Как определить массу планеты


Массы Земли и других планет

Од­на из пер­вых оце­нок мас­сы Зем­ли по­лу­че­на Г. Ка­вен­ди­шем по­сле про­ве­де­ния опы­та по экс­пе­рим. оп­ре­де­ле­нию уни­вер­саль­ной гра­ви­тац. по­сто­ян­ной. Из­ме­ряя с по­мо­щью кру­тиль­ных ве­сов си­лу при­тя­же­ния ме­ж­ду мас­сив­ным свин­цо­вым ша­ром и под­ве­шен­ным вбли­зи не­го не­боль­шим ме­тал­лич. ша­ри­ком, Ка­вен­диш срав­нил ве­ли­чи­ну этой си­лы с си­лой при­тя­же­ния ша­ри­ка Зем­лёй и су­мел вы­чис­лить, во сколь­ко раз мас­са Зем­ли пре­вы­ша­ет мас­су свин­цо­во­го ша­ра. Та­ким об­ра­зом бы­ла по­лу­че­на оцен­ка мас­сы Зем­ли (6·1024 кг) и её ср. плот­но­сти (5,5 кг/м3).

Мас­сы др. пла­нет оп­ре­де­ля­ют по па­ра­мет­рам их ор­бит с по­мо­щью третье­го за­ко­на Ке­п­ле­ра (см.


­п­ле­ра за­ко­ны). В обоб­щён­ной фор­ме этот за­кон име­ет вид: $T_1^2(M_☉+m_1)/T_2^2(M_☉+m_2)=a_1^3/a_2^3$, где $M☉$  – мас­са Солн­ца, $m_1$ и $m_2$ – мас­сы двух пла­нет, $a_1$ и $a_2$ – боль­шие по­лу­оси их ор­бит, $T_1$ и $T_2$ – пе­рио­ды об­ра­ще­ния этих пла­нет во­круг Солн­ца. Для пла­не­ты, имею­щей спут­ник мас­сой $m_с$, дви­жу­щий­ся по пла­не­то­цен­три­че­ской ор­би­те с боль­шой по­лу­осью $a_с$ и пе­рио­дом об­ра­ще­ния $T_с$, этот за­кон при­об­ре­та­ет вид: $T^2(M_☉+m)/T_с^2(m+m_с)=a^3/a_с^3,$  где $m$ – масса планеты, $a$ и $T$– её боль­шая по­лу­ось и пе­ри­од об­ра­ще­ния со­от­вет­ствен­но. Ес­ли в этой фор­му­ле пре­неб­речь мас­сой пла­не­ты по срав­не­нию с $M_☉$ и мас­сой спут­ни­ка по срав­не­нию с мас­сой пла­не­ты, то мож­но по­лу­чить со­от­но­ше­ние, по­зво­ляю­щее оп­ре­де­лить от­но­ше­ние мас­сы пла­не­ты к $M_☉:: m/M_☉=T^2a_с^3/T_с^2a^3$. По па­ра­мет­рам ор­бит Зем­ли и Лу­ны бы­ла про­ве­де­на оцен­ка массы Солнца – при­мер­но в 333 000 раз боль­ше мас­сы Зем­ли.

Мас­сы Мер­ку­рия и Ве­не­ры, у ко­то­рых от­сут­ст­ву­ют ес­теств. спут­ни­ки, этим спо­со­бом оп­ре­де­лить не­воз­мож­но. Един­ст­вен­ный и го­раз­до бо­лее труд­ный путь со­сто­ит в ис­поль­зо­ва­нии воз­му­ще­ний (все­гда яв­ляю­щих­ся функ­ция­ми воз­му­щаю­щей мас­сы), ко­то­рые пла­не­та вы­зы­ва­ет в дви­же­нии др. тел Сол­неч­ной сис­те­мы. Зна­чи­тель­но бо­лее труд­ную за­да­чу пред­став­ля­ет оп­ре­де­ле­ние мас­сы Лу­ны.
­ля­ясь бли­жай­шим к Зем­ле не­бес­ным те­лом, Лу­на не мо­жет, стро­го го­во­ря, счи­тать­ся спут­ни­ком на­шей пла­не­ты, т. к. Солн­це при­тя­ги­ва­ет её в 2,5 раза силь­нее, чем Зем­ля. Во­круг Солн­ца об­ра­ща­ет­ся т. н. ба­ри­центр (центр масс) двой­ной пла­не­ты Зем­ля–Лу­на, в то вре­мя как обе они опи­сы­ва­ют от­но­си­тель­но ба­ри­цен­тра эл­лип­тич. ор­би­ты с пе­рио­дом в 1 ме­сяц. По­это­му мас­су Лу­ны мож­но вы­чис­лить по ве­ли­чи­не ме­сяч­но­го сме­ще­ния Зем­ли от­но­си­тель­но ба­ри­цен­тра. В точ­ных ас­тро­но­мич. на­блю­де­ни­ях дол­го­ты Солн­ца про­яв­ля­ет­ся т. н. лун­ное не­ра­вен­ст­во, сви­де­тель­ст­вую­щее о том, что центр Зем­ли в те­че­ние ме­ся­ца опи­сы­ва­ет эл­липс с боль­шой по­лу­осью, рав­ной при­мер­но 3/4 ра­диу­са Зем­ли. По­след­нее оз­на­ча­ет, что ба­ри­центр сис­те­мы Зем­ля–Лу­на все­гда рас­по­ла­га­ет­ся внут­ри Зем­ли и ни­ко­гда не вы­хо­дит за пре­де­лы её по­верх­но­сти. Оп­ре­де­лён­ная по этим дан­ным мас­са Лу­ны со­став­ля­ет ок. 1/81 мас­сы Зем­ли.

Мас­сы всех пла­нет Сол­неч­ной сис­те­мы вхо­дят в чис­ло фун­дам. ас­тро­но­мич. по­сто­ян­ных, зна­че­ния ко­то­рых ре­гу­ляр­но уточ­ня­ют­ся на ос­но­ве всей со­вокуп­но­сти ас­тро­но­мич. на­блю­де­ний и утвер­жда­ют­ся Ме­ж­ду­на­р. ас­тро­но­ми­ч. сою­зом.

Массы звёзд


Тре­тий за­кон Ке­п­ле­ра в его обоб­щён­ной фор­ме по­зво­ля­ет так­же оп­ре­де­лить сум­мар­ную мас­су двой­ной звез­ды по из­вест­но­му зна­че­нию её го­дич­но­го па­рал­лак­са. Ес­ли $m_1$ и $m_2$ – мас­сы ком­по­нен­тов звёзд­ной па­ры, $A$ – боль­шая по­лу­ось ор­би­ты звез­ды-спут­ни­ка от­но­си­тель­но гл. звез­ды, $P$ – её пе­ри­од об­ра­ще­ния, $a$ – ср. рас­стоя­ние от Зем­ли до Солн­ца (рав­ное 1 а. е.), $T$ – пе­ри­од об­ра­ще­ния Зем­ли во­круг Солн­ца (1 год), $m$ – мас­са Зем­ли, то, со­глас­но тре­ть­ему за­ко­ну Ке­п­ле­ра, $a^3/T^2(M_☉+m) =A^3/P^2(m_1+m_2)$. Пре­неб­ре­гая мас­сой Зем­ли по срав­не­нию с мас­сой Солн­ца и вы­брав в ка­че­ст­ве еди­ни­цы из­ме­ре­ния вре­ме­ни год, а рас­стоя­ния – а. е., по­лу­чим фор­му­лу $(m_1+m_2)/M_☉=A^3/P^2$, по­зво­ляю­щую оп­ре­де­лить от­но­ше­ния сум­мы масс двой­ной звез­ды к $M_☉$. Зна­че­ние $A$ мож­но вы­чис­лить, ес­ли из­вес­тны го­дич­ный па­рал­лакс π двой­ной звез­ды и зна­че­ние боль­шой по­лу­оси $a″$ от­но­ситель­ной ор­би­ты звез­ды-спут­ни­ка, вы­ражен­ное в уг­ло­вых се­кун­дах. То­гда $A=a″/π$ и для оп­ре­де­ле­ния от­но­ше­ния сум­мар­ной мас­сы двой­ной звёзд­ной сис­те­мы к $M_☉$ мож­но вос­поль­зо­вать­ся фор­му­лой $(m_1+m_2)/M_☉= (a″ )^3/π^3P^2$. Напр., для двой­ной звёзд­ной сис­те­мы Си­ри­ус А и Си­ри­ус B со­от­вет­ст­вую­щие зна­че­ния со­став­ля­ют $a″$=7,57″, $π$=0,37″ и $P$ = 50 лет, со­от­вет­ст­вен­но сум­мар­ная мас­са этой двой­ной звёзд­ной сис­те­мы оце­ни­ва­ет­ся в 3,4$M_☉$.


В том слу­чае, ко­гда уда­ёт­ся из­ме­рить по­ло­же­ния ви­зу­аль­но-двой­ных звёзд от­но­си­тель­но их ба­ри­цен­тра, воз­ни­ка­ет воз­мож­ность оп­ре­де­лить от­но­ше­ние масс обо­их ком­по­нен­тов. Та­кие из­ме­ре­ния тре­бу­ют зна­ния точ­ных по­ло­же­ний ком­по­нен­тов сис­те­мы от­но­си­тель­но да­лё­ких звёзд (т. н. звёзд фо­на) на дос­та­точ­но дли­тель­ных ин­тер­ва­лах вре­ме­ни. Про­дол­жит. на­блю­де­ния оди­ноч­ной звез­ды в те­че­ние мн. лет по­ка­зы­ва­ют, что ес­ли она име­ет соб­ст­вен­ное дви­же­ние от­но­си­тель­но звёзд­но­го фо­на, то её пе­ре­ме­ще­ние про­ис­хо­дит по ду­ге боль­шо­го кру­га не­бес­ной сфе­ры. Но ес­ли звез­да – ви­зу­аль­но-двой­ная, то по ду­ге боль­шо­го кру­га сме­ща­ет­ся её ба­ри­центр, а оба ком­по­нен­та сис­те­мы дви­жут­ся по кри­во­ли­ней­ным ба­ри­цен­трич. тра­ек­то­ри­ям. Точ­ные ас­т­ро­мет­рич. из­ме­ре­ния по­ло­же­ний ком­по­нен­тов двой­ной сис­те­мы по­зво­ля­ют про­сле­дить тра­ек­то­рию цен­тра масс, а за­тем и ин­ди­ви­ду­аль­ные ор­би­ты отд. ком­по­нен­тов. Ес­ли $α_1$ и $α_2$ – вы­ра­жен­ные в се­кун­дах ду­ги уг­ло­вые рас­стоя­ния от гл. звез­ды с мас­сой $M_1$ и звез­ды-спут­ни­ка с мас­сой $M_2$ до ви­ди­мо­го по­ло­же­ния цен­тра масс двой­ной сис­те­мы, то то­гда, по оп­ре­де­ле­нию цен­тра масс, $M_1α_1=M_2α_2$, от­ку­да сле­ду­ет фор­му­ла для от­но­ше­ния масс ком­по­нен­тов ви­зу­аль­но-двой­ной звез­ды: $M_1/M_2=α_2/α_1$.


Зна­ние сум­мар­ной мас­сы двой­ной звез­ды и от­но­ше­ния масс её ком­по­нен­тов по­зво­ля­ет без тру­да вы­чис­лить мас­сы обе­их звёзд. Ти­пич­ные зна­че­ния масс звёзд, по­лу­чен­ные по на­блю­де­ни­ям ви­зу­аль­но-двой­ных звёзд, ле­жат в пре­де­лах (0,1–20)$M_☉$. Бо­лее по­ло­ви­ны звёзд на­шей Га­лак­ти­ки вхо­дят в со­став двой­ных, трой­ных звёзд или звёзд­ных сис­тем боль­шей крат­но­сти. Имен­но ис­сле­до­ва­ния двой­ных звёзд по­зво­ли­ли по­лу­чить дан­ные о звёзд­ных мас­сах и по­слу­жи­ли ос­но­вой для ус­та­нов­ле­ния со­от­но­ше­ния мас­са – све­ти­мость (см. Мас­са – све­ти­мость за­ви­си­мость). Это со­от­но­ше­ние ши­ро­ко ис­поль­зу­ет­ся в звёзд­ной ас­тро­но­мии и ас­т­ро­фи­зи­ке в ка­че­ст­ве не­за­ме­ни­мо­го сред­ст­ва оцен­ки масс звёзд по их све­ти­мо­стям.

Со­глас­но совр. пред­став­ле­ни­ям, мас­сы звёзд за­клю­че­ны в пре­де­лах (0,08–100)$M_☉$. Мас­са отд. звез­ды в сред­нем близ­ка к $M_☉$, в то вре­мя как звёз­ды с мас­са­ми, в де­сят­ки раз бóльшими мас­сы Солн­ца, встре­ча­ют­ся дос­та­точ­но ред­ко: это гл. обр. звёз­ды ран­них спек­траль­ных клас­сов O и B.

Массы звёздных скоплений и галактик


Мас­су $M$ ша­ро­во­го звёзд­но­го ско­п­ле­ния ра­диу­са $R$ мож­но оце­нить по ве­ли­чи­не кру­го­вой ско­ро­сти $V$ звез­ды, дви­жу­щей­ся на гра­ни­це ско­п­ле­ния, счи­тая, что цен­тро­ст­ре­мит. ус­ко­ре­ние звез­ды вы­зва­но при­тя­же­ни­ем всех звёзд ша­ро­во­го ско­п­ле­ния. То­гда мас­са ско­п­ле­ния оце­ни­ва­ет­ся по фор­му­ле $M=V^2R/G$, где $G$ – гра­ви­тац. по­сто­ян­ная. Бо­лее точ­ная оцен­ка мас­сы звёзд­но­го ско­п­ле­ния по­лу­ча­ет­ся при ис­поль­зо­ва­нии не­ко­то­рых ус­ред­нён­ных зна­че­ний ско­ро­стей звёзд и их ср. уда­лён­но­сти от цен­тра ско­п­ле­ния.

На­ли­чие у га­лак­ти­ки од­но­го спут­ни­ка (иг­раю­ще­го роль проб­но­го те­ла) по­зво­ля­ет оце­нить мас­су га­лак­ти­ки с по­мо­щью ана­ло­гич­ной фор­му­лы, но точ­ность та­кой оцен­ки очень не­вы­со­ка. В ка­че­ст­ве проб­но­го те­ла мо­жет рас­смат­ри­вать­ся др. га­лак­ти­ка, ша­ро­вое ско­п­ле­ние, рас­по­ло­жен­ное на пе­ри­фе­рии га­лак­ти­ки, и да­же об­ла­ко меж­звёзд­но­го га­за. Ес­ли у га­лак­ти­ки име­ет­ся неск. спут­ни­ков (или др. проб­ных тел), то мож­но пред­по­ло­жить, что рас­пре­де­ле­ние по­ло­же­ний и ско­ро­стей спут­ни­ков име­ет слу­чай­ный ха­рак­тер. Это пред­по­ло­же­ние реа­ли­зу­ет­ся тем точ­нее, чем боль­ше име­ет­ся проб­ных тел (напр., в га­лак­ти­ке М31 в со­звез­дии Ан­дро­ме­ды ок. 400 ша­ро­вых ско­п­ле­ний). То­гда в при­ве­дён­ной фор­му­ле мож­но ис­поль­зо­вать ви­ди­мые рас­стоя­ния и ско­ро­сти проб­ных тел, ус­ред­нён­ные за про­ме­жу­ток вре­ме­ни, зна­чи­тель­но пре­вы­шаю­щий их ор­би­таль­ные пе­рио­ды.


с­сы спи­раль­ных га­лак­тик мож­но оце­ни­вать с по­мо­щью об­ла­ков меж­звёзд­но­го га­за на кру­го­вых ор­би­тах в га­лак­тич. плос­ко­сти. Из­ло­жен­ный ме­тод из­ме­ре­ния масс га­лак­тик (ме­тод Нью­то­на) ба­зи­ру­ет­ся на за­ко­не все­мир­но­го тя­го­те­ния. Бо­лее пер­спек­тив­ным счи­та­ет­ся ме­тод Эйн­штей­на, в ко­то­ром мас­сив­ные га­лак­ти­ки рас­смат­ри­ва­ют­ся в ка­че­ст­ве гра­ви­тац. лин­зы (см. Гра­ви­та­ци­он­ная фо­ку­си­ров­ка).

В оцен­ке сум­мар­ной мас­сы га­лак­ти­ки с учё­том всех её со­став­ляю­щих (звёзд, га­за, пы­ли и др.) су­ще­ст­вен­ную роль иг­ра­ет кру­го­вая ско­рость проб­но­го те­ла. Эта ско­рость при уда­ле­нии от цен­тра га­лак­ти­ки долж­на умень­шать­ся по оп­ре­де­лён­но­му за­ко­ну. Од­на­ко по ре­зуль­та­там на­блю­де­ний уда­лось ус­та­но­вить, что этот за­кон вы­пол­ня­ет­ся толь­ко во внутр. об­лас­ти га­лак­ти­ки. На пе­ри­фе­рии лю­бой га­лак­ти­ки кру­го­вая ско­рость поч­ти все­гда вы­ше зна­че­ния, по­лу­чен­но­го в пред­по­ло­же­нии, что вся мас­са га­лак­ти­ки за­клю­че­на в её звёз­дах и га­зе. Ча­ще все­го ско­рость вра­ще­ния звёзд не умень­ша­ет­ся с рас­стоя­ни­ем от цен­тра га­лак­ти­ки, а ос­та­ёт­ся по­сто­ян­ной или да­же рас­тёт при при­бли­же­нии к ви­ди­мо­му краю га­лак­ти­ки. Для объ­яс­не­ния та­ко­го фе­но­ме­на бы­ло вы­дви­ну­то пред­по­ло­же­ние о су­ще­ст­во­ва­нии в га­лак­ти­ках скры­той мас­сы, по­вы­шаю­щей ве­ли­чи­ну на­пря­жён­но­сти гра­ви­тац. по­ля га­лак­ти­ки вда­ли от её цен­тра. Во­прос о гра­ни­цах га­лак­тик и их пол­ных мас­сах на нач. 21 в. не ре­шён: не­све­тя­щие­ся час­ти га­лак­тик мо­гут про­сти­рать­ся на по­ря­док даль­ше ви­ди­мой гра­ни­цы их звёзд­ных дис­ков.


Источник: bigenc.ru

История попыток определения размера планеты

Ученых всех веков и народов пытались найти ответ на вопрос о том, сколько весит Земля. В древние времена люди предполагали, что планета – это плоская тарелка, которую держат киты и черепаха. В некоторых нациях вместо китов были слоны. В любом случае разные народы мира представляли планету плоской и имеющей свой край.

Во времена Средневековья представления о форме и весе изменились. Первым, кто заговорил о сферическом виде, был Дж. Бруно, однако, за свои убеждения его казнила инквизиция. Другой вклад в науку, который показывает радиус и массу Земли, внес путешественник Магеллан. Именно он предположил, что планета круглая.

Первые открытия

Земля – физическое тело, имеющее определенные свойства, среди которых есть и вес. Это открытие позволило начать самые разные исследования. По физической теории вес – это сила действия тела на опору. Учитывая, что Земля не имеет никакой опоры, можно сделать вывод, что у нее нет веса, а вот масса имеется, и большая.

Вес Земли


Впервые определить размер планеты пытался Эратосфен – древнегреческий ученый. В разных городах Греции он проводил замеры тени, а после сравнивал полученные данные. Таким образом он пытался рассчитать объем планеты. После него провести вычисления пытался итальянец Г. Галилей. Именно он открыл закон свободного тяготения. Эстафета по определению того, сколько весит Земля, была принята И. Ньютоном. Благодаря попыткам сделать замеры, он открыл закон гравитации.

Впервые определить, сколько весит Земля, удалось шотландскому ученому Н. Мэкелин. По его вычислениям масса планеты составляет 5,9 секстиллионов тонн. Сейчас этот показатель увеличился. Различия в весе связано с оседанием на поверхности планеты космической пыли. Примерно тридцать тонн пыли ежегодно остаются на планете, делая ее тяжелее.

Масса Земли

Чтобы точно узнать, сколько весит Земля, необходимо знать состав и вес веществ, из которых состоит планета.

  1. Мантия. Масса этой оболочки составляет примерно 4,05 Х 1024 кг.
  2. Ядро. Эта оболочка весит меньше мантии – всего 1.94 Х 1024 кг.
  3. Кора земная. Данная часть очень тонкая и весит всего 0,027 Х 1024 кг.
  4. Гидросфера и атмосфера. Эти оболочки весят 0,0015 Х 1024 и 0,0000051 Х 1024 кг, соответственно.

Сложив все эти данные, получаем вес Земли. Однако по разным источникам масса планеты различна. Так сколько весит планета Земля в тоннах, и сколько весят другие планеты? Вес планеты составляет 5,972 Х 1021 т. Радиус – 6370 километров.


На основе принципа гравитации можно с легкостью определить вес Земли. Для этого берется нить, и на нее подвешивается маленький груз. Его местоположение определяется точно. Рядом размещают тонну свинца. Между двумя телами возникает притяжение, из-за которого груз отклоняется в сторону на незначительное расстояние. Однако даже отклонение в 0,00003 мм дает возможность вычислить массу планеты. Для этого достаточно измерить силу притяжения по отношению к весу и силу притяжения малого груза к большому. Полученные данные позволяют провести расчеты массы Земли.

Масса Земли и других планет

Земля является самой большой планетой земной группы. По отношению к ней масса Марса составляет около 0,1 земного веса, а Венера – 0,8. Вес Меркурия составляет около 0,05 от земного. Газовые гиганты во много раз крупнее Земли. Если сравнить Юпитер и нашу планету, то гигант больше в 317 раз, а Сатурн тяжелее в 95 раз, Уран – в 14. Есть планеты, которые весят больше Земли в 500 раз и более. Это огромные газовые тела, расположенные за пределами нашей солнечной системы.

Источник: FB.ru

Массы Земли и других планет

Од­на из пер­вых оце­нок мас­сы Зем­ли по­лу­че­на Г. Ка­вен­ди­шем по­сле про­ве­де­ния опы­та по экс­пе­рим. оп­ре­де­ле­нию уни­вер­саль­ной гра­ви­тац. по­сто­ян­ной. Из­ме­ряя с по­мо­щью кру­тиль­ных ве­сов си­лу при­тя­же­ния ме­ж­ду мас­сив­ным свин­цо­вым ша­ром и под­ве­шен­ным вбли­зи не­го не­боль­шим ме­тал­лич. ша­ри­ком, Ка­вен­диш срав­нил ве­ли­чи­ну этой си­лы с си­лой при­тя­же­ния ша­ри­ка Зем­лёй и су­мел вы­чис­лить, во сколь­ко раз мас­са Зем­ли пре­вы­ша­ет мас­су свин­цо­во­го ша­ра. Та­ким об­ра­зом бы­ла по­лу­че­на оцен­ка мас­сы Зем­ли (6·1024 кг) и её ср. плот­но­сти (5,5 кг/м3).

Мас­сы др. пла­нет оп­ре­де­ля­ют по па­ра­мет­рам их ор­бит с по­мо­щью третье­го за­ко­на Ке­п­ле­ра (см. Ке­п­ле­ра за­ко­ны). В обоб­щён­ной фор­ме этот за­кон име­ет вид: $T_1^2(M_☉+m_1)/T_2^2(M_☉+m_2)=a_1^3/a_2^3$, где $M☉$  – мас­са Солн­ца, $m_1$ и $m_2$ – мас­сы двух пла­нет, $a_1$ и $a_2$ – боль­шие по­лу­оси их ор­бит, $T_1$ и $T_2$ – пе­рио­ды об­ра­ще­ния этих пла­нет во­круг Солн­ца. Для пла­не­ты, имею­щей спут­ник мас­сой $m_с$, дви­жу­щий­ся по пла­не­то­цен­три­че­ской ор­би­те с боль­шой по­лу­осью $a_с$ и пе­рио­дом об­ра­ще­ния $T_с$, этот за­кон при­об­ре­та­ет вид: $T^2(M_☉+m)/T_с^2(m+m_с)=a^3/a_с^3,$  где $m$ – масса планеты, $a$ и $T$– её боль­шая по­лу­ось и пе­ри­од об­ра­ще­ния со­от­вет­ствен­но. Ес­ли в этой фор­му­ле пре­неб­речь мас­сой пла­не­ты по срав­не­нию с $M_☉$ и мас­сой спут­ни­ка по срав­не­нию с мас­сой пла­не­ты, то мож­но по­лу­чить со­от­но­ше­ние, по­зво­ляю­щее оп­ре­де­лить от­но­ше­ние мас­сы пла­не­ты к $M_☉:: m/M_☉=T^2a_с^3/T_с^2a^3$. По па­ра­мет­рам ор­бит Зем­ли и Лу­ны бы­ла про­ве­де­на оцен­ка массы Солнца – при­мер­но в 333 000 раз боль­ше мас­сы Зем­ли.

Мас­сы Мер­ку­рия и Ве­не­ры, у ко­то­рых от­сут­ст­ву­ют ес­теств. спут­ни­ки, этим спо­со­бом оп­ре­де­лить не­воз­мож­но. Един­ст­вен­ный и го­раз­до бо­лее труд­ный путь со­сто­ит в ис­поль­зо­ва­нии воз­му­ще­ний (все­гда яв­ляю­щих­ся функ­ция­ми воз­му­щаю­щей мас­сы), ко­то­рые пла­не­та вы­зы­ва­ет в дви­же­нии др. тел Сол­неч­ной сис­те­мы. Зна­чи­тель­но бо­лее труд­ную за­да­чу пред­став­ля­ет оп­ре­де­ле­ние мас­сы Лу­ны. Яв­ля­ясь бли­жай­шим к Зем­ле не­бес­ным те­лом, Лу­на не мо­жет, стро­го го­во­ря, счи­тать­ся спут­ни­ком на­шей пла­не­ты, т. к. Солн­це при­тя­ги­ва­ет её в 2,5 раза силь­нее, чем Зем­ля. Во­круг Солн­ца об­ра­ща­ет­ся т. н. ба­ри­центр (центр масс) двой­ной пла­не­ты Зем­ля–Лу­на, в то вре­мя как обе они опи­сы­ва­ют от­но­си­тель­но ба­ри­цен­тра эл­лип­тич. ор­би­ты с пе­рио­дом в 1 ме­сяц. По­это­му мас­су Лу­ны мож­но вы­чис­лить по ве­ли­чи­не ме­сяч­но­го сме­ще­ния Зем­ли от­но­си­тель­но ба­ри­цен­тра. В точ­ных ас­тро­но­мич. на­блю­де­ни­ях дол­го­ты Солн­ца про­яв­ля­ет­ся т. н. лун­ное не­ра­вен­ст­во, сви­де­тель­ст­вую­щее о том, что центр Зем­ли в те­че­ние ме­ся­ца опи­сы­ва­ет эл­липс с боль­шой по­лу­осью, рав­ной при­мер­но 3/4 ра­диу­са Зем­ли. По­след­нее оз­на­ча­ет, что ба­ри­центр сис­те­мы Зем­ля–Лу­на все­гда рас­по­ла­га­ет­ся внут­ри Зем­ли и ни­ко­гда не вы­хо­дит за пре­де­лы её по­верх­но­сти. Оп­ре­де­лён­ная по этим дан­ным мас­са Лу­ны со­став­ля­ет ок. 1/81 мас­сы Зем­ли.

Мас­сы всех пла­нет Сол­неч­ной сис­те­мы вхо­дят в чис­ло фун­дам. ас­тро­но­мич. по­сто­ян­ных, зна­че­ния ко­то­рых ре­гу­ляр­но уточ­ня­ют­ся на ос­но­ве всей со­вокуп­но­сти ас­тро­но­мич. на­блю­де­ний и утвер­жда­ют­ся Ме­ж­ду­на­р. ас­тро­но­ми­ч. сою­зом.

Массы звёзд

Тре­тий за­кон Ке­п­ле­ра в его обоб­щён­ной фор­ме по­зво­ля­ет так­же оп­ре­де­лить сум­мар­ную мас­су двой­ной звез­ды по из­вест­но­му зна­че­нию её го­дич­но­го па­рал­лак­са. Ес­ли $m_1$ и $m_2$ – мас­сы ком­по­нен­тов звёзд­ной па­ры, $A$ – боль­шая по­лу­ось ор­би­ты звез­ды-спут­ни­ка от­но­си­тель­но гл. звез­ды, $P$ – её пе­ри­од об­ра­ще­ния, $a$ – ср. рас­стоя­ние от Зем­ли до Солн­ца (рав­ное 1 а. е.), $T$ – пе­ри­од об­ра­ще­ния Зем­ли во­круг Солн­ца (1 год), $m$ – мас­са Зем­ли, то, со­глас­но тре­ть­ему за­ко­ну Ке­п­ле­ра, $a^3/T^2(M_☉+m) =A^3/P^2(m_1+m_2)$. Пре­неб­ре­гая мас­сой Зем­ли по срав­не­нию с мас­сой Солн­ца и вы­брав в ка­че­ст­ве еди­ни­цы из­ме­ре­ния вре­ме­ни год, а рас­стоя­ния – а. е., по­лу­чим фор­му­лу $(m_1+m_2)/M_☉=A^3/P^2$, по­зво­ляю­щую оп­ре­де­лить от­но­ше­ния сум­мы масс двой­ной звез­ды к $M_☉$. Зна­че­ние $A$ мож­но вы­чис­лить, ес­ли из­вес­тны го­дич­ный па­рал­лакс π двой­ной звез­ды и зна­че­ние боль­шой по­лу­оси $a″$ от­но­ситель­ной ор­би­ты звез­ды-спут­ни­ка, вы­ражен­ное в уг­ло­вых се­кун­дах. То­гда $A=a″/π$ и для оп­ре­де­ле­ния от­но­ше­ния сум­мар­ной мас­сы двой­ной звёзд­ной сис­те­мы к $M_☉$ мож­но вос­поль­зо­вать­ся фор­му­лой $(m_1+m_2)/M_☉= (a″ )^3/π^3P^2$. Напр., для двой­ной звёзд­ной сис­те­мы Си­ри­ус А и Си­ри­ус B со­от­вет­ст­вую­щие зна­че­ния со­став­ля­ют $a″$=7,57″, $π$=0,37″ и $P$ = 50 лет, со­от­вет­ст­вен­но сум­мар­ная мас­са этой двой­ной звёзд­ной сис­те­мы оце­ни­ва­ет­ся в 3,4$M_☉$.

В том слу­чае, ко­гда уда­ёт­ся из­ме­рить по­ло­же­ния ви­зу­аль­но-двой­ных звёзд от­но­си­тель­но их ба­ри­цен­тра, воз­ни­ка­ет воз­мож­ность оп­ре­де­лить от­но­ше­ние масс обо­их ком­по­нен­тов. Та­кие из­ме­ре­ния тре­бу­ют зна­ния точ­ных по­ло­же­ний ком­по­нен­тов сис­те­мы от­но­си­тель­но да­лё­ких звёзд (т. н. звёзд фо­на) на дос­та­точ­но дли­тель­ных ин­тер­ва­лах вре­ме­ни. Про­дол­жит. на­блю­де­ния оди­ноч­ной звез­ды в те­че­ние мн. лет по­ка­зы­ва­ют, что ес­ли она име­ет соб­ст­вен­ное дви­же­ние от­но­си­тель­но звёзд­но­го фо­на, то её пе­ре­ме­ще­ние про­ис­хо­дит по ду­ге боль­шо­го кру­га не­бес­ной сфе­ры. Но ес­ли звез­да – ви­зу­аль­но-двой­ная, то по ду­ге боль­шо­го кру­га сме­ща­ет­ся её ба­ри­центр, а оба ком­по­нен­та сис­те­мы дви­жут­ся по кри­во­ли­ней­ным ба­ри­цен­трич. тра­ек­то­ри­ям. Точ­ные ас­т­ро­мет­рич. из­ме­ре­ния по­ло­же­ний ком­по­нен­тов двой­ной сис­те­мы по­зво­ля­ют про­сле­дить тра­ек­то­рию цен­тра масс, а за­тем и ин­ди­ви­ду­аль­ные ор­би­ты отд. ком­по­нен­тов. Ес­ли $α_1$ и $α_2$ – вы­ра­жен­ные в се­кун­дах ду­ги уг­ло­вые рас­стоя­ния от гл. звез­ды с мас­сой $M_1$ и звез­ды-спут­ни­ка с мас­сой $M_2$ до ви­ди­мо­го по­ло­же­ния цен­тра масс двой­ной сис­те­мы, то то­гда, по оп­ре­де­ле­нию цен­тра масс, $M_1α_1=M_2α_2$, от­ку­да сле­ду­ет фор­му­ла для от­но­ше­ния масс ком­по­нен­тов ви­зу­аль­но-двой­ной звез­ды: $M_1/M_2=α_2/α_1$.

Зна­ние сум­мар­ной мас­сы двой­ной звез­ды и от­но­ше­ния масс её ком­по­нен­тов по­зво­ля­ет без тру­да вы­чис­лить мас­сы обе­их звёзд. Ти­пич­ные зна­че­ния масс звёзд, по­лу­чен­ные по на­блю­де­ни­ям ви­зу­аль­но-двой­ных звёзд, ле­жат в пре­де­лах (0,1–20)$M_☉$. Бо­лее по­ло­ви­ны звёзд на­шей Га­лак­ти­ки вхо­дят в со­став двой­ных, трой­ных звёзд или звёзд­ных сис­тем боль­шей крат­но­сти. Имен­но ис­сле­до­ва­ния двой­ных звёзд по­зво­ли­ли по­лу­чить дан­ные о звёзд­ных мас­сах и по­слу­жи­ли ос­но­вой для ус­та­нов­ле­ния со­от­но­ше­ния мас­са – све­ти­мость (см. Мас­са – све­ти­мость за­ви­си­мость). Это со­от­но­ше­ние ши­ро­ко ис­поль­зу­ет­ся в звёзд­ной ас­тро­но­мии и ас­т­ро­фи­зи­ке в ка­че­ст­ве не­за­ме­ни­мо­го сред­ст­ва оцен­ки масс звёзд по их све­ти­мо­стям.

Со­глас­но совр. пред­став­ле­ни­ям, мас­сы звёзд за­клю­че­ны в пре­де­лах (0,08–100)$M_☉$. Мас­са отд. звез­ды в сред­нем близ­ка к $M_☉$, в то вре­мя как звёз­ды с мас­са­ми, в де­сят­ки раз бóльшими мас­сы Солн­ца, встре­ча­ют­ся дос­та­точ­но ред­ко: это гл. обр. звёз­ды ран­них спек­траль­ных клас­сов O и B.

Массы звёздных скоплений и галактик

Мас­су $M$ ша­ро­во­го звёзд­но­го ско­п­ле­ния ра­диу­са $R$ мож­но оце­нить по ве­ли­чи­не кру­го­вой ско­ро­сти $V$ звез­ды, дви­жу­щей­ся на гра­ни­це ско­п­ле­ния, счи­тая, что цен­тро­ст­ре­мит. ус­ко­ре­ние звез­ды вы­зва­но при­тя­же­ни­ем всех звёзд ша­ро­во­го ско­п­ле­ния. То­гда мас­са ско­п­ле­ния оце­ни­ва­ет­ся по фор­му­ле $M=V^2R/G$, где $G$ – гра­ви­тац. по­сто­ян­ная. Бо­лее точ­ная оцен­ка мас­сы звёзд­но­го ско­п­ле­ния по­лу­ча­ет­ся при ис­поль­зо­ва­нии не­ко­то­рых ус­ред­нён­ных зна­че­ний ско­ро­стей звёзд и их ср. уда­лён­но­сти от цен­тра ско­п­ле­ния.

На­ли­чие у га­лак­ти­ки од­но­го спут­ни­ка (иг­раю­ще­го роль проб­но­го те­ла) по­зво­ля­ет оце­нить мас­су га­лак­ти­ки с по­мо­щью ана­ло­гич­ной фор­му­лы, но точ­ность та­кой оцен­ки очень не­вы­со­ка. В ка­че­ст­ве проб­но­го те­ла мо­жет рас­смат­ри­вать­ся др. га­лак­ти­ка, ша­ро­вое ско­п­ле­ние, рас­по­ло­жен­ное на пе­ри­фе­рии га­лак­ти­ки, и да­же об­ла­ко меж­звёзд­но­го га­за. Ес­ли у га­лак­ти­ки име­ет­ся неск. спут­ни­ков (или др. проб­ных тел), то мож­но пред­по­ло­жить, что рас­пре­де­ле­ние по­ло­же­ний и ско­ро­стей спут­ни­ков име­ет слу­чай­ный ха­рак­тер. Это пред­по­ло­же­ние реа­ли­зу­ет­ся тем точ­нее, чем боль­ше име­ет­ся проб­ных тел (напр., в га­лак­ти­ке М31 в со­звез­дии Ан­дро­ме­ды ок. 400 ша­ро­вых ско­п­ле­ний). То­гда в при­ве­дён­ной фор­му­ле мож­но ис­поль­зо­вать ви­ди­мые рас­стоя­ния и ско­ро­сти проб­ных тел, ус­ред­нён­ные за про­ме­жу­ток вре­ме­ни, зна­чи­тель­но пре­вы­шаю­щий их ор­би­таль­ные пе­рио­ды. Мас­сы спи­раль­ных га­лак­тик мож­но оце­ни­вать с по­мо­щью об­ла­ков меж­звёзд­но­го га­за на кру­го­вых ор­би­тах в га­лак­тич. плос­ко­сти. Из­ло­жен­ный ме­тод из­ме­ре­ния масс га­лак­тик (ме­тод Нью­то­на) ба­зи­ру­ет­ся на за­ко­не все­мир­но­го тя­го­те­ния. Бо­лее пер­спек­тив­ным счи­та­ет­ся ме­тод Эйн­штей­на, в ко­то­ром мас­сив­ные га­лак­ти­ки рас­смат­ри­ва­ют­ся в ка­че­ст­ве гра­ви­тац. лин­зы (см. Гра­ви­та­ци­он­ная фо­ку­си­ров­ка).

В оцен­ке сум­мар­ной мас­сы га­лак­ти­ки с учё­том всех её со­став­ляю­щих (звёзд, га­за, пы­ли и др.) су­ще­ст­вен­ную роль иг­ра­ет кру­го­вая ско­рость проб­но­го те­ла. Эта ско­рость при уда­ле­нии от цен­тра га­лак­ти­ки долж­на умень­шать­ся по оп­ре­де­лён­но­му за­ко­ну. Од­на­ко по ре­зуль­та­там на­блю­де­ний уда­лось ус­та­но­вить, что этот за­кон вы­пол­ня­ет­ся толь­ко во внутр. об­лас­ти га­лак­ти­ки. На пе­ри­фе­рии лю­бой га­лак­ти­ки кру­го­вая ско­рость поч­ти все­гда вы­ше зна­че­ния, по­лу­чен­но­го в пред­по­ло­же­нии, что вся мас­са га­лак­ти­ки за­клю­че­на в её звёз­дах и га­зе. Ча­ще все­го ско­рость вра­ще­ния звёзд не умень­ша­ет­ся с рас­стоя­ни­ем от цен­тра га­лак­ти­ки, а ос­та­ёт­ся по­сто­ян­ной или да­же рас­тёт при при­бли­же­нии к ви­ди­мо­му краю га­лак­ти­ки. Для объ­яс­не­ния та­ко­го фе­но­ме­на бы­ло вы­дви­ну­то пред­по­ло­же­ние о су­ще­ст­во­ва­нии в га­лак­ти­ках скры­той мас­сы, по­вы­шаю­щей ве­ли­чи­ну на­пря­жён­но­сти гра­ви­тац. по­ля га­лак­ти­ки вда­ли от её цен­тра. Во­прос о гра­ни­цах га­лак­тик и их пол­ных мас­сах на нач. 21 в. не ре­шён: не­све­тя­щие­ся час­ти га­лак­тик мо­гут про­сти­рать­ся на по­ря­док даль­ше ви­ди­мой гра­ни­цы их звёзд­ных дис­ков.

Источник: bigenc.ru

Для начала измерим массу Земли

Переформулировав задачу таким образом, мы сразу же получим зацепки ведущие к решению. Первым делом нам нужно определить величину силы притяжения возникающей между любыми двумя массами.

Принцип этого определения следующий:

Представьте себе очень при очень чувствительные равноплечие весы с двумя чашками. В каждой чашке (А и Б) пускай лежит некий груз имеющий совершенно одинаковую массу. Весы в таком случае, будут прибывать в полном равновесии.

Теперь мы берем третье тело (В) масса которого нам также известна, и помещаем его под тело А. Взаимное притяжение между А и В, ожидаемо заставляет чашку весов А опуститься вниз. Для сохранения равновесия нам срочно необходимо добавить к массе Б очень небольшую, но опять же вполне измеримую массу Г.

А вот теперь самое интересное: поскольку сила, с которой вся Земля притягивает тело Г, равна взаимному притяжению между А и В, можно без труда определить массу Земли, которая оказывается равной 6,59 х 1021 тонн.

А теперь измерим массу Солнца!

Земля по своей орбите движется примерно так, как если бы невидимая нить соединяла ее с Солнцем. Действительно, гравитационное притяжение подобно натяжению нити, так что Земля все время движется к Солнцу, вместо того чтобы «улететь» по прямой линии, что будет, если эта “нить” вдруг оборвется. Можно сказать, что, двигаясь вокруг Солнца, Земля все время «падает» на него.

Этому “падению” соответствует отклонение ее орбиты от прямой линии, составляющее около 3 мм в секунду. Еще со времен Галилея известно, что на поверхности Земли в первую секунду своего падения всякое тело проходит 4,9 м. Расстояния 3 мм и 4,9 м прямо пропорциональны соответствующим гравитационным ускорениям, т. е. силам, действующим на единичную
массу со стороны Солнца на расстоянии Земли и Земли на ее поверхности.

Отсюда, зная, что гравитационное ускорение прямо пропорционально массе и обратно пропорционально квадрату расстояния от центра тела, можно легко вычислить, что масса Солнца в 329 390 раз больше массы Земли.

Воспользовавшись значением массы Земли, полученным выше, находим, что масса Солнца составляет 2.24 х 1027  тонн. Полностью это немыслимое число можно записать, как 2 240 000 000 000 000 000 000 000 000 тонн.

Теперь уже можно вычислить и среднюю плотность Солнца, т. е. его массу, поделенную на массу воды, занимающей тот же объем.

Поскольку один кубический сантиметр воды весит один грамм, мы просто должны разделить массу Солнца (в граммах) на его объем (в кубических сантиметрах). Получим в результате число 1,42.

Иными словами, в среднем некоторый объем солнечного вещества должен весить приблизительно столько же, сколько ком битумного угля, занимающего такой же объем.

Естественно, “среднее значение” на то и среднее, чтоб представлять некую золотую середину между солнечным ядром (где плотность вещества в 10 раз превышает плотность стали) и веществом солнечной короны (где плотность падает почти до величины космического вакуума). Тем не менее, в общем и целом данная методика расчетов абсолютно верна и может с успехом применяться при расчете массы любого небесного тела – хоть астероида, хоть звезды.

Источник: starcatalog.ru


You May Also Like

About the Author: admind

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Этот сайт использует Akismet для борьбы со спамом. Узнайте, как обрабатываются ваши данные комментариев.