Вырожденный электронный газ


Функция Ферми-Дирака описывает равновесное состояние электронов. Если при какой-то температуре электронов нет, то будет происходить термогенерация электронов и дырок, и постепенно они распределятся по функции Ферми-Дирака.

Вырожденный электронный газВ физике, энергия Ферми (EF) системы невзаимодействующих фермионов — это увеличение энергии основного состояния системы при добавлении одной частицы. Это эквивалентно химическому потенциалу системы в ее основном состоянии при абсолютном нуле температур.

Вырожденный газ — газ, на свойства которого существенно влияют квантовомеханические эффекты, возникающие вследствие тождественности его частиц. В собственных полупроводниках электронный или дырочный газ в, соответственно, зоне проводимости или валентной зоне, невырожденный.

Условия вырождения выполняются при достаточно низкой температуре T (для идеального газа v≈√T ) и высокой концентрации частиц.

31. Плотность электронных состояний. Заполнение электронами энергетических зон. Энергия и уровень Ферми.


Плотность состояний — величина определяющая количество энергетических уровней в интервале энергий на единицу площади. Термин может применяться к фотонам, электронам, квазичастицам в твёрдом теле и т. п.

В каждой энергетической зоне могут располагаться в соответствии принципом Паули не более 2(2l + 1) электронов — по два с противоположными спинами на каждом уровне. Число электронов в кристалле конечно и зависит как от числа атомов N, так и от количества электронов в атоме. Электроны стремятся занять энергетические уровни с наинизшей энергией.

В физике, энергия Ферми (EF) системы невзаимодействующих фермионов — это увеличение энергии основного состояния системы при добавлении одной частицы. Это эквивалентно химическому потенциалу системы в ее основном состоянии при абсолютном нуле температур.

Уровень Ферми — уровень энергии, ниже которого все состояния при T = 0K заняты электронами.

32. Элементы квантовой статистики. Нахождение числа электронов в заданном интервале энергий. Нахождение средних значений. Средняя энергия электронов в металле.

Квантовая статистика – это статистический метод исследования, применимый к системам, состоящим из большого числа частиц, которые подчиняются законам квантовой механики. Квантовая статистика – это дважды статическая система.

Соотношение, которое позволяет, зная концентрацию электронов , найти энергию Ферми , или, наоборот:


Вырожденный электронный газСреднее значение энергии электронов: <E>=0Eg(E)f(E)dE/0g(E)f(E)dE = (3/5)EF.

33. Электрическая проводимость твердых тел с точки зрения зонной теории. Металлы, полупроводники, диэлектрики.

С точки зрения зонной теории все твердые тела можно подразделить на две основные группы: материалы, у которых валентная зона перекрывается зоной проводимости, и материалы, у которых валентная зона и зона проводимости разделены запрещенной зоной. В первом случае незначительное внешнее энергетическое воздействие переводит электроны на более высокие энергетические уровни, что обусловливает хорошую электропроводность материалов. Во втором случае переходы на более высокие энергетические уровни связаны с необходимостью внешнего энергетического воздействия, превышающего ширину запрещенной зоны.

Материалы, в энергетической диаграмме которых отсутствует запрещенная зона, относятся к категории проводников, материалы с узкой запрещенной зоной (менее 3 эВ) — к категории полупроводников и материалы с широкой запрещенной зоной (более 3 эВ) — к категории диэлектриков.

Источник: studfile.net

Температура вырождения


Газ начинает вырождаться при понижении температуры до так называемой температуры вырождения. Полное вырождение соответствует температуре равной абсолютному нулю. Квантовомеханические эффекты проявляются тем существеннее, чем меньше расстояние между частицами. Дело в том, что классическая механика работает при условии, что расстояние между частицами значительно превышает длину волны де Бройля, с уменьшением же расстояния начинает проявляться волновая природа частицы.

Известно, что чем больше скорость частиц в газе, тем выше температура. Из этого следует, что температура вырождения тем выше, чем больше плотность газа (меньшее расстояние между частицами) и чем меньше масса его частиц. Например, так как масса электрона относительно мала (около 10-27 г), а плотность электронов в металле высока (1022 на 1 см3), то вырожденный электронный газ в металлах можно наблюдать при температуре не меньше 10 000 кельвин.

В отличие от электронного газа, температуры вырождения обычных молекулярных и атомных газов близки к температуре абсолютного нуля. Потому такой газ обычно подчиняется классической механике. Газ с высокой степенью вырождения является квантовым газом.


Принцип тождественности

Говоря о принципе тождественности частиц – это одно из основных различий между квантовой и классической механикой. Его суть состоит в том, что в классической механике всегда можно проследить за траекторией тела, а потому и явно отличить одно тело от другого с течением времени. В случае же с квантовым миром, наблюдение одной частицы невозможно, так как она не имеет определенной траектории, а распространяется в соответствии с волнами де Бройля. Это волны вероятности, которые определяют вероятность обнаружения частицы в заданной точке пространства.

Таким образом, если нельзя отследить траекторию некоторой частицы, то нельзя и утверждать, что с течением времени мы наблюдаем одну и ту же частицу, а не другую частицу того же сорта.

Плотность вероятности обнаружения частицы в том или ином месте описывается при помощи волновой функции (а вернее квадрату ее модуля). Так как природа бозонов и фермионов отличается, то и их волновые функции ведут себя по-разному. По этой причине вырожденный газ разделяют на газ, состоящий из частиц с целым спином – бозонов (вырожденный Бозе-газ), и состоящий из частиц с полуцелым спином – фермионов (Ферми газ).
 
 

Вырожденный газ в природе

Электронный вырожденный газ обычно встречается в белых карликах, образуя ядро звезды, в результате сильного давления со стороны ее верхних слоев. Так как электроны – это фермионы, то они подчиняются принципу Паули – несколько фермионов не могут находиться в одном состоянии (в т. ч. в одной точке). По этой причине внешние слои звезды способны сжать электронный газ лишь до определенного объема.


В случае коллапса звезды – она превращается в нейтронную. В таком случае, под давлением верхних слоев атмосферы электроны «сливаются» с протонами, вследствие чего превращаются в нейтральные частицы – нейтроны. Далее нейтроны сжимаются массой звезды до высокой степени вырождения, образуя нейтронный вырожденный газ.

 

comments powered by HyperComments

Источник: SpaceGid.com

Применим статистику Ферми-Дирака к описанию электронов проводимости в металлах. Будем рассматривать свободные электроны, т.е. ту часть атомных электронов, которая может свободно перемещаться по всему проводнику. Именно эти электроны, в отличие от электронов, заполняющих внутренние электронные оболочки атомов, обеспечивают электропроводность металлов. Поэтому их называют электронами проводимости.

Замечание. Электроны проводимости в металлах не являются, вообще говоря, абсолютно свободными, т.к. испытывают взаимодействие с ионами, находящимися в узлах кристаллической решетки. Поэтому электроны находятся в усреднённом электрическом поле положительных ионов. Но внутри металла средняя суммарная сила, действующая на свободный электрон практически равна нулю, тогда как вблизи границы эта сила стремится вернуть электроны внутрь металла. Таким образом, можно рассматривать идеальный газ свободных электронов, находящихся внутри металла как в потенциальной яме.


Рассмотрим поведение электронного газа при T = 0. В этом случае электроны располагаются на самых нижних доступных для них энергетических уровнях. Согласно принципу запрета Паули в каждом состоянии может находиться не более одного электрона, но т.к. электроны могут различаться проекцией спина Вырожденный электронный газ, то на каждом энергетическом уровне будет находиться по два электрона с различной ориентацией спинов. Два электрона заполняют самое низшее энергетическое состояние. Третий и четвертый электроны находятся на первом возбуждённом энергетическом уровне, следующая пара электронов — на втором возбуждённом уровне и т.д. Если число электронов в металле равно N, то при T=0 будут заполнены первые Вырожденный электронный газуровней с энергией Вырожденный электронный газ. Все остальные уровни с энергией Вырожденный электронный газбудут свободны. Сравнивая полученный результат с распределением Ферми-Дирака при T=0, приходим к выводу, что максимальная энергия электронов Вырожденный электронный газсовпадает с энергией Ферми


Вырожденный электронный газ.

Хотя энергия электронов в металле квантуется и энергетический спектр электронов является дискретным, но уровни энергии расположены настолько плотно, что энергетический спектр электронов можно считать практически непрерывным (квазинепрерывным).

Найдем функцию распределенияэлектронов проводимости по энергии. Плотность квантовых состояний для электронов в металле: Вырожденный электронный газ.

Произведение Вырожденный электронный газна ширину энергетического интервала dE определяет число состояний, приходящихся на интервал энергий от E до E+dE. Умножая это произведение на <n>, т.е. на вероятность заполнения данного энергетического состояния, находим число электронов dN, энергия которых лежит в интервале от E до E+dE.

Интегрируя это выражение по энергии, получаем полное число свободных электронов в металле: Вырожденный электронный газ.



Запишем аналогичные выражения для концентрации электронов Вырожденный электронный газ. С учетом вида получаем:
Вырожденный электронный гази Вырожденный электронный газ.

Функция Вырожденный электронный газназывается функцией распределения свободных электронов по энергиям. При T = 0 функция F(E)имеет вид:

Вырожденный электронный газ

и распределение электронов по энергиям описывается выражением:

Вырожденный электронный газ.

Замечание. Функции распределения играют в статистической физике очень важную роль. Так, например, если известна функция распределения частиц по энергиям F(E), то можно найти среднее значение любой физической величины f, зависящей от E. Оно определяется соотношением :

Вырожденный электронный газ.

Получим выражение для энергии Ферми при T=0. Поскольку при абсолютном нуле температуры Вырожденный электронный газпри Вырожденный электронный гази Вырожденный электронный газпри Вырожденный электронный газ, то верхний предел интеграла в выражении для n можно заменить на :


Вырожденный электронный газ.

Тогда отсюда получаем, что Вырожденный электронный газ. Из этого соотношения можно по известному значению концентрации найти энергию Ферми , или, наоборот, по известной энергии Ферми найти концентрацию свободных электронов в металле.

Пример. Оценим величину энергии Ферми для свободных электронов в металле при T=0. Пусть

n = 5×1022 см-3 = 5×1028 м-3 , тогда Вырожденный электронный газэВ. Таким образом, по порядку величины составляет несколько электрон-вольт.§

Наряду с энергией Ферми вводится понятие температуры Ферми TF: Вырожденный электронный газ.

Но , поэтому Вырожденный электронный газ.

Пример. При значении = 5 эВ температура Ферми имеет величину TF = 60000 K, что более чем в 200 раз превышает комнатную температуру. §

Рассмотрим случай T > 0, когда ступенька в распределении Ферми-Дирака, характерная для T = 0, размывается и переход от заполненных электронами состояний к незаполненным происходит более плавным образом.


Все состояния, энергия которых меньше энергии Ферми на величину ~kT, заняты электронами. Все состояния, энергия которых превосходит энергию Ферми на величину ~ kT, оказываются свободными. И только в области энергий шириной ~ kT вблизи энергии Ферми имеются состояния, частично заполненные электронами. Однако, хотя ширина этой области, как правило, невелика по сравнению с энергией Ферми, эта область играет очень важную роль. Только электроны, заполняющие состояния в этой области, могут принимать участие в различных физических процессах, происходящих в металлах. Только их энергия может изменяться в ходе этих процессов.

Получим выражение для энергии Ферми EF при отличной от нуля температуре металла. В этом случае:

Вырожденный электронный газ.

Это выражение позволяет в принципе найти энергию Ферми EF как функцию температуры T и концентрации электронов n. Однако в общем случае интеграл точно не берётся. Приближённое значение интеграла удается получить при Вырожденный электронный газ. В этом случае для энергии Ферми получаем:

Вырожденный электронный газ.

Так как условие Вырожденный электронный газвыполняется для всего диапазона температур, при котором металлы существуют в твердом виде, то это соотношение справедливо для всех реализуемых на практике случаев. Более того, во многих ситуациях эта поправка оказывается ничтожно малой, так что ей можно пренебречь и считать, что Вырожденный электронный газ. Действительно, если взять Вырожденный электронный газэВ, то при комнатной температуре, т.е. при Вырожденный электронный газэВ, относительная величина поправки к составляет Вырожденный электронный газ.

Однако, для понимания ряда физических явлений, таких, например, как поведение теплоёмкости металлов при низких температурах или объяснение термоэдс, зависимость EF от T имеет принципиальное значение.

Замечание. Из распределения свободных электронов в металле по энергиям можно также получить распределения электронов по импульсам p и по скоростям v. Эти распределения получаются с использованием соотношений: Вырожденный электронный гази Вырожденный электронный газ.

Вырожденный электронный газ.

Вырожденный электронный газ — это газ, свойства которого существенно отличаются от свойств классического идеального газа из-за неразличимости одинаковых частиц в квантовой механике. Газ, состоящий из квантовых частиц, оказывается вырожденным тогда, когда среднее расстояние между частицами Вырожденный электронный газстановится меньше или сравнимым с дебройлевской длиной волны частицы Вырожденный электронный газ, т.е. Вырожденный электронный газ. Когда это условие нарушается в случае разреженных газов квантовые распределения Бозе-Эйнштейна и Ферми-Дирака переходят в классическое распределение Больцмана.

Температурой вырождения называется температура, ниже которой проявляются квантовые свойства газа, обусловленные тождественностью его частиц. Для газа, состоящего из бозе-частиц, температура вырождения определяется как температура, ниже которой происходит бозе-конденсация, т.е. переход заметной доли частиц в состояние с нулевой энергией. (Именно с бозе-конденсацией связаны такие интересные физические явления, как сверхтекучесть жидкого гелия, т.е. его способность протекать через тонкие щели и капилляры без какой-либо вязкости, и сверхпроводимость некоторых металлов и сплавов.)

Для газа, состоящего из ферми-частиц, температурой вырождения является температура Ферми TF. Как следует из выражения: , температура вырождения тем больше, чем меньше масса частиц и чем больше их концентрация, поэтому TF особенно велика у электронного газа в металлах: TF ~104 К .

При температуре T < TF, т.е. при Вырожденный электронный газ, электронный газ в металлах является вырожденным. При температуре T > TF, т.е. при Вырожденный электронный газ, электронный газ невырожден.

Замечание. Поскольку температура Ферми для металлов имеет величину TF ~ 104 K, то электронный газ в металлах оказывается вырожденным при всех температурах, при которых металл остается в твердом состоянии.

В полупроводниках характер поведения электронного газа зависит от величины концентрации носителей заряда. В примесных полупроводниках при высокой концентрации донорной примеси электронный газ может оказаться вырожденным. В полупроводниках с акцепторной примесью свойствами вырожденного газа может обладать газ дырок. Такие полупроводники называются вырожденными полупроводниками.

Для обычных газов, состоящих из атомов или молекул, являющихся ферми-частицами, температура вырождения близка к абсолютному нулю. Поэтому такие газы во всей области температур вплоть до температуры сжижения являются невырожденными и подчиняются классической статистике Максвелла-Больцмана.

Пример. Вычислим интервал между соседними энергетическими уровнями свободных электронов в металле при T = 0 вблизи уровня Ферми. Считайте, что концентрация свободных электронов n=1028 м-3.

Решение: Для решения задачи воспользуемся выражением Вырожденный электронный газ, где DE — разность энергий между ближайшими энергетическими уровнями, а Dn — изменение числа электронов при переходе на соседний уровень. Поскольку на каждом уровне при T = 0 находится два электрона, то Dn =2. Подставляя в приведённое соотношение выражение для энергии Ферми, получаем: Вырожденный электронный газэВ. Это настолько ничтожно малая величина, что обнаружить её практически невозможно. Поэтому энергетический спектр свободных электронов в металле можно считать непрерывным (квазинепрерывным).

Источник: studopedia.su

Вырожденный электронный газ

Вырожденный газ, газ, свойства которого значительно отличаются от особенностей хорошего совершенного газа благодаря квантовомеханического влияния однообразных частиц друг на друга. Это обоюдное влияние частиц обусловлено не силовыми сотрудничествами, отсутствующими у совершенного газа, а тождественностью (неразличимостью) однообразных частиц в квантовой механике (см. Тождественности принцип).

В следствии для того чтобы влияния заполнение частицами вероятных уровней энергии кроме того в совершенном газе зависит от наличия на данном уровне вторых частиц. Исходя из этого давление и теплоёмкость для того чтобы газа в противном случае зависят от температуры, чем у совершенного хорошего газа; по-второму выражается энтропия, свободная энергия и т. д.

  Вырождение газа наступает при понижении его температуры до некоего значения, именуемого температурой вырождения. Полное вырождение соответствует полному нулю температуры.

  Влияние тождественности частиц отражается тем значительнее, чем меньше среднее расстояние между частицами r если сравнивать с длиной волны де Бройля частиц l = h/mv (m — масса частицы, v — её скорость, h — Планка постоянная). Это разъясняется тем, что классическая механика применима к перемещению частиц газа только при условии rl. Так как скорость частиц газа связана с температурой (чем больше скорость, тем выше температура), то температура вырождения, определяющая границу применимости хорошей теории, тем выше, чем меньше масса частиц газа и чем больше его плотность (т.

е. чем меньше среднее расстояние между частицами). Исходя из этого температура вырождения особенно громадна (порядка 10 000 К) для электронного газа в металлах: масса электронов мала (~ 10-27 г), а их плотность в металлах весьма громадна (1022 электронов в 1 см3). Электронный газ в металлах вырожден при всех температурах, при которых металл остаётся в жёстком состоянии.

  Для простых ядерных и молекулярных газов температура вырождения близка к безотносительному нулю, так что таковой газ фактически постоянно ведёт себя как хороший (при таких низких температурах все вещества будут в жёстком состоянии, не считая гелия, являющегося квантовой жидкостью при сколь угодно родных к безотносительному нулю температурах).

  Потому, что темперамент несилового влияния тождественных частиц друг на друга разен для частиц с целым (бозоны) и полуцелым (фермионы) поясницей, то поведение газа из фермионов (ферми-газа) и из бозонов (бозе-газа) кроме этого будет разным при вырождении.

  У ферми-газа (к которому относится электронный газ в металле) при полном вырождении (при Т = 0 К) заполнены все нижние энергетические уровни впредь до некоего большого, именуемого уровнем Ферми, а все последующие остаются безлюдными. Увеличение температуры только незначительно изменяет такое распределение электронов металла по уровням: малая часть электронов, находящихся на уровнях, родных к уровню Ферми, переходит на безлюдные уровни с большей энергией, освобождая так уровни ниже фермиевского, с которых был совершен переход.

  При вырождении газа бозонов из частиц с хорошей от нуля массой (такими бозонами смогут быть молекулы и атомы) некая часть частиц совокупности обязана переходить в состояние с нулевым импульсом; это явление именуется Бозе — Эйнштейна конденсацией. Чем ближе температура к безотносительному нулю, тем больше частиц должно появляться в этом состоянии.

Но, как уже говорилось, совокупности таких частиц при понижении температуры до низких значений переходят в жёсткое либо жидкое (для гелия) состояния, в которых велики силовые сотрудничества между частицами и к каким исходя из этого неприменимо приближение совершенного газа. Явление Бозе — Эйнштейна конденсации в жидком гелии, что возможно разглядывать как неидеальный газ из так называемых квазичастиц, ведет к появлению сверхтекучести.

  Для газа из бозонов нулевой массы, к каким относятся фотоны (спин 1), температура вырождения равна бесконечности; исходя из этого фотонный газ — неизменно вырожденный и хорошая статистика к нему не применима ни в каком случае. Фотонный газ есть единственным вырожденным совершенным бозе-газом стабильных частиц. Но Бозе — Эйнштейна конденсации в нём не происходит, поскольку не существует фотонов с нулевым импульсом (фотоны постоянно движутся со скоростью света).

При нулевой полной температуре фотонный газ перестаёт существовать.

  См. кроме этого Статистическая физика, Металлы, Полупроводники и лит. при этих статьях.

  Г. Я. Мякишев.

Читать также:

  • Витраж
  • Высшее образование
  • Включения

УЛЬТРАХОЛОДНЫЕ КВАНТОВЫЕ ГАЗЫ: ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА И УНИКАЛЬНЫЕ ЭФФЕКТЫ


Связанные статьи:

  • Третье начало термодинамики

    Третье начало термодинамики, тепловой закон Нернста (Нернста теорема), закон термодинамики, в соответствии с которому энтропия S любой совокупности…

  • Отрицательная температура

    Отрицательная температура, отрицательная безотносительная температура, величина, вводимая для описания неравновесных состояний квантовой совокупности, в…

Источник: australianembassy.ru

q Имея ввиду наиболее важные применения статистики Ферми, будем говорить об электронном газе; соответственно этому мы полагаем g=2 (спин s = 12 )

q Начнем с рассмотрения электронного газа при абсолютном нуле температуры (полностью вырожденный Ферми-газ). В таком газе электроны будут распределены по различным квантовым состояниям таким образом, чтобы полная энергия газа имела наименьшее возможное значение. Поскольку в каждом квантовом состоянии может находиться не более одного электрона, то электроны заполнят все состояния с энергией 0, наименьшей (равной нулю) до некоторой большей величины, которая определяется числом электронов в газе

q Вырожденный электронный газ Электроны заполняют все состояния с импульсами от нуля до граничного значения p=pF; об этом значении говорят, как о радиусе Ферми-сферы в импульсном пространстве. Полное число электронов в этих состояниях:: Вырожденный электронный газ
для электронов g=2
откуда для граничного импульса имеем: ®
и для граничной энергии: Вырожденный электронный газ

q Вырожденный электронный газ Химический потенциал газа при T=0 совпадает с граничной энергией электронов m = eF

q Полная энергия газа получится умножением числа состояний на p`/2m и интегрированием состояния газа: ®
таким образом, давление по всем импульсам:

q Вырожденный электронный газ Уравнение Ферми-газа при абсолютном нуле температуры пропорционально его плотности в степени 5/3.

q Полученные формулы применимы также и при температурах, достаточно близких к абсолютному нулю. Условие их применимости (условие сильного вырождения газа) требует, малости Т по сравнению с eF. T<< h2/m (N / V)2/3.
Это условие противоположно условию применимости статистики Больцмана. Температуру Tp » eF называют температурой вырождения.

q Теплоемкость вырожденного идеального газа.
Вырожденный электронный газ Вырожденный электронный газ Вырожденный электронный газ (cV = cp)

(19) .

 

 

10) Вывод термодинамических соотношений
из распределения Гиббса..

q Вырожденный электронный газ Вырожденный электронный газ Применение теоремы Лиувилля позволяет сделать заключение о том, что логарифм функции распределения подсистемы должен быть линейной функцией ее энергии: lnwn = a + b En , причем коэффициенты b одинаковы для всех подсистем данной замкнутой подсистемы. Отсюда
wn = exp(a + b En). Если ввести формальным образом обозначение
b = -1/ kT, a = F / T, то это выражение совпадает по форме с распределением Гиббса. Величина Т, а потому и b должна быть одинаковой для всех частей находящейся в равновесии системы. Далее должно быть b < 0 т.е. Т > 0. В противном случае нормировочная сумма Swn неизбежно разойдется.
Для вывода количественного соотношения исходим из условия нормировки nS exp[ (F – En) / kT ] = 1. Продифференцируем это равенство, рассматривая его левую сторону как функцию Т и некоторых величин l1, l2,… характеризующих внешние условия, в которых находится рассматриваемое тело. Уровни энергии En зависят от значений l1, l2,…, как от параметров. Производя дифференцирование пишем:
(для краткости рассматриваем здесь всего один внешний параметр l).
Отсюда:

 

В левой стороне равенства Swn = 1, а в правой
Вырожденный электронный газ Вырожденный электронный газ

Учитывая также, что F – Ē = — TS и что ¶ En / ¶l = ¶ Ĥ / ¶l, получаем окончательно dF = — S dT + (¶ Ĥ / ¶l) dl. Это и есть общий вид термодинамического тождества для свободной энергии.

q Таким же образом может быть получено и распределение Гиббса с переменным числом частиц. Если рассматривать число частиц, как динамическую переменную, то ясно, что оно тоже будет (для замкнутой системы) «интегралом движения» и к тому же аддитивным. Поэтому надо будет писать: lnwnN = a + b En + gN, где g, как и b, должно быть одинаковым для всех частей равновесной системы. Положив a = W / kT, b = -1 / kT,
g = m / kT, мы получим распределение вида wnN = exp[(W + mN – EnN) / kT] После чего тем же способом как и выше, можно получить термодинамическое тождество для потенциала W.

 

Источник: cyberpedia.su


You May Also Like

About the Author: admind

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Этот сайт использует Akismet для борьбы со спамом. Узнайте, как обрабатываются ваши данные комментариев.