Математика теории инфляции алана гута уравнения



nasonline.org
nasonline.org

Национальная академия наук США вручила математическую премию имени Мариам Мирзахани за 2020 год Ларри Гуту (Larry Guth), молодому профессору Массачусетского технологического института [1]. Его исследования разбирает по просьбе редакции ТрВ- Наука Михаил Белолипецкий, сотрудник Института чистой и прикладной математики (Рио-де-Жанейро, Бразилия), приглашенный ученый Математического института имени Макса Планка (Бонн, Германия).

Ранее премия по математике Национальной академии наук США присуждалась выдающимся ученым каждые четыре года. После решения назвать премию именем Мариам Мирзахани1 и присуждать раз в два года эта награда получила новый импульс. Первым лауреатом новой премии стал Ларри Гут «за развитие удивительных, новых и глубоких связей между геометрией, анализом, топологией и комбинаторикой, которые привели к решению или существенному продвижению в решении многих открытых проблем в этих областях».


Что это за проблемы и как их решать?

Вначале я немного расскажу о кандидатской диссертации Ларри, которую он защитил в 2005 году. Честность изложения и глубина, присущие этой работе, впоследствии отличали многие статьи Ларри Гута. Диссертация называется «Площадь-сжимающие отображения между прямоугольниками» [5]. Точнее, речь идет об n-мерных прямоугольных параллелепипедах. Назовем k-дилатацией отображения число C, такое что любое k-мерное подпространство объема V отображается на образ объема не больше чем CV. Отображение называется k-сжимающим, если его k-дилатация меньше либо равна 1. Одномерная дилатация — это не что иное как константа Липшица отображения. Нетрудно понять, что минимальное значение одномерной и n-мерной дилатаций между n-мерными прямоугольниками достигается на линейных отображениях. Удивительным образом в промежуточных размерностях 1<k<n ситуация совершенно меняется, и экстремальные площадь-сжимающие отображения очень далеки от линейных. Это один из первых результатов диссертации Ларри.


В тексте работы он отмечает, что первый интересный пример площадь-сжимающего отображения принадлежит советскому физику Якову Зельдовичу, который построил пример 2-сжимающего отображения открытого подмножества U сколь угодно маленького шарика B в трехмерном пространстве на D2(1) × S1(δ) (замкнутую толстую трубку с очень маленьким радиусом δ). Такие трубки не существуют в трехмерном пространстве, но легко реализуются в больших размерностях. Пример Зельдовича состоит в следующем. Рассмотрим в шарике B большое количество тонких трубок маленького радиуса ε, которые занимают почти весь объем. Возьмем кривую c, которая проходит через каждую тонкую трубку один раз, как нитка, на которую нанизываются трубки-бисеринки. Открытое подмножество U — это шар B, из которого удалена маленькая окрестность кривой c. Теперь отобразим каждую тонкую трубку в D2(1) × S1(ε). Наш выбор окрестности позволяет продолжить это отображение на все U. Наконец, продеформируем (с сохранением объема) образы тонких трубок в толстые очень короткие трубки в D2(1) × S1(δ). В результате получается площадь-сжимающее отображение. Я. Зельдович обнаружил эту конструкцию во время своей совместной работы с Андреем Сахаровым, в которой они изучали магнитные поля нейтронных звезд. Ларри Гут разобрался в этой истории в деталях и в большей общности. Впоследствии он вернется к примеру Зельдовича в работе [6].

Близкое знакомство и свободное владение литературой по физике, видимо, передались Ларри от его отца, знаменитого астрофизика Алана Гута (Alan Guth)2.


Мое первое знакомство с математикой Ларри Гута началось с его совместной статьи с Михаилом Громовым об обобщении оценок А. Колмогорова и Я. Барздиня о вложении графов в R3 (трехмерное действительное пространство), опубликованной в 2011 году [8]. Я и сейчас продолжаю перечитывать эту статью и находить для себя что-то новое. Основными персонажами здесь являются многомерные экспандеры, обобщающие конструкцию сильносвязных разреженных графов Колмогорова — Барздиня. Интересно отметить, что обсуждение этой незаслуженно забытой работы 1967 года ранее появилось в диссертации Ларри. На первый взгляд, существование графов-экспандеров (т. е. сильносвязных разреженных графов) совсем не очевидно. ­Андрей Колмогоров и Ян Барздинь показали, что таковыми с большой вероятностью являются случайные графы. М. Громов и Л. Гут обобщили эту конструкцию на многомерные симплициальные комплексы и инициировали изучение их свойств. Эти комплексы удивительным образом связаны с геометрией гиперболических многообразий. Интересный класс гиперболических многообразий строится с помощью теории чисел, такие многообразия называются арифметическими. В работе Громова — Гута показано, что скелеты триангуляций арифметических многообразий являются многомерными экспандерами. Мой интерес к этому вопросу связан с возможным обобщением этой конструкции на многообразия с особенностями — так называемые орбифолды.


В какой-то момент, в ходе длительной переписки, Ларри предложил мне написать его ученице Ханне Альперт (Hannah Alpert). Вместе с Ханной нам удалось существенно продвинуться в решении проблемы. Мы написали совместную статью со странным названием «Толщина скелетов арифметических гиперболических орбифолдов» [9]. Ларри был участником проекта, но скромно отказался быть соавтором статьи.

Далее у Ларри Гута была замечательная работа с Нетсем Хоуком Катцем (Nets Hawk Katz) по решению проблемы Эрдеша о числе различных расстояний с помощью полиномиального метода [10], книжка об этом методе [11], выдающаяся работа с Жаном Бургейном (Jean Bourgain) и Киприаном Деметром (Ciprian Demeter), в которой доказана основная гипотеза в теореме о среднем значении Виноградова [12], и другие замечательные работы. Геометрическая интуиция, техническое мастерство и широта кругозора Ларри Гута присутствуют в каждой из них.

Михаил Белолипецкий

  1. nasonline.org/news-and-multimedia/news/2020-Mirzakhani-Prize.html
  2. quantamagazine.org/maryam-mirzakhani-is-first-woman-fields-medalist-20140812/
  3. nytimes.com/interactive/2017/12/28/magazine/the-lives-they-lived-maryam-mirzakhani.html

  4. Зорич А. Премия за математическую «волшебную палочку» // ТрВ-Наука. № 288 от 24.09.2019.
  5. dspace.mit.edu/handle/1721.1/31158
  6. arXiv:1211.1057 [math.DG]
  7. Штерн Б. Откуда взялась Вселенная // ТрВ-Наука. № 156 от 17.06.2014.
  8. arXiv:1103.3423 [math.GT]
  9. arXiv:1811.05280 [math.DG]
  10. arXiv:1011.4105 [math.CO]
  11. Guth L., Polynomial Methods in Combinatorics. University Lecture Series. American Mathematical Society. 2016. ISBN978-1-4704-2890-7
  12. arXiv:1512.01565 [math.NT]

1 Мариам Мирзахани (Maryam Mirzakhani) — лауреат премии Филдса родом из Ирана, профессор Стэнфордского университета США, скончалась от рака груди в 2017 году в возрасте 40 лет, см. заметки о ней в англоязычной прессе [2, 3] и ТрВ-Наука [4]. — Ред.

2 См. фрагмент книги Бориса Штерна «Прорыв за край мира» об Алане Гуте и его сценарии космологической инфляции [7]. — Ред.

Источник: trv-science.ru

Математика теории инфляции алана гута уравнения
AliExpress RU&CIS


Дельта принтеры крайне требовательны к точности изготовления комплектующих (геометрия рамы, длины диагоналей, люфтам соединения диагоналей, эффектора и кареток) и всей геометрии принтера. Так же, если концевые выключатели (EndStop) расположены на разной высоте (или разный момент срабатывания в случае контактных концевиков), то высота по каждой из осей оказывается разная и мы получаем наклонную плоскость не совпадающая с плоскостью рабочего столика(стекла). Данные неточности могут быть исправлены либо механически (путем регулировки концевых выключателей по высоте), либо программно. Мы используем программный способ калибровки.
Далее будут рассмотрены основные настройки дельта принтера.
Для управления и настройки принтера мы используем программу Pronterface.
Калибровка принтера делится на три этапа:

1 Этап. Корректируем плоскость по трем точкам

Выставление в одну плоскость трех точек — A, B, C (расположенных рядом с тремя направляющими). По сути необходимо уточнить высоту от плоскости до концевых выключателей для каждой из осей.
Большинство (если не все) платы для управления трехмерным принтером (В нашем случае RAMPS 1.4) работают в декартовой системе координат, другими словами есть привод на оси: X, Y, Z.
В дельта принтере необходимо перейти от декартовых координат к полярным. Поэтому условимся, что подключенные к двигателям X, Y, Z соответствует осям A, B, C.(Против часовой стрелки начиная с любого двигателя, в нашем случае смотря на логотип слева — X-A, справа Y-B, дальний Z-C) Далее при слайсинге, печати и управлении принтером в ручном режиме, мы будем оперировать классической декартовой системой координат, электроника принтера сама будет пересчитывать данные в нужную ей систему. Это условность нам необходима для понятия принципа работы и непосредственной калибровки принтера.


image
Точки, по которым мы будем производить калибровку назовем аналогично (A, B, C) и позиция этих точек равна A= X-52 Y-30; B= X+52 Y-30; C= X0 Y60.
image

Алгоритм настройки:


  1. Подключаемся к принтеру. (В случае “крагозяб” в командной строке, необходимо сменить скорость COM порта. В нашем случае с 115200 на 250000 и переподключится)
    image
    После чего мы увидим все настройки принтера.
    image
  2. Обнуляем высоты осей X, Y, Z командой M666 x0 y0 z0.
    И сохраняем изменения командой M500. После каждого изменения настроек необходимо нажать home (или команда g28), для того что бы принтер знал откуда брать отсчет.
  3. Калибровка принтера производится “на горячую”, то есть должен быть включен подогрев стола (если имеется) и нагрев печатающей головки (HotEnd’а) (Стол 60град., сопло 185 град.) Так же нам понадобится щуп, желательно металлический, известных размеров. Для этих задач вполне подойдет шестигранный ключ (самый большой, в нашем случае 8мм, он предоставляется в комплекте с принтерами Prizm Pro и Prizm Mini)

  4. Опускаем печатающую головку на высоту (условно) 9мм (от стола, так, что бы сопло еле касалось нашего щупа, т.к. высота пока что не точно выставлена.) Команда: G1 Z9.
  5. Теперь приступаем непосредственно к настройке наших трех точек.
    Для удобства можно вместо g- команд создать в Pronterface четыре кнопки, для перемещения печатающей головки в точки A, B, C, 0-ноль.
  6. Последовательно перемещаясь между тремя точками (созданными ранее кнопками или командами) выясняем какая из них находится ниже всего (визуально) и принимает эту ось за нулевую, относительно нее мы будем менять высоту остальных двух точек.
  7. Предположим, что точка A у нас ниже остальных. Перемещаем головку в точку B(Y) и клавишами управления высотой в Pronterface опускаем сопло до касания с нашим щупом, считая величину, на которую мы опустили сопло (в лоб считаем количество нажатий на кнопки +1 и +0.1)
    Далее командой меняем параметры высоты оси Y: M666 Y {посчитанная величина}
    M666 Y0.75
    M500
    G28
  8. Ту же операцию проделываем с оставшимися осями. После чего следует опять проверить высоту всех точек, может получится, что разброс высот после первой калибровки уменьшится, но высота все равно будет отличатся, при этом самая низкая точка может изменится. В этом случае повторяем пункты 6-7.

2 Этап. Исправляем линзу

После того как мы выставили три точки в одну плоскость необходимо произвести коррекцию высоты центральной точки. Из за особенности механики дельты при перемещении печатающей головки между крайними точками в центре она может пройти либо ниже либо выше нашей плоскости, тем самым мы получаем не плоскость а линзу, либо вогнутую либо выпуклую.
image
Корректируется этот параметр т.н. дельта радиусом, который подбирается экспериментально.

Калибровка:

  1. Отправляем головку на высоту щупа в любую из трех точек стола. Например G1 Z9 X-52 Y-30
  2. Сравниваем высоту центральной точки и высоту точек A,B,C. (Если высота точек A, B, C разная, необходимо вернутся к предыдущей калибровки.)
  3. Если высота центральной точки больше остальных, то линза выпуклая и необходимо увеличить значение дельта радиуса. Увеличивать или уменьшать желательно с шагом +-0,2мм, при необходимости уменьшить или увеличить шаг в зависимости от характера и величины искривления (подбирается экспериментально)
  4. Команды:
    G666 R67,7
    M500
    G28
  5. Подгоняем дельта радиус пока наша плоскость не выровняется
3 Этап. Находим истинную высоту от сопла до столика

Третьим этапом мы подгоняем высоту печати (от сопла до нижней плоскости — столика) Так как мы считали, что общая высота заведомо не правильная, необходимо ее откорректировать, после всех настроек высот осей. Можно пойти двумя путями решения данной проблемы:
1 Способ:
Подогнав вручную наше сопло под щуп, так что бы оно свободно под ним проходило, но при этом не было ощутимого люфта,

  • Командой M114 выводим на экран значение фактической высоты нашего HotEnd’а
  • Командой M666 L получаем полное значение высоты (Параметр H)
  • После чего вычитаем из полной высоты фактическую высоту.
  • Получившееся значение вычитаем из высоты щупа.

Таким образом мы получаем величину недохода сопла до нижней плоскости, которое необходимо прибавить к полному значению высоты и и записать в память принтера командами:
G666 H 235.2
M500
G28

2 Способ:
Второй способ прост как валенок. С “потолка”, “на глаз” прибавляем значение высоты (после каждого изменение не забываем “уходить” в home), добиваясь необходимого значения высоты, но есть шанс переборщить со значениями и ваше сопло с хрустом шмякнется об стекло.

Как сделать авто калибровку для вашего принтера и что при этом авто калибрует принтер вы узнаете из следующих статей.



Источник: itnan.ru

Михаил Белолипецкий
«Троицкий вариант — Наука» № 6(300), 24 марта 2020 года

Национальная академия наук США вручила математическую премию имени Мариам Мирзахани за 2020 год Ларри Гуту (Larry Guth), молодому профессору Массачусетского технологического института [1]. Его исследования разбирает по просьбе редакции «ТрВ-Наука» Михаил Белолипецкий, сотрудник Института чистой и прикладной математики (Рио-де-Жанейро, Бразилия), приглашенный ученый Математического института имени Макса Планка (Бонн, Германия).

Ранее премия по математике Национальной академии наук США присуждалась выдающимся ученым каждые четыре года. После решения назвать премию именем Мариам Мирзахани1 и присуждать раз в два года эта награда получила новый импульс. Первым лауреатом новой премии стал Ларри Гут «за развитие удивительных, новых и глубоких связей между геометрией, анализом, топологией и комбинаторикой, которые привели к решению или существенному продвижению в решении многих открытых проблем в этих областях».

Что это за проблемы и как их решать?

Вначале я немного расскажу о кандидатской диссертации Ларри, которую он защитил в 2005 году. Честность изложения и глубина, присущие этой работе, впоследствии отличали многие статьи Ларри Гута. Диссертация называется «Площадь-сжимающие отображения между прямоугольниками» [5]. Точнее, речь идет об n-мерных прямоугольных параллелепипедах. Назовем k-дилатацией отображения число C, такое что любое k-мерное подпространство объема V отображается на образ объема не больше чем CV. Отображение называется k-сжимающим, если его k-дилатация меньше либо равна 1. Одномерная дилатация — это не что иное как константа Липшица отображения. Нетрудно понять, что минимальное значение одномерной и n-мерной дилатаций между n-мерными прямоугольниками достигается на линейных отображениях. Удивительным образом в промежуточных размерностях 1 < k < n ситуация совершенно меняется, и экстремальные площадь-сжимающие отображения очень далеки от линейных. Это один из первых результатов диссертации Ларри.

В тексте работы он отмечает, что первый интересный пример площадь-сжимающего отображения принадлежит советскому физику Якову Зельдовичу, который построил пример 2-сжимающего отображения открытого подмножества U сколь угодно маленького шарика B в трехмерном пространстве на D2(1) × S1(δ) (замкнутую толстую трубку с очень маленьким радиусом δ). Такие трубки не существуют в трехмерном пространстве, но легко реализуются в больших размерностях. Пример Зельдовича состоит в следующем. Рассмотрим в шарике B большое количество тонких трубок маленького радиуса ε, которые занимают почти весь объем. Возьмем кривую c, которая проходит через каждую тонкую трубку один раз, как нитка, на которую нанизываются трубки-бисеринки. Открытое подмножество U — это шар B, из которого удалена маленькая окрестность кривой c. Теперь отобразим каждую тонкую трубку в D2(1) × S1(ε). Наш выбор окрестности позволяет продолжить это отображение на все U. Наконец, продеформируем (с сохранением объема) образы тонких трубок в толстые очень короткие трубки в D2(1) × S1(δ). В результате получается площадь-сжимающее отображение. Я. Зельдович обнаружил эту конструкцию во время своей совместной работы с Андреем Сахаровым, в которой они изучали магнитные поля нейтронных звезд. Ларри Гут разобрался в этой истории в деталях и в большей общности. Впоследствии он вернется к примеру Зельдовича в работе [6].

Близкое знакомство и свободное владение литературой по физике, видимо, передались Ларри от его отца, знаменитого астрофизика Алана Гута (Alan Guth)2.

Мое первое знакомство с математикой Ларри Гута началось с его совместной статьи с Михаилом Громовым об обобщении оценок А. Колмогорова и Я. Барздиня о вложении графов в R3 (трехмерное действительное пространство), опубликованной в 2011 году [8]. Я и сейчас продолжаю перечитывать эту статью и находить для себя что-то новое. Основными персонажами здесь являются многомерные экспандеры, обобщающие конструкцию сильносвязных разреженных графов Колмогорова — Барздиня. Интересно отметить, что обсуждение этой незаслуженно забытой работы 1967 года ранее появилось в диссертации Ларри. На первый взгляд, существование графов-экспандеров (т. е. сильносвязных разреженных графов) совсем не очевидно. Андрей Колмогоров и Ян Барздинь показали, что таковыми с большой вероятностью являются случайные графы. М. Громов и Л. Гут обобщили эту конструкцию на многомерные симплициальные комплексы и инициировали изучение их свойств. Эти комплексы удивительным образом связаны с геометрией гиперболических многообразий. Интересный класс гиперболических многообразий строится с помощью теории чисел, такие многообразия называются арифметическими. В работе Громова — Гута показано, что скелеты триангуляций арифметических многообразий являются многомерными экспандерами. Мой интерес к этому вопросу связан с возможным обобщением этой конструкции на многообразия с особенностями — так называемые орбифолды.

В какой-то момент, в ходе длительной переписки, Ларри предложил мне написать его ученице Ханне Альперт (Hannah Alpert). Вместе с Ханной нам удалось существенно продвинуться в решении проблемы. Мы написали совместную статью со странным названием «Толщина скелетов арифметических гиперболических орбифолдов» [9]. Ларри был участником проекта, но скромно отказался быть соавтором статьи.

Далее у Ларри Гута была замечательная работа с Нетсем Хоуком Катцем (Nets Hawk Katz) по решению проблемы Эрдеша о числе различных расстояний с помощью полиномиального метода [10], книжка об этом методе [11], выдающаяся работа с Жаном Бургейном (Jean Bourgain) и Киприаном Деметром (Ciprian Demeter), в которой доказана основная гипотеза в теореме о среднем значении Виноградова [12], и другие замечательные работы. Геометрическая интуиция, техническое мастерство и широта кругозора Ларри Гута присутствуют в каждой из них.

Литература
1. Larry Guth to Receive the 2020 Maryam Mirzakhani Prize in Mathematics from the National Academy of Sciences // National Academy of Sciences, 21.01.2020.
2. Erica Klarreich. A Tenacious Explorer of Abstract Surfaces // Quanta Magazine, 12.08.2014.
3. Gareth Cook. Maryam Mirzakhani drew her way to mathematical greatness // The New York Times Magazine.
4. Зорич А. Премия за математическую «волшебную палочку» // ТрВ-Наука. № 288 от 24.09.2019.
5. Lawrence Guth. Area-contracting maps between rectangles // [email protected].
6. arXiv:1211.1057 [math.DG]
7. Штерн Б. Откуда взялась Вселенная // ТрВ-Наука. № 156 от 17.06.2014.
8. arXiv:1103.3423 [math.GT]
9. arXiv:1811.05280 [math.DG]
10. arXiv:1011.4105 [math.CO]
11. Guth L., Polynomial Methods in Combinatorics. University Lecture Series. American Mathematical Society. 2016. ISBN 978-1-4704-2890-7.
12. arXiv:1512.01565 [math.NT]

Источник: elementy.ru


You May Also Like

About the Author: admind

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Этот сайт использует Akismet для борьбы со спамом. Узнайте, как обрабатываются ваши данные комментариев.