специализированных реле времени “Звезда-Треугольник”.

Да, ещё замечание. Иногда включение питания общего контактора КМ1 реализуют не напрямую, а через НО контакт “Звезды” КМ2, затем КМ1 становится на самоподхват через свой НО контакт. Это необходимо для дополнительной проверки работоспособности реле времени КА1.

 

Временные диаграммы работы схемы “Звезда-Треугольник”


С привязкой к моей схеме управления, диаграммы включения контакторов:

Тут вроде всё понятно, но есть одно важное замечание. Ещё раз. Между зеленой и красной областями обязательно нужен небольшой зазор (пауза). Его может не быть (пауза = 0), но эти области могут налазить друг на друга, если используются контакторы с катушкой постоянного тока (=24 VDC).  В особенности при использовании обратновключенного диода (а он обязателен!), время выключения может быть больше времени включения в 7-10 раз!

Это я к тому, что однажды мучался с такой схемой, в ней выбивал периодически вводной автомат. Поставили спец.реле с паузой, проблема была решена!

 

Реальный пример схемы

Вот реальный пример такой схемы на электронном реле времени:

Слева направо в нижнем ряду: КМ1, КМ2, КМ3, КА1.

А вот пример схемы с управлением от контроллера:

В группе ВК СамЭлектрик.ру есть фото и видео, как работает эта схема.

Видео, как щёлкают контакторы в этой схеме:

 

Вот как красиво оформили схему немцы в своём компрессоре:

На входе схемы – три провода, на выходе – шесть. Всё сходится)

 

Как переключить схему двигателя в “Звезду” и в “Треугольник” вручную

Если не нужна никакая автоматика, а двигатель работает постоянно в “Звезде” или в “Треугольнике”, то используя рожковый ключ, можно переключить схему соединения обмоток вручную.

На оборотной стороне крышки борно, как обычно, приведена схема:

Двигатель питался напрямую от трехфазной сети 380 В через контактор и был собран в “Звезду:

Откручиваем гайки М4, снимаем перемычки и провода питания:

Собираем схему в треугольник, на пониженное напряжение 220 В:

Переделка понадобилась в связи с тем, что нужно изменить скорость вращения двигателя, а для этого применить частотник. А частотники на такую мощность, как правило, однофазные. В результате – поехали!

Кстати, по частотникам планирую цикл статей, подписывайтесь!

 

Особенность работы в “Звезде”

В соответствии с ГОСТ 28173 (МЭК 60034-1) двигатели могут эксплуатироваться при отклонении напряжения ± 5 % или
отклонении частоты ± 2 %. При этом параметры двигателей могут отличаться от номинальных, а превышения температуры обмоток могут быть более предельного по ГОСТ 28173 (МЭК 60034-1) на 10 °С.

К чему это я? Дело в том, что при пуске, когда двигатель работает в “Звезде”, он работает не в режиме (напряжение отличается на 70%!), что может привести к его перегреву, если это будет длиться долго. Будьте внимательны, защищайте двигатель от перегрева и перегрузки! Но это уже совсем другая история)

 

Видео

Некоторые авторы тоже) доступно и интересно рассказывают о практической стороне вопроса в видео:

Скачать

Я постарался максимально раскрыть тему, но если вам нужны академические знания, пожалуйста:

• В.Л.Лихачев. Асинхронные электродвигатели. 2002 г. / Книга представляет собой справочник, в котором подробно описано устройство, принцип работы и характеристики асинхронных электродвигателей. Приводятся справочные данные на двигатели прошлых лет выпуска и современные. Описываются электронные пусковые устройства (инверторы), электроприводы., djvu, 3.73 MB, скачан:3289 раз./

• Беспалов, Котеленец — Электрические машины / Рассмотрены трансформаторы и электрические машины, используемые в современной технике. Показана их решающая роль в генерации, распределении, преобразовании и утилизации электрической энергии. Даны основы теории, характеристики, режимы работы, примеры конструкций и применения электрических генераторов, трансформаторов и двигателей., pdf, 16.82 MB, скачан:78 раз./

• Каталог двигателей Электромаш / Асинхронные электродвигатели с короткозамкнутым ротором — каталог производителя, pdf, 3.13 MB, скачан:45 раз./

• Каталог двигателей ВЭМЗ / Параметры и каталог двигателей, pdf, 3.53 MB, скачан:40 раз./

• Дьяков В.И. Типовые расчеты по электрооборудованию / Практические расчеты по электрооборудованию, теоретические сведения, методики расчета, примеры и справочные данные., zip, 1.53 MB, скачан:107 раз./

• Карпов Ф.Ф. Как проверить возможность подключения нескольких двигателей к электрической сети / В брошюре приведен расчет электрической сети на колебание напряжения при пуске и самозапуске асинхронных двигателей с коротко- замкнутым ротором и синхронных двигателей с асинхронным пуском. Рассмотрены условия, при которых допустим пуск и самозапуск двигателей. Изложение методов расчета иллюстрируется числовыми примерами. Брошюра предназначена для квалифицированных электромонтеров в качестве пособия при вы- боре типа электродвигателей, присоединяемых к коммунальной или промышленной электросети., zip, 1.9 MB, скачан:47 раз./

• Руководство по эксплуатации асинхронных двигателей / Настоящее руководство содержит наиболее важные указания по транспортировке, приемке, хранению, монтажу, пусконаладке, эксплуатации, техническому обслуживанию, поиску неисправностей и их устранению для электродвигателей производства «Электромашина». Руководство по эксплуатации предназначено для трехфазных асинхронных электродвигателей низкого и высокого напряжений серий А, АИР, МТН, МТКН, 4МТМ, 4МТКМ, ДА304, А4., pdf, 7.54 MB, скачан:80 раз./

 

P.S. Про использование специализированного реле времени “Звезда-Треугольник” читайте следующую статью.

 

Как всегда, жду уточнений и вопросов в комментариях!

Источник: SamElectric.ru

В этой статье я хотел бы рассказать как изменяется мощность двигателя при схеме соединения обмоток звезда – треугольник и наоборот.

В связи со спецификой своей работы я сталкиваюсь с ремонтов различных асинхронных двигателей и в большинстве случаев выход из строя двигателя происходит при неправильном переключении обмоток двигателя, так как люди не понимают, как изменяется мощность двигателя при переключении с треугольника на звезду и обратно, и как это может отразится на работоспособности самого двигателя.

Определение мощности при схеме соединения звезда

Известно [Л1. с. 34], что при соединении в звезду линейные токи Iл и фазные токи Iф равны между собой, при этом между фазным Uф и линейным напряжением Uл существует соотношение, где Uл = √3*Uф , в результате Uф = Uл/√3.

Исходя из этого, полная мощность определяется через линейные величины:

Определение мощности при схеме соединения треугольник

При схеме соединения в треугольник, фазные и линейные напряжения равны между собой Uл = Uф, при этом между токами существует соотношение: Iл = √3*Iф, в результате Iф = Iл/√3.

Исходя из этого, полная мощность определяется, как:

Для определения активной и реактивной мощности используются формулы:

Из-за того что формулы для схемы соединения звезды и треугольника имеют одинаковый вид, у мало опытных инженеров происходят недоразумения, будто вид соединения безразличен и ни на что не влияет.

Рассмотрим на примере, на сколько ошибочные данные утверждения. В данном примере будем рассматривать электродвигатель типа АИР90L2, который имеет две схемы подключения ∆/Y, технические характеристики двигателя:

  • коэффициент мощности cosφ = 0,84;
  • коэффициент полезного действия, η = 78,5%;

Определяем ток двигателя при напряжении 380 В и схеме соединения треугольник, мощность при таком соединении составляет 3 кВт:

Теперь соединим обмотки двигателя в звезду. В результате на фазную обмотку пришлось на 1,73 раза более низкое напряжение Uф = Uл/√3, соответственно и ток уменьшился в 1,73 раза, но так как при соединении в треугольник Uл = Uф, а линейный ток был в 1,73 раза больше фазного Iл = √3*Iф, то получается, что при соединении в звезду, мощность уменьшится в √3*√3 = 3 раза, соответственно и ток уменьшиться в 3 раза.

Из всего выше изложенного можно сделать, следующие выводы:

1. При переключении двигателя со звезды на треугольник, мощность двигателя увеличивается в 3 раза и наоборот. Использовать данные переключения, можно если схемы подключения двигателя позволяет выполнять переключения ∆/Y, в противном случае, двигатель может сгореть, когда Вы будете выполнять переключение со звезды на треугольник.

2. Как Вы уже поняли, используя схему переключения обмоток двигателя со звезды на треугольник, мы уменьшаем пусковые токи при пуске двигателя на пониженном напряжении, а затем его повышаем до номинального. Когда обмотки двигателя соединены в звезду, к каждой из них подводиться напряжение меньше номинального в 1,73 раза. В процессе пуска, двигатель увеличивает скорость вращения и ток снижается. В это время происходит переключение на треугольник.

Обращаю Ваше внимание, что двигатели, которые недогружены, работают с очень низким cosφ. Поэтому рекомендуется заменить недогруженный двигатель, на двигатель меньшей мощности. Если же у недогруженного двигателя, запас мощности велик, то cosφ можно поднять путем переключения обмоток с треугольника на звезду без риска перегреть двигатель.

Как мы видим ничего сложного нету в определении мощности при схеме звезда и треугольник.

Литература:

1. Звезда и треугольник. Е.А. Каминский, 1961 г.

Источник: raschet.info

Зачем?

Когда мы начали изучать электронику, резисторы были соединены либо последовательно, либо параллельно, и мы научились заменять такие комбинации их эквивалентными сопротивлениями, часто с целью уменьшения всей сети сопротивлений до единственного эквивалентного сопротивления, видимого из источника питания. После этого появились схемы (рисунок 1), которые содержали резисторы, которые не были ни последовательными, ни параллельными, но их всё же можно было убрать, тщательно определяя и сокращая фрагменты схемы в правильном порядке. Обратите внимание, что R1 не параллелен и не последователен ни с R2, ни с R3, но путем объединения R2 последовательно с R4, и объединяя R3 последовательно с R5, мы можем затем объединить эти два эквивалентных сопротивления параллельно и, наконец, объединив результат последовательно с R1, получить полное сопротивление, видимое источнику питания, которое, используя закон Ома, поможет получить общий ток источника питания.

Рисунок 1
Рисунок 1

Но теперь мы подошли к схемам (рисунок 2), где нет никаких пар резисторов, которые включены последовательно или параллельно, – похоже, мы зашли в тупик. Одним из способов анализа этой схемы является использование закона напряжений Кирхгофа (второй закон) и закона токов Кирхгофа (первый закон) для получения алгебраических уравнений, которые мы можем решить для напряжений и токов. Хотя этот подход будет работать всегда (для этой и большинства других типов схем), он может быть довольно громоздким. Мы могли бы смириться с этим как с ценой возможности анализа этих более сложных схем, но иногда мы можем избежать оплаты этого счета, изменяя или «преобразовывая» фрагменты схемы, чтобы превратить ее в нечто, что мы можем уменьшить, используя только правила последовательного/параллельного объединения.

Рисунок 2
Рисунок 2

Для простоты мы будем рассматривать только цепи постоянного тока с резисторами, но эти принципы применимы к любой линейной системе переменного или постоянного тока. Кроме того, чтобы сфокусировать обсуждение на преобразованиях, мы найдем только общий ток, поставляемый источником напряжения, что означает, что мы стремимся свести всю сеть резисторов в единое эквивалентное сопротивление.

Давайте рассмотрим эти две схемы немного подробнее (рисунок 3). Мы видим, что единственная разница между ними заключается в том, что находится внутри пунктирных окружностей. В каждом случае цепь в окружности имеет три контакта, которые пересекают окружность для взаимодействия с остальной частью схемы. В левой цепи (рисунок 3(a)) резисторы подключены к контактам в конфигурации «треугольник» (в англоязычной литературе, конфигурация «delta», «дельта», названная в честь заглавной греческой буквы Δ). А в правой цепи резисторы подключены в конфигурации «звезда» (в англоязычной литературе, конфигурация «wye», «уай», названная в честь заглавной английской буквы Y, хотя в схеме она перевернута).

Рисунок 3
Рисунок 3

Теперь представьте, что резисторы внутри пунктирной окружности в левой цепи помещены в черный ящик, этот ящик удален из схемы и заменен другим черным ящиком, который заставляет схему вести себя точно так же. Далее представьте, что, когда вы открываете, этот новый ящик он содержит три резистора, расположенных как в правой цепи. Кто бы ни придумал второй черный ящик, он очень тщательно выбрал значения резисторов так, чтобы эти два блока были неразличимы для остальной части схемы: мы знаем, как анализировать правую схему, и теперь мы знаем, что когда мы это делаем, результаты можно применить к левой схеме, потому что они эквивалентны. Вот зачем выполнять преобразования «треугольник→звезда» и «звезда→треугольник».

Основные соотношения

Чтобы определить уравнения, связывающие резисторы в цепи, соединенной треугольником, с резисторами в цепи, соединенной звездой, нам ничего не нужно, кроме наших надежных формул для последовательных/параллельных соединений (и немного алгебры). Идея заключается в выравнивании эквивалентных сопротивлений между соответствующими парами контактов при отключенном оставшемся контакте (рисунок 4)

Рисунок 4
Рисунок 4

Выполнив это для эквивалентного сопротивления между контактами B-C, мы получим:

[R_B + R_C = frac{R_{BC} left( R_{AB} + R_{AC} right) }{R_{AB} + R_{BC} + R_{AC}}]

Если мы повторим этот процесс для каждой другой пары контактов по очереди, мы получим еще два аналогичных уравнения, и любое из них даст нам необходимую нам информацию (при условии, что мы распознаем задействованную симметрию).

Частный случай: симметричные схемы

Если сопротивления в каждом плече цепи, соединенной треугольником или звездой, равны, такая цепь считается «симметричной». Это означает, что

[R_∆ = R_{AB} = R_{BC} = R_{AC}]

[R_Y = R_A = R_B = R_C]

Комбинация этого условия с соотношением из предыдущего раздела сразу приводит к уравнению преобразования для случая симметрии.

[2R_Y = frac{R_∆(2R_∆)}{3R_∆}]

[R_Y = frac{R_∆}{3}]

[R_∆ = 3R_Y]

Это гораздо более значительный результат, чем может показаться на первый взгляд, и причина довольно проста – когда инженеры проектируют схемы с соединениями треугольник или звезда, они часто стараются сделать эти схемы симметричными. Хотя, конечно, это не всегда возможно, и поэтому мы должны иметь возможность разобраться с общим случаем, когда схема не симметрична.

Общий случай преобразования треугольник→звезда

Для преобразования треугольник/звезда нам дана известная схема, соединенная треугольником, и мы хотим найти значения для эквивалентной схемы, соединенной звездой, – поэтому мы пытаемся найти {RA, RB, RC} для заданных {RAB, RBC, RAC}.

Мы начнем с того, что запишем наши основные соотношения из первоначального вида в несколько более компактной форме, определив новую величину, RΔS, которая равна сумме сопротивлений всех резисторов в цепи, соединенной треугольником.

[R_{ΔS}=R_{AB}+R_{BC}+R_{AC}]

Затем мы делаем перестановку нашего соотношения для получения вида линейного алгебраического уравнения с неизвестными {RA, RB, RC}.

[(0)R_A+(R_{ΔS})R_B+(R_{ΔS})R_C=R_{AB}R_{BC}+R_{BC}R_{AC}]

Поскольку у нас есть три неизвестных, нам нужно еще два уравнения. Они получаются из эквивалентных сопротивлений, видимых при рассмотрении двух других пар контактов. Выполнив это (или используя симметрию) мы получаем

[(R_{ΔS})R_A+(0)R_B+(R_{ΔS})R_C=R_{AB}R_{AC}+R_{BC}R_{AC}]

[(R_{ΔS})R_A+(R_{ΔS})R_B+(0)R_C=R_{AB}R_{AC}+R_{AB}R_{BC}]

Сложив эти два уравнения вместе и вычтя наше первое уравнение, мы получим

[2(R_{ΔS})R_A=2R_{AB}R_{AC}]

[R_A= {R_{AB}R_{AC} over R_{ΔS}}]

Мы можем решить систему уравнению для двух других неизвестных сопротивлений (или использовать симметрию), чтобы получить

[R_B= {R_{AB}R_{BC} over R_{ΔS}}]

[R_C= {R_{AC}R_{BC} over R_{ΔS}}]

Эти отношения могут быть обобщены очень компактно. Сопротивление, подключенное к каждому узлу в эквивалентной цепи, соединенной звездой, равно произведению сопротивлений, подключенных к соответствующему узлу в цепи, соединенной треугольником, деленному на сумму сопротивлений всех резисторов в треугольнике. Обычно это выражается формулой, такой как

[R_N= {R_{N1}R_{N2} over R_{ΔS}}]

где

  • RN – резистор, подключенный к контакту N в схеме «звезда»;
  • RN1 и RN2 – резисторы, подключенные к контакту N в схеме «треугольник»

Общий случай преобразования звезда→треугольник

Для преобразования звезда→треугольник нам дана известная схема, соединенная звездой, и мы хотим найти значения для эквивалентной схемы, соединенной треугольником. Следовательно, мы пытаемся найти {RAB, RBC, RAC} для заданных {RA, RB, RC}.

Это не так просто, как в случае преобразования треугольник→звезда потому, что неизвестные сопротивления перемножаются вместе, делая результирующие уравнения нелинейными. К счастью, мы можем обойти это неудобство, рассмотрев отношения сопротивлений резисторов в каждой цепи. Например, взяв отношение RA к RB, мы получаем

[{R_A over R_B} = { R_{AB}R_{AC} over R_{AB}R_{BC} } = {R_{AC} over R_{BC} }]

Другими словами, отношение сопротивлений резисторов, подключенных к любым двум контактам в схеме звезда, равно отношению сопротивлений резисторов, соединяющих те же самые два контакта с третьим контактом в схеме треугольник. Следовательно, два других соотношения будут следующими

[{R_B over R_C} = {R_{AB} over R_{AC} }]

[{R_A over R_C} = {R_{AB} over R_{BC} }]

Вооружившись этим, мы могли бы вернуться к нашим основным соотношениям и продолжить работу с ними, но в качестве отправной точки проще использовать одно из отношений из общего случая преобразования треугольник→звезда.

[R_A= {R_{AB}R_{AC} over R_{AB} + R_{BC}+R_{AC} }]

[R_{AB}R_{AC} = R_A (R_{AB} + R_{BC}+R_{AC})]

[R_{AB} = R_A left( {R_{AB} + R_{BC}+R_{AC} over R_{AC} } right)]

[R_{AB} = R_A left( {R_{AB} over R_{AC}} + {R_{BC} over R_{AC} } + 1 right)]

[R_{AB} = R_A left( {R_{B} over R_{C}} + {R_{B} over R_{A} } + 1 right)]

[R_{AB} = R_A + R_B + {R_AR_B over R_C } ]

Два других выражения получаются аналогично (или согласно симметрии):

[R_{BC} = R_B + R_C + {R_B R_C over R_A } ]

[R_{AC} = R_A + R_C + {R_A R_C over R_B } ]

Эти выражения могут быть обобщены очень компактно. Сопротивление, подключенное между каждой парой узлов в эквивалентной схеме, соединенной треугольником, равно сумме сопротивлений двух резисторов, подключенных к соответствующим узлам в схеме, соединенной звездой, плюс произведение сопротивлений этих двух резисторов, деленное на сопротивление третьего резистора.

Общий способ выразить это состоит в том, чтобы поместить правую часть под общим знаменателем, а затем отметить, что числитель в каждом выражении является суммой произведений каждой пары сопротивлений в цепи, соединенной звездой, а знаменатель – это сопротивление, подключенное к третьему контакту.

[R_{AB}={R_P over R_C}]

[R_P = R_A R_B + R_B R_C + R_A R_C]

Пример

Рисунок 5
Рисунок 5

Давайте поработаем с задачей, показанной на рисунке 5. Прежде чем мы начнем, давайте определим ожидаемый ответ, чтобы у нас была хорошая проверка того, является ли наш окончательный ответ правильным. Для этого рассмотрим роль мостового резистора 150 Ом. Этот резистор служит для уменьшения общего сопротивления, обеспечивая путь между левой и правой сторонами цепи. Следовательно, самое высокое эффективное сопротивление будет иметь место, если этот резистор будет удален полностью, и в этом случае полное сопротивление будет равно параллельной комбинации левой и правой сторон, что приведет к

[R_{экв.max}=(100 +220)||(470+330)=228,6 ; Ом]

С другой стороны, наименьшее общее сопротивление было бы получено путем уменьшения мостового резистора до прямого короткого замыкания, и в этом случае общее сопротивление было бы равно параллельной комбинации двух верхних резисторов, включенной последовательно с параллельной комбинацией двух нижних резисторов, что приведет к

[R_{экв.min}=(100||470)+(220||330)=214,5 ; Ом]

Теперь мы ЗНАЕМ, что наш ответ ДОЛЖЕН быть между этими двумя предельными значениями. Во многих случаях простой анализ границ, такой как этот, приводит к ответу, который «достаточно хорошо» подходит для данной цели, но давайте предположим, что это не так. Используя приведенные выше уравнения преобразования треугольник→звезда, мы сначала определяем сумму сопротивлений резисторов треугольника.

[R_{ΔS}=100+150+470=720 ; Ом]

А затем находим значение R1, перемножив сопротивления двух резисторов, которые подключены к верхнему контакту, и разделив это произведение на сумму всех трех сопротивлений.

[R_1={100⋅470 over 720}=65,28 ; Ом]

Повторим это же для R2.

[R_2={100⋅150 over 720}=20,83 ; Ом]

Мы могли бы повторить это еще раз для R3, но давайте, вместо этого, определим R3, используя свойства отношений.

[{R_3 over R_1}={150 over 100}⇒R_3=1,5R_1=97,92 ; Ом]

Теперь, когда у нас есть все сопротивления для эквивалентной схемы звезда, мы можем очень легко определить общее сопротивление.

[R_{экв.}=R_1+[(R_2+220)||(R_3+330)]=219,4 ; Ом]

Поскольку это значение находится между нашими минимальной и максимальной границами, мы полностью уверены, что это правильный ответ, или, даже если мы допустили ошибку, наш ответ довольно близок к правильному. Поэтому суммарный ток равен

[I={12; В over 219,4 ; Ом}=54,7 ; мА]

Заключение

Теперь мы увидели, что преобразования треугольник/звезда полезны, и, что более важно, увидели, как их можно легко выполнить, используя не более чем концепцию эквивалентных сопротивлений с использованием последовательных/параллельных комбинаций резисторов. Это может хорошо вам помочь, поскольку дает вам возможность вывести эти формулы на лету, если когда-нибудь возникнет в них необходимость, и у вас не будет подходящего справочного материала. Но что еще более важно, это должно служить для более прочного закрепления фундаментальных понятий в наборе инструментов, который хранится у вас в голове, позволяя вам использовать в своей работе еще более эффективные навыки анализа цепей.

В конце мы должны принять к сведению распространенное заблуждение, заключающееся в том, что преобразования треугольник↔звезда являются ЕДИНСТВЕННЫМ способом анализа цепей, которые нельзя уменьшить другими способами. В действительности, хотя эти преобразования могут сделать нашу жизнь проще, они не обязательны, поскольку ЛЮБОЙ контур, который можно проанализировать с их помощью, также можно проанализировать с помощью правил Кирхгофа, либо напрямую, либо с помощью одного из более формализованных методов их применения, включая метод контурных токов или метод узловых напряжений, а также с методиками, такими как эквивалентная схема Тевенина.

Оригинал статьи:

  • William Bahn. Delta/Wye Transforms: Behind the Scenes

Источник: radioprog.ru


You May Also Like

About the Author: admind

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Этот сайт использует Akismet для борьбы со спамом. Узнайте, как обрабатываются ваши данные комментариев.