Траектория движения луны относительно земли


Сидерический и синодический месяцы

Луна является естественным спутником Земли и ближайшим к ней небесным те­лом. Она обращается вокруг Зе­мли по эллиптической орбите в том же направлении, что и Зем­ля вокруг Солнца. Среднее расстояние Луны от Земли равно 384 400 км. Плоскость орбиты Луны наклонена к плоскости эк­липтики на 5°09′.

Точки пересечения орбиты Луны с эклиптикой называются узлами лунной орбиты. Движение Лупы вокруг Земли для наблюдателя представляется как ви­димое ее движение по небесной сфере. Видимый путь Луны по небесной сфере называется видимой орбитой Луны.

За сутки Луна перемещается по видимой орбите относительно звезд примерно на 13,2°, а относительно Солнца на 12,2°, так как Солнце за это время тоже перемещается по эклиптике в среднем на 1°. Промежуток времени, в течение которого Луна со­вершает полный оборот по своей орбите относительно звезд, назы­вается звездным, или сидерическим месяцем. Его продолжительность равна 27,32 средних солнечных суток.


Промежуток времени, в течение которого Луна совершает пол­ный оборот по своей орбите относительно Солнца, называется синодическим месяцем. Он равен 29,53 средних солнечных су­ток.

Сидерический и синодический месяцы различаются примерно на двое суток за счет движения Земли по своей орбите вокруг Солнца. На рисунке ниже показано, что при нахождении Земли на ор­бите в точке 1 Луна и Солнце наблюдаются на небесной сфере в одном и том же месте, например на фоне звезды К.

Через 27,32 сут, т. е. когда Лупа сделает полный оборот вокруг Земли, она снова будет наблюдаться на фоне той же звезды. Но так как Земля вме­сте с Луной за это время переместится по своей орбите относитель­но Солнца примерно на 27° и будет находиться в точке 2, то Луне необходимо еще пройти 27°, чтобы занять прежнее положение от­носительно Земли и Солнца, на что понадобится около 2 сут. Та­ким образом, синодический месяц длиннее сидерического на отре­зок времени, который нужен Луне, чтобы переместиться на 27°.

Движение Луны на небесной сфере

Период вращения Луны вокруг своей оси равен периоду ее об­ращения вокруг Земли. Поэтому Луна обращена к Земле всегда одной и той же стороной. Вследствие того, что Луна за одни сутки перемещается по небесной сфере с запада на восток, т. е. в сторо­ну, обратную суточному движению небесной сферы, на 13,2°, ее восход и заход ежесуточно запаздывают примерно на 50 мин.


Это ежедневное запаздывание приводит к тому, что Луна непрерывно меняет свое положение относительно Солнца, но через строго опре­деленный период времени вновь возвращается в исходное положе­ние. В результате движения Луны по видимой орбите происходит непрерывное и быстрое изменение ее экваториальных координат.

В среднем за сутки прямое восхождение Луны изменя­ется на 13,2°, а склонение — на 4°. Изменение экваториальных координат Луны происходит не только за счет ее быстрого дви­жения по орбите вокруг Земли, но и вследствие необычайной сложности этого движения. На Луну действуют многие силы, име­ющие различную величину и период, под влиянием которых все эле­менты лунной орбиты постоянно изменяются.

Наклон орбиты Луны к эклиптике колеблется в пределах от 4°59′ до 5°19′ за время, несколько меньшее полугода. Изменяются формы и размеры орбиты. Непрерывно с периодом 18,6 года меняется положение орбиты в пространстве, в результате чего происхо­дит перемещение узлов лунной орбиты навстречу движению Луны.
Это приводит к постоянному изменению угла наклона видимой ор­биты Луны к небесному экватору от 28°35′ до 18°17′. Поэтому пределы изменения склонения Луны не остаются постоянными. В некоторые периоды оно изменяется в пределах ±28°35′, а в дру­гие — ±18° 17′.

Смена лунных фаз во время движения на небесной сфере

Движение Луны на небесной сфере сопровождается непрерывным изменением ее внешнего вида. Происходит так называемая смена лунных фаз. Фазой Луны называется видимая часть лунной поверхности, освещенная солнечными лучами.


Рассмотрим, вследствие чего происходит изменение лунных фаз. Известно, что Луна светит отраженным солнечным светом- Половина ее поверхности всегда освещена Солнцем. Но вследствие различных взаимных положений Солнца, Луны и Земли освещен­ная поверхность представляется земному наблюдателю в разных видах. Принято разли­чать четыре фазы Луны: новолу­ние, первая четверть, пол­нолуние и последняя чет­верть.

Во время новолуния Луна про­ходит между Солнцем и Землей. В этой фазе Луна обращена к Зем­ле неосвещенной стороной, и поэто­му она не видна земному наблюда­телю.

В фазе первой четверти Луна находится в таком положении, что наблюдатель видит ее в виде поло­вины освещенного диска.

Во время полнолуния Луна находится в на­правлении, противоположном на­правлению на Солнце. Поэтому к Земле обращена вся освещенная сторона Луны и она видна в виде полного диска. После полнолуния видимая с Земли освещенная часть Луны постепенно уменьшается.

Когда Луна достигает фазы последней четверти, она снова видна в виде половины освещенного диска. В Северном полушарии в пер­вой четверти освещена правая половина диска Луны, а в послед­ней — левая.

В промежутке между новолунием и первой четвертью и в про­межутке между последней четвертью и новолунием к Земле обра­щена небольшая часть освещенной Луны, которая наблюдается в виде серпа. В промежутках между первой четвертью и полнолу­нием, полнолунием и последней четвертью Луна видна в виде ущербленного диска.


Полный цикл смены лунных фаз происходит в течение строго определенного периода времени. Его называют периодом фаз. Он равен синодическому месяцу, т. е. 29,53 сут.

Промежуток времени между основными фазами Луны равен примерно 7 сут. Количество дней, прошедших с момента новолу­ния, принято называть возрастом Луны. С изменением возраста изменяются и точки восхода и захода Луны.

Движение Луны вокруг Земли является причиной лунных и солнечных затмений — затмения происходят только тогда, когда Солнце и Луна одновременно располагаются вблизи узлов лунной орбиты. Солнечное затмение происходит, когда Луна находится ме­жду Солнцем и Землей, т. е. в период новолуния, а лунное — когда Земля находится между Солнцем и Луной, т. е. в период полно­луния.

Источник: starcatalog.ru

Происхождение

По исследованиям ученых, Земля и Луна образовались примерно в одно время. Возраст обоих тел составляет 4,5 миллиарда лет. Существует несколько теорий происхождения спутника. Каждая из них объясняет отдельные особенности Луны, но оставляет несколько нерешенных вопросов. Наиболее близкой к истине сегодня считается теория гигантского столкновения.


Согласно гипотезе, планета, по своим размерам сходная с Марсом, столкнулась с молодой Землей. Удар пришелся по касательной и стал причиной выброса в космос большей части вещества этого космического тела, а также некоторого количества земного «материала». Из этого вещества и сформировался новый объект. Радиус орбиты Луны первоначально составлял шестьдесят тысяч километров.

Гипотеза гигантского столкновения хорошо объясняет многие особенности строения и химического состава спутника, большинство характеристик системы Луна-Земля. Однако, если брать теорию за основу, все же остаются непонятными некоторые факты. Так, дефицит железа на спутнике можно объяснить лишь тем, что ко времени столкновения на обоих телах произошла дифференциация внутренних слоев. На сегодняшний день нет доказательств, что подобное имело место. И тем не менее, несмотря на подобные контраргументы, гипотеза гигантского столкновения считается основной во всем мире.

Параметры

Луна, как и большинство других спутников, не имеет атмосферы. Обнаружены лишь следы кислорода, гелия, неона и аргона. Температура поверхности на освещенных и затемненных участках поэтому сильно отличается. На солнечной стороне она может подниматься до +120 ºС, а на темной опускаться до -160 ºС.

Среднее расстояние между Землей и Луной составляет 384 тысячи км. По форме спутник — практически идеальный шар. Разница между экваториальным и полярным радиусом небольшая. Они составляют 1738,14 и 1735,97 км соответственно.


Полный оборот Луны вокруг Земли занимает чуть больше 27 дней. Движение спутника по небу для наблюдателя характеризуется сменой фаз. Время от одного полнолуния до другого несколько больше указанного периода и составляет примерно 29,5 дней. Разница возникает потому, что Земля и спутник также движутся вокруг Солнца. Луне, чтобы оказаться в первоначальном положении, приходится преодолевать чуть больше одного круга.

Система «Земля-Луна»

Луна — спутник, несколько отличающий от остальных подобных объектов. Главная его особенность в этом смысле — это масса. Она оценивается в 7,35*1022 кг, что составляет примерно 1/81 от аналогичного параметра Земли. И если сама масса не является чем-то из ряда вон выходящим на космических просторах, то ее соотношение с характеристикой планеты нетипично. Как правило, отношение масс в системах «спутник-планета» несколько меньше. Аналогичным соотношением могут похвастаться только Плутон и Харон. Эти два космические тела некоторое время назад стали характеризовать как систему двух планет. Похоже, что такое обозначение справедливо и в случае с Землей и Луной.

Движение Луны по орбите

Спутник совершает один оборот вокруг планеты относительно звезд за сидерический месяц, который длится 27 дней 7 часов и 42,2 минуты. Орбита Луны по форме представляет собой эллипс. В разные периоды спутник располагается то ближе к планете, то дальше от нее. Расстояние между Землей и Луной при этом изменяется от 363 104 до 405 696 километров.


С траекторией движения спутника связано еще одно доказательство в пользу предположения о том, что Землю со спутником необходимо рассматривать как систему, состоящую из двух планет. Орбита Луны располагается не вблизи экваториальной плоскости Земли (как это свойственно большинству спутников), а практически в плоскости вращения планеты вокруг Солнца. Угол между эклиптикой и траекторией движения спутника составляет чуть больше 5º.

Орбита движения Луны вокруг Земли подвержена влиянием многих факторов. В связи с этим определение точной траектории спутника — задача не самая простая.

Немного истории

Теория, объясняющая, как движется Луна, была заложена еще в 1747 году. Автором первых расчетов, приблизивших ученых к пониманию особенностей орбиты спутника, стал французский математик Клеро. Тогда, в далеком восемнадцатом веке, обращение Луны вокруг Земли часто выдвигалось в качестве аргумента против теории Ньютона. Расчеты, сделанные с использованием закона всемирного тяготения, сильно расходились с видимым перемещением спутника. Клеро разрешил эту задачу.

Исследованием вопроса занимались такие известные ученые, как Даламбер и Лаплас, Эйлер, Хилл, Пюизо и другие. Современная теория обращения Луны фактически началась с работ Брауна (1923 г.). Исследования британского математика и астронома помогли устранить расхождения между расчетами и наблюдением.

Непростая задача


Движение Луны заключается в двух основных процессах: вращение вокруг оси и обращение вокруг нашей планеты. Вывести теорию, объясняющую перемещение спутника, было бы не так уж и сложно, если бы его орбита не подвергалась воздействию различных факторов. Это и притяжение Солнца, и особенности формы Земли, и гравитационные поля других планет. Подобные воздействия возмущают орбиту и предсказать точное положение Луны в конкретный период становится трудной задачей. Для того чтобы понять, в чем тут дело, остановимся на некоторых параметрах орбиты спутника.

Восходящий и нисходящий узел, линия апсид

Как уже говорилось, орбита Луны наклонена к эклиптике. Траектории движения двух тел пересекаются в точках, названных восходящим и нисходящим узлами. Располагаются они на противоположных сторонах орбиты относительно центра системы, то есть Земли. Воображаемая прямая, которая соединяет две эти точки, обозначается как линия узлов.

Ближе всего к нашей планете спутник оказывается в точке перигея. Максимальное расстояние разделяет два космических тела, когда Луна оказывается в апогее. Прямая, соединяющая две эти точки, называется линией апсид.

Возмущения орбиты

В результате влияния на перемещение спутника сразу большого числа факторов по сути оно представляет собой сумму нескольких движений. Рассмотрим наиболее заметные из возникающих возмущений.

Первая из них — это регрессия линии узлов. Прямая, соединяющая две точки пересечения плоскости лунной орбиты и эклиптики, не зафиксирована на одном месте. Она очень медленно перемещается в направлении, противоположном (потому и называется регрессией) движению спутника. Другими словами, плоскость орбиты Луны поворачивается в пространстве. На один полный оборот ей требуется 18,6 лет.


Движется и линия апсид. Перемещение прямой, соединяющий апоцентр и перицентр, выражается в повороте плоскости орбиты в ту же сторону, куда движется Луна. Происходит это гораздо быстрее, чем в случае линии узлов. Полный оборот занимает 8,9 лет.

Кроме того, лунная орбита испытывает колебания определенной амплитуды. С течением времени изменяется угол между ее плоскостью и эклиптикой. Диапазон значений — от 4°59′ до 5°17′. Так же, как и в случае с линией узлов, период таких колебаний составляет 18,6 лет.

Наконец, орбита Луны меняет свою форму. Она немного вытягивается, затем снова возвращается к первоначальной конфигурации. При этом меняется эксцентриситет орбиты (степень отклонения ее формы от окружности) от 0,04 до 0,07. Изменения и возвращение в первоначальное положение занимают 8,9 лет.

Не все так просто

В сущности, четыре фактора, которые необходимо учитывать во время расчетов, — это не так уж и много. Однако ими не исчерпываются все возмущения орбиты спутника. На самом деле, каждый параметр движения Луны испытывает постоянное воздействие большого числа факторов. Все это усложняет задачу по прогнозированию точного расположения спутника. А учет всех этих параметров часто представляет собой важнейшую задачу. Например, расчет траектории движения Луны и его точность влияет на успешность миссии космического аппарата, отправленного к ней.

Влияние Луны на Землю


Спутник нашей планеты сравнительно мал, однако его воздействие хорошо заметно. Пожалуй, всем известно, что именно Луна формирует приливы на Земле. Тут сразу нужно оговориться: Солнце также вызывает похожий эффект, но из-за гораздо большего расстояния приливное воздействие светила мало ощутимо. Кроме того, изменение уровня воды в морях и океанах связано и с особенностями вращения самой Земли.

Гравитационное воздействие Солнца на нашу планету примерно в двести раз больше, чем аналогичный параметр Луны. Однако приливные силы в первую очередь зависят от неоднородности поля. Расстояние, разделяющее Землю и Солнце, сглаживает их, поэтому воздействие близкой к нам Луны более мощное (в два раза значительнее, чем в случае светила).

Приливная волна образуется на той стороне планеты, которая в данный момент обращена к ночному светилу. На противоположной стороне также возникает прилив. Если бы Земля была неподвижной, то волна двигалась бы с запада на восток, располагаясь точно под Луной. Ее полный оборот завершался бы за 27 с небольшим дней, то есть за сидерический месяц. Однако период вращения Земли вокруг оси составляет чуть меньше 24 ч. В результате волна бежит по поверхности планеты с востока на запад и один оборот завершает за 24 часа и 48 минут. Поскольку волна постоянно встречается с материками, она смещается вперед по направлению движения Земли и опережает в своем беге спутник планеты.

Удаление орбиты Луны

Приливная волна вызывает перемещение огромной массы воды. Это непосредственным образом влияет на движение спутника. Внушительная часть массы планеты смещается с линии, соединяющей центры масс двух тел, и притягивает к себе Луну. В результате спутник испытывает воздействие момента силы, который ускоряет ее движение.

При этом материки, набегающие на приливную волну (они движутся быстрее волны, поскольку Земля вращается с большей скоростью, чем обращается Луна), испытывают воздействие силы, тормозящей их. Это приводит к постепенному замедлению вращения нашей планеты.

В результате приливного взаимодействия двух тел, а также действия законов сохранения энергии и момента импульса, спутник переходит на более высокую орбиту. При этом уменьшается скорость Луны. По орбите она начинает двигаться медленнее. Нечто похожее происходит и с Землей. Она замедляется, следствием чего является постепенное увеличение длительности суток.

Луна удаляется от Земли примерно на 38 мм в год. Исследования палеонтологов и геологов подтверждают расчеты астрономов. Процесс постепенного замедления Земли и удаления Луны начался примерно 4,5 миллиарда лет назад, то есть с момента образования двух тел. Данные исследователей свидетельствуют в пользу предположения, что раньше лунный месяц был короче, а Земля вращалась с большей скоростью.

Приливная волна возникает не только в водах мирового океана. Похожие процессы происходят и в мантии, и в земной коре. Однако они менее заметны, поскольку эти слои не столь податливы.

Удаление Луны и замедление Земли не будет происходить вечно. В конце концов, период вращения планеты сравняется с периодом обращения спутника. Луна «зависнет» над одним участком поверхности. Земля и спутник будут всегда повернуты одной и той же стороной друг к другу. Тут уместно вспомнить, что часть этого процесса уже завершена. Именно приливное взаимодействие привело к тому, что на небе всегда видна одна и та же сторона Луны. В космосе есть пример системы, пребывающей в подобном равновесии. Это уже называвшиеся Плутон и Харон.

Луна и Земля находятся в постоянном взаимодействии. Нельзя сказать, какое из тел больше влияет на другое. При этом оба подвергаются и воздействию Солнца. Значительную роль играют и другие, более удаленные, космические тела. Учет всех подобных факторов делает довольно трудной задачу точного построения и описания модели движения спутника по орбите вокруг нашей планеты. Однако огромное количество накопленных знаний, а также постоянно совершенствующая аппаратура позволяют более или менее точно спрогнозировать положение спутника в любое время и предсказать будущее, которое ожидает каждый объект в отдельность и систему Земля-Луна в целом.

Источник: FB.ru

Первый человек ступил на Луну 20 июля 1969 года, и это событие отметило пик в гонке по освоению космоса, которая развернулась за десять лет до этого между США и бывшим СССР. Несмотря на то, что Луна пока остается единственным телом, кроме Земли, на котором побывал человек лично, очень немногие знают о спутнике Земли все подробности. Перед вами восемь фактов, которых вы могли не знать о Луне.

Луна

  1. Луна не вращается вокруг Земли

Вместо этого она путешествует с нашей планетой — иногда ближе, иногда дальше — по мере вращения Земли вокруг Солнца. Причина, по которой мы думаем, что Луна вращается вокруг Земли, заключается в том, что именно так ее движение выглядит с нашей точки зрения.

Мы не знаем, как все это выглядит на большой картине. С течением года мы должны понимать, что Луна относительна Земли, как и Солнце. Луна не совершает петли вокруг Земли, подобно тому как Земля вращается вокруг Солнца. Путь Луны пролегает вокруг Солнца, и она движется в тандеме с Землей.

Путь Луны вокруг Солнца выглядит примерно так:

  1. На Земле есть лунные деревья

Сотни семян деревьев были привезены на Луну во время миссии «Аполлона-14» 1971 года. Бывший сотрудник американского лесничества (USFS) Стюарт Руза взял семена в качестве личного груза в рамках проекта NASA/USFS.

По возвращении на Землю эти семена прорастили, а полученные лунные саженцы высадили по всей территории Соединенных Штатов, в рамках празднования двухсотлетия страны в 1977 году.

  1. Нет никакой темной стороны

Положите кулак на стол, пальцами вниз. Вы видите его тыльную сторону. Кто-то по другую сторону стола будет видеть костяшки пальцев. Примерно так мы видим Луну. Поскольку она приливно заблокирована по отношению к нашей планете, мы будем всегда видеть ее с одной и той же точки зрения.

Понятие «темной стороны» Луны вышло из популярной культуры — вспомним альбом Pink Floyd 1973 года «Dark Side of the Moon» и одноименный триллер 1990 года — и означает на самом деле дальнюю, ночную, сторону. Ту, которую мы никогда не видим и которая противоположна ближайшей к нам стороне.

Впрочем, у нас есть фотографии этой самой «темной стороны».

  1. На отрезке времени мы видим больше половины Луны, благодаря либрации

Луна движется по своей орбитальному пути и удаляется от Земли (со скоростью порядка одного дюйма в год), провожая нашу планету вокруг Солнца.

Если бы вы смотрели на Луну в приближении по мере ее ускорения и замедления в процессе этого путешествия, вы также увидели бы, что она покачивается с севера на юг и с запада на восток в движении, известном как либрация. В результате этого движения мы видим часть сферы, которая обычно скрыта (порядка девяти процентов).

Впрочем, мы никогда не увидим другой 41%.

  1. Гелий-3 с Луны мог бы решить энергетические проблемы Земли

Солнечный ветер электрически заряжен и время от времени сталкивается с Луной и поглощается породами лунной поверхности. Один из наиболее ценных газов, которые имеются в этом ветре и которые поглощаются породами, это гелий-3, редкий изотоп гелия-4 (который обычно используется для воздушных шариков).

Гелий-3 отлично подойдет для удовлетворения нужд реакторов термоядерного синтеза с последующей генерацией энергии.

Сто тонн гелия-3 могли бы удовлетворить потребности Земли в энергии на год, если верить подсчетам Extreme Tech. Поверхности Луны содержит около пяти миллионов тонн гелия-3, тогда как на Земле его всего 15 тонн.

Идея такова: мы летим на Луну, добываем гелий-3 в шахте, набираем его в баки и отправляем на Землю. Правда, это может случиться очень нескоро.

  1. Есть ли доля правды в мифах о безумии полной луны?

На самом деле нет. Предположение, что мозг, один из самых водянистых органов человеческого тела, испытывает влияние луны, уходят корнями в легенды, которым несколько тысячелетий, еще во времена Аристотеля.

Поскольку гравитационное притяжение Луны управляет приливами земных океанов, а люди состоят на 60% из воды (и мозг на 73%), Аристотель и римский ученый Плиний Старший считали, что Луна должна оказывать похожий эффект на нас самих.

Эта идея породила термин «лунного безумия», «трансильванского эффекта» (который получил широкое распространение в Европе в период средневековья) и «лунного помешательства». Особого масла в огонь подлили фильмы 20 века, связавшие полную луну с психиатрическими расстройствами, автомобильными авариями, убийствами и другими происшествиями.

В 2007 году правительство британского приморского городка Брайтон распорядилось отправлять дополнительные полицейские патрули во время полнолуний (и в зарплатные дни тоже).

И все же наука говорит, что нет никакой статистической связи между поведением людей и полной луной, согласно нескольким исследованиям, одно из которых провели американские психологи Джон Роттон и Айвен Келли. Вряд ли Луна влияет на нашу психику, скорее она просто добавляет света, при котором удобно совершать преступления.

  1. Пропавшие лунные камни

В 70-х годах администрация Ричарда Никсона раздала камни, доставленные с лунной поверхности во время миссий «Аполлон-11» и «Аполлон-17», лидерам 270 стран.

«Мы хотели бы поделиться этими камнями со всеми странами нашего мира», — сказал астронавт «Аполлона-17» Юджин Сернан.

К сожалению, более сотни таких камней оказались пропавшими без вести и, как предполагается, отправились на черный рынок. Работая в NASA в 1998 году, Джозеф Гутхайнц даже провел тайную операцию под названием «Лунное затмение», чтобы положить конец незаконной продаже этих камней.

С чего была вся эта шумиха? Кусочек лунного камня размером с горошину оценивался в 5 миллионов долларов на черном рынке.

  1. Луна принадлежит Деннису Хоупу

По крайней мере он так считает.

В 1980 году, используя лазейку в Договоре ООН о космической собственности 1967 года, согласно которому «ни одна страна» не может претендовать на Солнечную систему, житель Невады Деннис Хоуп написал в ООН и объявил о праве на частную собственность. Ему не ответили.

Но зачем ждать? Хоуп открыл лунное посольство и начал продавать одноакровые участки по 19,99 доллара за каждый. Для ООН Солнечная система является почти такой же, как мировые океаны: за пределами экономической зоны и принадлежащие каждому жителю Земли. Хоуп утверждал, что продал внеземную недвижимость знаменитостям и трем бывшим президентам США.

Непонятно, действительно Деннис Хоуп не понимает формулировки договора или же пытается вынудить законодательные силы сделать правовую оценку своих действий, чтобы разработка небесных ресурсов началась при более прозрачных правовых условиях.

Источник: Hi-News.ru

Светлой памяти моего учителя — первого декана физико-математического факультета Новочеркасского политехнического института, заведующего кафедрой «Теоретическая механика» Кабелькова Александра Николаевича

Август, лето подходит к концу. Народ яростно рванул на моря, да оно и неудивительно — самый сезон. А на Хабре, тем временем, буйным цветом распускается и пахнет лженаука. Если говорить о теме данного выпуска «Моделирования…», то в нем мы совместим приятное с полезным — продолжим обещанный цикл и совсем чуть-чуть поборемся с этой самой лженаукой за пытливые умы современной молодежи.

А вопрос ведь действительной не праздный — со школьных лет мы привыкли считать, что наш ближайший спутник в космическом пространстве — Луна движется вокруг Земли с периодом 29,5 суток, особенно не вдаваясь в сопутствующие подробности. На самом же деле наша соседка своеобразный и в какой-то степени уникальный астрономический объект, с движением которого вокруг Земли не всё так просто, как, возможно хотелось бы некоторым моим коллегам из ближайшего зарубежья.

Итак, оставив полемику в стороне, попытаемся с разных сторон, в меру своей компетенции, рассмотреть эту безусловно красивую, интересную и очень показательную задачу.

Открытый ещё во второй половине 17 века, сэром Исааком Ньютоном, закон всемирного тяготения говорит о том, что Луна притягивается к Земле (и Земля к Луне!) с силой, направленной вдоль прямой, соединяющей центры рассматриваемых небесных тел, и равной по модулю

$F_{1,2} = G , frac{m_1 , m_2}{r_{1,2}^2} $

где m1, m2 — массы, соответственно Луны и Земли; G = 6,67e-11 м3/(кг * с2) — гравитационная постоянная; r1,2 — расстояние между центрами Луны и Земли. Если принимать во внимание только эту силу, то, решив задачу о движении Луны как спутника Земли и научившись рассчитывать положение Луны на небе на фоне звезд, мы довольно скоро убедимся, путем прямых измерений экваториальных координат Луны, что в нашей консерватории не всё так гладко как хотелось бы. И дело здесь не в законе всемирного тяготения (а на ранних этапах развития небесной механики такие мысли высказывались весьма нередко), а в неучтенном возмущении движения Луны со стороны других тел. Каких? Смотрим на небо и наш взгляд сразу упирается в здоровенный, массой аж 1,99e30 килограмм плазменный шар прямо у нас под носом — Солнце. Луна притягивается к Солнцу? Ещё как, с силой, равной по модулю

$F_{1,3} = G , frac{m_1 , m_3}{r_{1,3}^2} $

где m3 — масса Солнца; r1,3 — расстояние от Луны до Солнца. Сравним эту силу с предыдущей

$frac{F_{1,3}}{F_{1,2}} = frac{G , frac{m_1 , m_3}{r_{1,3}^2}}{G , frac{m_1 , m_2}{r_{1,2}^2}} = frac{m_3}{m_2} , left(frac{r_{1,2}}{r_{1,3}}right)^2$

Возьмем положение тел, в котором притяжение Луны к Солнцу будет минимальным: все три тела на одной прямой и Земля располагается между Луной и Солнцем. В этом случае наша формула примет вид:

$frac{F_{1,3}}{F_{1,2}} = frac{m_3}{m_2} , left(frac{rho}{a + rho}right)^2$

где

$rho = 3,844 cdot 10^{8}$

, м — среднее расстояние от Земли до Луны;

$a = 1,496cdot10^{11}$

, м — среднее расстояние от Земли до Солнца. Подставим в эту формулу реальные параметры

$frac{F_{1,3}}{F_{1,2}} = frac{1.99 cdot 10^{30}}{5.98cdot10^{24}} , left( frac{3.844cdot10^{8}}{1.496cdot10^{11} + 3.844cdot10^{8}}right)^2 = 2.19$

Вот это номер! Получается Луна притягивается к Солнцу силой, более чем в два раза превышающей силу её притяжения к Земле.

Подобное возмущение уже нельзя не учитывать и оно определенно повлияет на конечную траекторию движения Луны. Пойдем дальше, принимая во внимание допущение о том, что орбита Земли круговая с радиусом a, найдем геометрическое место точек вокруг Земли, где сила притяжения любого объекта к Земле равна силе его притяжения к Солнцу. Это будет сфера, с радиусом

$R = frac{a , sqrt{gamma}}{1 - gamma}$

смещенная вдоль прямой, соединяющей Землю и Солнце в сторону противоположенную направлению на Солнце на расстояние

$l = R , sqrt{gamma}$

где

$gamma = m_2 / m_3 $

— отношение массы Земли к массе Солнца. Подставив численные значения параметров получим фактические размеры данной области: R = 259300 километров, и l = 450 километров. Эта сфера носит название сферы тяготения Земли относительно Солнца.

Известная нам орбита Луны лежит вне этой области. То есть в любой точке траектории Луна испытывает со стороны Солнца существенно большее притяжение, чем со стороны Земли.

Эта информация, часто порождает споры, о том, что Луна не спутник Земли, а самостоятельная планета Солнечной системы, орбита которой возмущена притяжением близкой Земли.

Оценим возмущение, вносимое Солнцем в траекторию Луны относительно Земли, а так же возмущение, вносимое Землей в траекторию Луны относительно Солнца, воспользовавшись критерием, предложенным П. Лапласом. Рассмотрим три тела: Солнце (S), Землю (E) и Луну (M).
Примем допущение, что орбиты Земли относительно Солнца и Луны относительно Земли являются круговыми.

Рассмотрим движение Луны в геоцентрической инерциальной системе отсчета. Абсолютное ускорение Луны в гелиоцентрической системе отсчета определяется действующими на неё силами тяготения и равно:

$vec a_1 = vec a_1^{(3)} + vec a_1^{(2)} = frac{1}{m_1} , vec F_{1,3} + frac{1}{m_1} , vec F_{1,2}$

С другой стороны, в соответствии с теоремой Кориолиса, абсолютное ускорение Луны

$vec a_1 = vec a_2 + vec a_{1,2}$

где

$vec a_2$

— переносное ускорение, равное ускорению Земли относительно Солнца;

$vec a_{1,2}$

— ускорение Луны относительно Земли. Ускорения Кориолиса здесь не будет — выбранная нами система координат движется поступательно. Отсюда получаем ускорение Луны относительно Земли

$vec a_{1,2} = frac{1}{m_1} , vec F_{1,3} + frac{1}{m_1} , vec F_{1,2} - vec a_2$

Часть этого ускорения, равная

$ vec a_1^{(2)} = frac{1}{m_1} , vec F_{1,2}$

обусловлена притяжением Луны к Земле и характеризует её невозмущенное геоцентрическое движение. Оставшаяся часть

$Delta vec a_{1,3} = frac{1}{m_1} , vec F_{1,3} - vec a_2$

ускорение Луны, вызванное возмущением со стороны Солнца.

Если рассматривать движение Луны в гелиоцентрической инерциальной системе отсчета, то всё намного проще, ускорение

$vec a_1^{(3)} = frac{1}{m_1} , vec F_{1,3} $

характеризует невозмущенное гелиоцентрическое движение Луны, а ускорение

$Delta vec a_{1,2} = frac{1}{m_1} , vec F_{1,2} $

— возмущение этого движения со стороны Земли.

При существующих в текущую эпоху параметрах орбит Земли и Луны, в каждой точке траектории Луны справедливо неравенство

$frac{|Delta vec a_{1,3}|}{|vec a_{1}^{(2)}|} < frac{|Delta vec a_{1,2}|}{|vec a_{1}^{(3)}|}quadquad(1) $

что можно проверить и непосредственным вычислением, но я сошлюсь на источник, дабы излишне не загромождать статью.

Что означает неравенство (1)? Да то, что в относительном выражении эффект от возмущения Луны Солнцем (причем очень существенно) меньше эффекта от притяжения Луны к Земле. И наоборот, возмущение Землей геолиоцентрической траектории Луны оказывает решающее влияние на характер её движения. Влияние земной гравитации в данном случае более существенно, а значит Луна «принадлежит» Земле по праву и является её спутником.

Интересным является другое — превратив неравенство (1) в уравнение можно найти геометрическое место точек, где эффекты возмущения Луны (да и любого другого тела) Землей и Солнцем одинаковы. К сожалению это у же не так просто, как в случае со сферой тяготения. Расчеты показывают, что данная поверхность описывается уравнением сумасшедшего порядка, но близка к эллипсоиду вращения. Всё что мы может сделать без лишних заморочек, это оценить общие габариты этой поверхности относительно центра Земли. Решая численно уравнение

$frac{|Delta vec a_{1,3}|}{|vec a_{1}^{(2)}|} = frac{|Delta vec a_{1,2}|}{|vec a_{1}^{(3)}|}quadquad(2) $

относительно расстояния от центра Земли до искомой поверхности на достаточном количестве точек, получаем сечение искомой поверхности плоскостью эклиптики

Для наглядности здесь показаны и геоцентрическая орбита Луны и, найденная нами выше сфера тяготения Земли относительно Солнца. Из рисунка видно, что сфера влияния, или сфера гравитационного действия Земли относительно Солнца есть поверхность вращения относительно оси X, сплющенная вдоль прямой, соединяющей Землю и Солнце (вдоль оси затмений). Орбита Луны находится глубоко внутри этой воображаемой поверхности.

Для практических расчетов данную поверхность удобно аппроксимировать сферой с центром в центра Земли и радиусом равным

$r = a , left(frac{m}{M} right)^{frac{2}{5}}quadquad(3)$

где m — масса меньшего небесного тела; M — масса большего тела, в поле тяготения которого движется меньшее тело; a — расстояние между центрами тел. В нашем случае

$r = a , left(frac{m_2}{m_3} right)^{frac{2}{5}} = 1.496cdot10^{11} , left(frac{5.98cdot10^{24}}{1.99cdot10^{30}} right)^{frac{2}{5}} = 925000,, км$

Вот этот недоделанный миллион километров и есть тот теоретический предел, за который власть старушки Земли не распространяется — её влияние на траектории астрономических объектов настолько мало, что им можно пренебречь. А значит, запустить Луну по круговой орбите на расстоянии 38,4 млн. километров от Земли (как делают некоторые лингвисты) не получится, это физически невозможно.

Эта сфера, для сравнения, показана на рисунке синей пунктирной линией. При оценочных расчетах принято считать, что тело, находящееся внутри данной сферы будет испытывать тяготение исключительно со стороны Земли. Если тело находится снаружи данной сферы — считаем что тело движется в поле тяготения Солнца. В практической космонавтике известен метод сопряжения конических сечений, позволяющий приближенно рассчитать траекторию космического аппарата, используя решение задачи двух тел. При этом всё пространство, которое преодолевает аппарат разбивается на подобные сферы влияния.

Например, теперь понятно, для того чтобы иметь теоретическую возможность совершить маневры для выхода на окололунную орбиту, космический аппарат должен попасть внутрь сферы действия Луны относительно Земли. Её радиус легко рассчитать по формуле (3) и он равен 66 тысяч километров.

Таким образом, Луна справедливо может считаться спутником Земли. Однако, ввиду существенно влияния гравитационного поля Солнца она движется не в центральном гравитационном поле, а значит её траектория не является коническим сечением.

Итак, рассмотрим модельную задачу в общей постановке, известную в небесной механике как задача трех тел. Рассмотрим три тела произвольной массы, расположенных произвольным образом в пространстве и движущихся исключительно под действием сил взаимного гравитационного притяжения

Тела считаем материальными точками. Положение тел будем отсчитывать в произвольном базисе, с которым связана инерциальная система отсчета Oxyz. Положение каждого из тел задается радиус-вектором соответственно

$vec r_1$

,

$vec r_2$

и

$vec r_3$

. На каждое тело действует сила гравитационного притяжения со стороны двух других тел, причем в соответствии с третьей аксиомой динамики точки (3-й закон Ньютона)

$vec F_{i,j} = -vec F_{j,i}quadquad(4)$

Запишем дифференциальные уравнения движения каждой точки в векторной форме

$begin{align} & m_1 , frac{d^2 vec r_1}{dt^2} = vec F_{1,2} + vec F_{1,3} \ & m_2 , frac{d^2 vec r_2}{dt^2} = vec F_{2,1} + vec F_{2,3} \ & m_3 , frac{d^2 vec r_3}{dt^2} = vec F_{3,1} + vec F_{3,2} end{align}$

или, с учетом (4)

$begin{align} & m_1 , frac{d^2 vec r_1}{dt^2} = vec F_{1,2} + vec F_{1,3} \ & m_2 , frac{d^2 vec r_2}{dt^2} = -vec F_{1,2} + vec F_{2,3} \ & m_3 , frac{d^2 vec r_3}{dt^2} = -vec F_{1,3} - vec F_{2,3} end{align}$

В соответствии с законом всемирного тяготения, силы взаимодействия направлены вдоль векторов

$begin{align} & vec r_{1,2} = vec r_2 - vec r_1 \ & vec r_{1,3} = vec r_3 - vec r_1 \ & vec r_{2,3} = vec r_3 - vec r_2 \ end{align}$

Вдоль каждого из этих векторов выпустим соответствующий орт

$vec e_{i,j} = frac{1}{r_{i,j}} , vec r_{i,j}$

тогда каждая из гравитационных сил рассчитывается по формуле

$vec F_{i,j} = G,frac{m_i , m_j}{r_{i,j}^2},vec e_{i,j}$

С учетом всего этого система уравнений движения принимает вид

$begin{align} & frac{d^2 vec r_1}{dt^2} = frac{G,m_2}{r_{1,2}^3} , vec r_{1,2} + frac{G,m_3}{r_{1,3}^3} , vec r_{1,3} \ & frac{d^2 vec r_2}{dt^2} = -frac{G,m_1}{r_{1,2}^3} , vec r_{1,2} + frac{G,m_3}{r_{2,3}^3} , vec r_{2,3} \ & frac{d^2 vec r_3}{dt^2} = -frac{G,m_1}{r_{1,3}^3} , vec r_{1,3} - frac{G,m_2}{r_{2,3}^3} , vec r_{2,3} end{align}$

Введем обозначение, принятое в небесной механике

$mu_i = G,m_i$

— гравитационный параметр притягивающего центра. Тогда уравнения движения примут окончательный векторный вид

$begin{align} & frac{d^2 vec r_1}{dt^2} = frac{mu_2}{r_{1,2}^3} , vec r_{1,2} + frac{mu_3}{r_{1,3}^3} , vec r_{1,3} \ & frac{d^2 vec r_2}{dt^2} = -frac{mu_1}{r_{1,2}^3} , vec r_{1,2} + frac{mu_3}{r_{2,3}^3} , vec r_{2,3} \ & frac{d^2 vec r_3}{dt^2} = -frac{mu_1}{r_{1,3}^3} , vec r_{1,3} - frac{mu_2}{r_{2,3}^3} , vec r_{2,3} end{align}$

Довольно популярным приемом при математическом моделировании является приведение дифференциальных уравнений и прочих соотношений, описывающих процесс, к безразмерным фазовым координатам и безразмерному времени. Нормируются так же и другие параметры. Это позволяет рассматривать, хоть и с применением численного моделирования, но в достаточно общем виде целый класс типовых задач. Вопрос о том, насколько это оправдано в каждой решаемой задаче оставляю открытым, но соглашусь, что в данном случае такой подход вполне справедлив.

Итак, введем некое абстрактное небесное тело с гравитационным параметром

$mu$

, такое, что период обращения спутника по эллиптической орбите с большой полуосью

$a$

вокруг него равен

$T$

. Все эти величины, в силу законов механики, связаны соотношением

$T = 2,pi,left(frac{a^3}{mu}right)^{frac{1}{2}}$

Введем замену параметров. Для положения точек нашей системы

$vec r_i = a , vecxi_i$

где

$vecxi_i$

— безразмерный радиус-вектор i-й точки;
для гравитационных параметров тел

$mu_i = varkappa_i , mu$

где

$varkappa_i$

— безразмерный гравитационный параметр i-й точки;
для времени

$t = T , tau$

где

— безразмерное время.

Теперь пересчитаем ускорения точек системы через эти безразмерные параметры. Применим прямое двукратное дифференцирование по времени. Для скоростей

$vec v_i = frac{d vec r_i}{dt} = a , frac{dvecxi_i}{dt}=frac{a}{T} , frac{dvecxi_i}{dtau}=frac{1}{2,pi} , sqrt{frac{mu}{a}},frac{dvecxi_i}{dtau}.$

Для ускорений

$vec a_i = frac{dvec v_i}{dt} = frac{1}{2,pi} , sqrt{frac{mu}{a}},frac{1}{dt} left(frac{dvecxi_i}{dtau}right) = frac{1}{4,pi^2} , frac{mu}{a^2},frac{d^2vec xi_i}{dtau^2}$

При подстановке полученных соотношений в уравнения движения всё элегантно схлопывается в красивые уравнения:

$begin{align} &frac{d^2 vecxi_1}{dtau^2} = 4,pi^2 , varkappa_2,frac{vec xi_2 - vec xi_1}{|vec xi_2 - vec xi_1|^3} + 4,pi^2 , varkappa_3,frac{vec xi_3 - vec xi_1}{|vec xi_3 - vec xi_1|^3}\ & frac{d^2 vecxi_2}{dtau^2} = -4,pi^2 , varkappa_1,frac{vec xi_2 - vec xi_1}{|vec xi_2 - vec xi_1|^3} + 4,pi^2 , varkappa_3,frac{vec xi_3 - vec xi_2}{|vec xi_3 - vec xi_2|^3}quadquad(5) \ & frac{d^2 vecxi_3}{dtau^2} = -4,pi^2 , varkappa_1,frac{vec xi_3 - vec xi_1}{|vec xi_3 - vec xi_1|^3} - 4,pi^2 , varkappa_2,frac{vec xi_3 - vec xi_2}{|vec xi_3 - vec xi_2|^3} end{align}$

Данная система уравнений до сих пор считается не интегрируемой в аналитических функциях. Почему считается а не является? Потому что успехи теории функции комплексного переменного привели к тому, что общее решение задачи трех тел таки появилось в 1912 году — Карлом Зундманом был найден алгоритм отыскания коэффициентов для бесконечных рядов относительно комплексного параметра, теоретически являющихся общим решением задачи трех тел. Но… для применения рядов Зундмана в практических расчетах с требуемой для них точностью требует получения такого числа членов этих рядов, что эта задача во много превосходит возможности вычислительных машин даже на сегодняшний день.

Поэтому численное интегрирование — единственный способ анализа решения уравнения (5)

Как я уже писал ранее, прежде чем начинать численное интегрирование, следует озаботится расчетом начальных условий для решаемой задачи. В рассматриваемой задаче поиск начальных условий превращается в самостоятельную подзадачу, так как система (5) дает нам девять скалярных уравнений второго порядка, что при переходе к нормальной форме Коши повышает порядок системы ещё в 2 раза. То есть нам необходимо рассчитать целых 18 параметров — начальные положения и компоненты начальной скорости всех точек системы. Где мы возьмем данные о положении интересующих нас небесных тел? Мы живем в мире, где человек ходил по Луне — естественно человечество должно обладать информацией, как эта самая Луна движется и где она находится.

То есть, скажете вы, ты, чувак, предлагаешь нам взять с полок толстые астрономические справочники, сдуть с них пыль… Не угадали! Я предлагаю сходить за этими данными к тем, кто собственно ходил по Луне, к NASA, а именно в Лабораторию реактивного движения, Пасадена, штат Калифорния. Вот сюда — JPL Horizonts web interface.

Здесь, потратив немного времени на изучение интерфейса, мы добудем все необходимые нам данные. Выберем дату, например, да нам всё равно, но пусть это будет 27 июля 2018 года UT 20:21. Как раз в этот момент наблюдалась полная фаза лунного затмения. Программа выдаст нам огромную портянку

Бр-р-р, что это? Без паники, для того, кто хорошо учил в школе астрономию, механику и математику тут боятся нечего. Итак, самое главное конечное искомые координаты и компоненты скорости Луны.

$$SOE 2458327.347916670 = A.D. 2018-Jul-27 20:21:00.0003 TDB  X = 1.537109094089627E-03 Y =-2.237488447258137E-03 Z = 5.112037386426180E-06 VX= 4.593816208618667E-04 VY= 3.187527302531735E-04 VZ=-5.183707711777675E-05 LT= 1.567825598846416E-05 RG= 2.714605874095336E-03 RR=-2.707898607099066E-06 $$EOE 

Да-да-да, они декартовы! Если внимательно прочесть всю портянку, то мы узнаем, что начало этой системы координат совпадает с центром Земли. Плоскость XY лежит в плоскости земной орбиты (плоскости эклиптики) на эпоху J2000. Ось X направлена вдоль линии пересечения плоскости экватора Земли и эклиптики в точку весеннего равноденствия. Ось Z смотрит в направлении северного полюса Земли перпендикулярно плоскости эклиптики. Ну а ось Y дополняет всё это счастье до правой тройки векторов. По-умолчанию единицы измерения координат: астрономические единицы (умнички из NASA приводят и величину автрономической единицы в километрах). Единицы измерения скорости: астрономические единицы в день, день принимается равным 86400 секундам. Полный фарш!

Аналогичную информацию мы можем получить и для Земли

Здесь в качестве начала координат выбран барицентр (центр масс) Солнечной системы. Интересующие нас данные

$$SOE 2458327.347916670 = A.D. 2018-Jul-27 20:21:00.0003 TDB   X = 5.755663665315949E-01 Y =-8.298818915224488E-01 Z =-5.366994499016168E-05  VX= 1.388633512282171E-02 VY= 9.678934168415631E-03 VZ= 3.429889230737491E-07  LT= 5.832932117417083E-03 RG= 1.009940888883960E+00 RR=-3.947237246302148E-05 $$EOE 

Для Луны нам понадобятся координаты и скорость относительно барицентра Солнечной системы, мы можем их посчитать, а можем попросит NASA дать нам такие данные

$$SOE 2458327.347916670 = A.D. 2018-Jul-27 20:21:00.0003 TDB   X = 5.771034756256845E-01 Y =-8.321193799697072E-01 Z =-4.855790760378579E-05  VX= 1.434571674368357E-02 VY= 9.997686898668805E-03 VZ=-5.149408819470315E-05  LT= 5.848610189172283E-03 RG= 1.012655462859054E+00 RR=-3.979984423450087E-05 $$EOE 

Чудесно! Теперь необходимо слегка обработать полученные данные напильником.

Для начала определимся с масштабом, ведь наши уравнения движения (5) записаны в безразмерной форме. Данные, предоставленные NASA сами подсказывают нам, что за масштаб координат стоит взять одну астрономическую единицу. Соответственно в качестве эталонного тела, к которому мы будем нормировать массы других тел мы возьмем Солнце, а в качестве масштаба времени — период обращения Земли вокруг Солнца.

Все это конечно очень хорошо, но мы не задали начальные условия для Солнца. «Зачем?» — спросил бы меня какой-нибудь лингвист. А я бы ответил, что Солнце отнюдь не неподвижно, а тоже вращается по своей орбите вокруг центра масс Солнечной системы. В этом можно убедится, взглянув на данные NASA для Солнца

$$SOE 2458327.347916670 = A.D. 2018-Jul-27 20:21:00.0003 TDB   X = 6.520050993518213E+04 Y = 1.049687363172734E+06 Z =-1.304404963058507E+04  VX=-1.265326939350981E-02 VY= 5.853475278436883E-03 VZ= 3.136673455633667E-04  LT= 3.508397935601254E+00 RG= 1.051791240756026E+06 RR= 5.053500842402456E-03 $$EOE 

Взглянув на параметр RG мы увидим, что Солнце вращается вокруг барицентра Солнечной системы, и на 27.07.2018 центр звезды находится от него на расстоянии в миллион километров. Радиус Солнца, для справки — 696 тысяч километров. То есть барицентр Солнечной системы лежит в полумиллионе километров от поверхности светила. Почему? Да потому что все остальные тела, взаимодействующие с Солнцем так же сообщают ему ускорение, главным образом, конечно тяжеленький Юпитер. Соответственно у Солнца тоже есть своя орбита.

Мы конечно можем выбрать эти данные в качестве начальных условий, но нет — мы же решаем модельную задачу трех тел, и Юпитер и прочие персонажи в неё не входят. Так что в ущерб реализму, зная положение и скорости Земли и Луны мы пересчитаем начальные условия для Солнца, так, чтобы центр масс системы Солнце — Земля — Луна находился в начале координат. Для центра масс нашей механической системы справедливо уравнение

$(m_1 + m_2 + m_3) , vec r_C = m_1 , vec r_1 + m_2 , vec r_2 + m_3 , vec r_3$

Поместим центр масс в начало координат, то есть зададимся

$vec r_C = 0$

, тогда

$m_1 , vec r_1 + m_2 , vec r_2 + m_3 , vec r_3 = 0$

откуда

$begin{align} & m_3 , vec r_3 = -m_1 , vec r_1 - m_2 , vec r_2 \ & vec r_3 = - frac{m_1}{m_3} vec r_1 - frac{m_2}{m_3} , vec r_2 end{align} $

Перейдем к безразмерным координатам и параметрам, выбрав

$mu = mu_3$

$vec xi_3 = -varkappa_1 vec xi_1 -varkappa_2 vec xi_2quadquad(6)$

Дифференцируя (6) по времени и переходя к безразмерному времени получаем и соотношение для скоростей

$vec u_3 = -varkappa_1 , vec u_1 -varkappa_2 , vec u_2$

где

$vec u_i = cfrac{dvec xi_i}{dtau}, forall i=overline{1,3}$

Теперь напишем программу, которая сформирует начальные условия в выбранных нами «попугаях». На чем будем писать? Конечно же на Питоне! Ведь, как известно, это самый лучший язык для математического моделирования.

Однако, если уйти от сарказма, то мы действительно попробуем для этой цели питон, а почему нет? Я обязательно приведу ссылку на весь код в моем профиле Github.

Выхлоп программы

Гравитационные параметры тел mu[0] = 4901783000000.0 mu[1] = 386326400000000.0 mu[2] = 1.326663e+20 Нормированные гравитационные параметры xi[0] = 3.6948215183509304e-08 xi[1] = 2.912016088486677e-06 xi[2] = 1.0   Масштаб времени T = 31563683.35432583  Начальное положение Луны, а.е.: [ 5.77103476e-01 -8.32119380e-01 -4.85579076e-05] Начальное положение Земли, а.е.: [ 5.75566367e-01 -8.29881892e-01 -5.36699450e-05] Начальное положение Солнца, а.е.: [-1.69738146e-06 2.44737475e-06 1.58081871e-10]   Начальная скорость Луны, м/с: [24838.98933473 17310.56333294 -89.15979106]  -//- безразмерная: [ 5.24078311 3.65235907 -0.01881184] Начальная скорость Земли, м/с: [2.40435899e+04 1.67586567e+04 5.93870516e-01]  -//- безразмерная: [5.07296163e+00 3.53591219e+00 1.25300854e-04] Начальная скорость Солнца, м/с: [-7.09330769e-02 -4.94410725e-02 1.56493465e-06]  -//- безразмерная: [-1.49661835e-05 -1.04315813e-05 3.30185861e-10] 

Собственно само интегрирование сводится к более-менее стандартной для SciPy процедуре подготовки системы уравнений: преобразованию системы ОДУ к форме Коши и вызову соответствующих функций-решателей. Для преобразования системы к форме Коши вспоминаем, что

$ vec u_i = frac{dvec xi_i}{dtau}, forall i=overline{1,3}quadquad(7) $

Тогда введя вектор состояния системы

$vec y = left[vecxi_1, vecxi_2, vecxi_1, vec u_1, vec u_2, vec u_3 right]^T$

сводим (7) и (5) к одному векторному уравнению

$frac{dvec y}{dtau} = vec f(tau, vec y)quadquad(8)$

Для интегрирования (8) с имеющимися начальными условиями напишем немного, совсем немного кода

Посмотрим что у нас получилось. Получилась пространственная траектория Луны на первые 29 суток от выбранной нами начальной точки

а так же её проекция в плоскость эклиптики.

«Эй, дядя, что ты нам впариваешь?! Это же окружность!».

Во-первых, таки не окружность — заметно смещение проекции траектории от начала координат вправо и вниз. Во-вторых — ничего не замечаете? Не, ну правда?

Обещаю подготовить обоснование того (на основе анализа погрешностей счета и данных NASA), что полученное смещение траектории не есть следствие ошибок интегрирования. Пока предлагаю читателю поверить мне на слово — это смещение есть следствие солнечного возмущения лунной траектории. Крутанем-ка еще один оборот

Во как! Причем обратите внимание на то, что исходя из начальных данных задачи Солнце находится как раз в той стороне, куда смещается траектория Луны на каждом обороте. Да это наглое Солнце ворует у нас наш любимый спутник! Ох уж это Солнце!

Можно сделать вывод, что солнечная гравитация влияет на орбиту Луны достаточно существенно — старушка не ходит по небу дважды одним и тем же путём. Картинка за полгода движения позволяет (по крайней мере качественно) убедится в этом (картинка кликабельна)

image

Интересно? Ещё бы. Астрономия вообще наука занятная.

В вузе, где я учился и работал без малого семь лет — Новочеркасском политехе — ежегодно проводилась зональная олимпиада студентов по теоретической механике вузов Северного Кавказа. Трижды мы принимали и Всероссийскую олимпиаду. На открытии, наш главный «олимпиец», профессор Кондратенко А.И., всегда говорил: «Академик Крылов называл механику поэзией точных наук».

Я люблю механику. Всё то хорошее, чего я добился в своей жизни и карьере произошло благодаря этой науке и моим замечательным учителям. Я уважаю механику.

Поэтому, я никогда не позволю издеваться над этой наукой и нагло эксплуатировать её в своих целях никому, будь он хоть трижды доктор наук и четырежды лингвист, и разработал хоть миллион учебных программ. Я искренне считаю, что написание статей на популярном публичном ресурсе должно предусматривать их тщательную вычитку, нормальное оформление (формулы LaTeX — это не блажь разработчиков ресурса!) и отсутствие ошибок, приводящих к результатам нарушающим законы природы. Последнее вообще «маст хэв».

Я часто говорю своим студентам: «компьютер освобождает ваши руки, но это не значит, что при этом нужно отключать и мозг».

Ценить и уважать механику я призываю и вас, мои уважаемые читатели. Охотно отвечу на любые вопросы, а исходный текст примера решения задачи трех тел на языке Python, как и обещал, выкладываю в своем профиле Github.

Спасибо за внимание!

Источник: habr.com


You May Also Like

About the Author: admind

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Этот сайт использует Akismet для борьбы со спамом. Узнайте, как обрабатываются ваши данные комментариев.