Второй закон кеплера формула


Иоганн КЕПЛЕР

Johannes Kepler, 1571–1630

Немецкий астроном. Родился в Вюртембурге. Начав с изучения богословия в Тюбингенской академии (позднее университет), увлекся математикой и астрономией и вскоре получил приглашение на должность преподавателя математики в гимназии австрийского города Грац. Там он снискал себе репутацию блестящего астролога благодаря ряду сбывшихся метеорологических прогнозов на 1595 год. Начиная с 1598 года Кеплер и другие протестанты стали подвергаться в католическом Граце жестоким религиозным гонениям, и в 1600 году ученый по приглашению датского астронома Тихо Браге переехал в Прагу. Работы Кеплера основывались на наблюдениях, сделанных Тихо Браге. Его дальнейшая жизнь сложилась трагично. Он жил в бедности и умер от лихорадки по дороге в Австрию, куда он отправился в надежде получить причитающееся ему жалованье.


Законы Кеплера

Чем ближе планеты к Солнцу, тем больше линейная и угловая скорости их обращения вокруг Солнца. Период обращения планет вокруг Солнца по отношению к звездам называется звездным периодом.

Такой период обращения Земли относительно звезд называется звездным годом. Наименьший звездный период обращения у планеты Меркурий. У Марса он составляет около 2 лет, у Юпитера — 12 лет и, все возрастая с удалением от Солнца, у Плутона доходит до 250 лет.

Заслуга открытия законов движения планет принадлежит выдающемуся австрийскому ученому Кеплеру. В начале XVII в. Кеплер установил три закона движения планет. Они названы законами Кеплера.

Первый закон Кеплера: каждая планета обращается вокруг Солнца по эллипсу, в одном аз фокусов которого находится Солнце.

Эллипсом называется плоская замкнутая кривая, имеющая такое свойство, что сумма расстояний каждой ее точки от двух точек, называемых фокусами, остается постоянной.

Степень вытянутости эллипса характеризуется величиной его эксцентриситета. Эксцентриситет равен отношению расстояния фокуса от центра к длине большой полуоси. В пределе при совпадении фокусов и центра эксцентриситет равен нулю и эллипс превращается в окружность.


Ближайшая к Солнцу точка орбиты называется перигелием, а самая далекая от него точка называется афелием. Орбиты планет — эллипсы, мало отличающиеся от окружностей, их эксцентриситеты малы. Например, эксцентриситет орбиты Земли е = 0,017.

Эксцентриситеты орбит у комет приближаются к единице. При е=1 второй фокус эллипса удаляется (в пределе) в бесконечность, так что эллипс становится разомкнутой кривой, называемой параболой. Ее ветви в бесконечности стремятся стать параллельными. При е>1 орбита является гиперболой. Двигаясь по параболе или гиперболе, тело только однажды огибает Солнце и навсегда удаляется от него.

Кеплер открыл свои законы, изучая периодическое обращение планет вокруг Солнца. Ньютон, исходя из законов Кеплера, открыл закон всемирного тяготения. При этом он нашел, что под действием взаимного тяготения тела могут двигаться друг относительно друга по эллипсу, в частности по кругу, по параболе и по гиперболе. Выяснилось, что некоторые кометы огибают Солнце, двигаясь по параболе или по гиперболе. В таком случае они уходят из солнечной системы и уже не являются ее членами.


Ньютон установил, что вид орбиты, которую описывает тело, зависит от его скорости. При некоторой скорости тело описывает окружность около притягивающего центра. Такую скорость, которую называют первой космической скоростью, и придают телам, запускаемым в качестве искусственных спутников Земли (направляя эту скорость горизонтально). Первая космическая скорость составляет около 8 км/с. Если телу сообщить скорость в корень из двух раз большую, то это будет вторая космическая скорость, около 11 км/с, при которой тело навсегда удалится от Земли и может стать спутником Солнца. В этом случае движение тела будет происходить по параболе относительно Земли. При еще большей скорости относительно Земли тело полетит по гиперболе.

Средняя скорость движения Земли по орбите 30 км/с. Орбита Земли близка к окружности, а скорость Земли по орбите близка к круговой на расстоянии Земли от Солнца. Параболическая скорость для Земли будет равна √2*30 км/с = 42 км/с. При такой скорости относительно Солнца тело покинет солнечную систему.


Второй закон Кеплера (закон площадей): радиус-вектор планеты за одинаковые промежутки времени описывает равные площади. Радиусом — вектором планеты называется отрезок прямой, соединяющий планету с Солнцем. Скорость планеты при движении ее по орбите тем больше, чем ближе она к Солнцу. В перигелии скорость планеты наибольшая. Второй закон Кеплера количественно определяет изменение скорости движения планеты по эллипсу.




Третий закон Кеплера: квадраты звездных периодов обращения планет относятся как кубы больших полуосей их орбит.

Третий закон Кеплера связывает средние расстояния планет от Солнца с периодами их звездных обращений и позволяет большие полуоси всех планетных орбит выразить в единицах большой полуоси земной орбиты. Большую полуось земной орбиты называют астрономической единицей расстояний. В астрономических единицах средние расстояния планет от Солнца были определены раньше, чем узнали длину астрономической единицы в километрах.

 

Источник: www.sites.google.com


Используя закон всемирного тяготения, можно сформулировать законы Кеплера (обобщённые законы) следующим образом:


Второй закон кеплера формула

Конические сечения



1. При невозмущенном движении (в задаче двух тел) орбита движущейся материальной точки (планеты) есть кривая второго порядка, в одном из фокусов которой находится центр силы притяжения (Солнце). Таким образом, орбита материальной точки при невозмущенном движении – это одно из конических сечений: гипербола, парабола или эллипс (для планет), а в предельном случае – прямая или окружность.

2. При невозмущенном движении (в задаче двух тел) радиус-вектор r, характеризующий положение движущегося тела относительно неподвижного центрального тела, всегда лежит в неизменной плоскости орбиты и за равные промежутки времени описывает равновеликие площади:

Второй закон кеплера формула

где θ – истинная аномалия, т. е. угол между направлениями из центра Солнца на планету и на перицентр её орбиты. Второй закон Кеплера отражает закон сохранения момента импульса.

3. При невозмущенном эллиптическом движении материальной точки вокруг центрального тела справедливо следующее равенство:

Второй закон кеплера формула


где T – период обращения тела массой m2 вокруг тела массой m1 по эллиптической (или круговой) орбите, a – её большая полуось.

Если рассматривать две системы, каждая из которых состоит из материальной точки (планеты или спутника), движущейся вокруг своего центрального тела (Солнца или планеты), то третий закон Кеплера может быть сформулирован так: произведения квадратов периодов обращения на сумму масс центральной и движущейся точек относятся как кубы больших полуосей их орбит, т. е.:

Второй закон кеплера формула

где Т1 и Т2 – периоды обращения масс m1 и m2 вокруг центральных тел с массами M1 и M2 соответственно, а1 и а2 – большие полуоси орбит.


Обобщённый третий закон Кеплера играет особенно важную роль в астрономии, поскольку позволяет определить либо сумму масс обращающихся тел (как в случае двойных звёзд), либо массу центрального тела, как в случае тел Солнечной системы, если массой спутника можно пренебречь или его относительная масса известна из каких-либо дополнительных соображений.


br>
Кроме использования третьего закона Кеплера, масса небесного тела может быть определена из закона всемирного тяготения Ньютона при измерении силы тяжести на поверхности тела (гравиметрический способ):

m = gR2/G,

где m – масса тела, на поверхности которого производятся измерения; R – радиус тела, g – ускорение силы тяжести (точнее: составляющей силы тяжести – силы притяжения) на поверхности, определяемое, например, из формулы для периода колебания Т математического маятника длины l:

Второй закон кеплера формула

Наконец, масса небесного тела может быть определена на основе анализа возмущений, производимых небесным телом в движении других небесных тел.


Второй закон кеплера формула

Параметры эллиптической орбиты

К основным параметрам эллиптической орбиты планеты Р или другого небесного тела относятся:
• F1 и F2 – фокусы;
• O – центр;
• ПО = ОА = a – большая полуось;
.
планеты вполне определено, если:
• известна плоскость, в которой лежит её орбита,
• размеры и форма орбиты,
• ориентирование орбиты в пространстве;
• момент времени, в который планета находится в определённой точке пространства.

Величины, определяющие орбиту планеты, называются элементами орбиты.

За основную плоскость, относительно которой определяется положение орбиты, принимается плоскость эклиптики. Две точки, в которых орбита планеты пересекается с плоскостью эклиптики, называются узлами – восходящим и нисходящим. Восходящий узел – тот, в котором планета пересекает эклиптику, удаляясь от её южного полюса.

Второй закон кеплера формула

Элементы орбиты

Эллиптическую орбиту планеты определяют следующие шесть элементов:
1. Наклонение i плоскости орбиты к плоскости эклиптики, 0 ≤ i ≤ 180°. Если 0 ≤ i ≤ 90°, то планета движется вокруг Солнца в том же направлении, что и Земля.
2. Гелиоцентрическая долгота восходящего узла ♌, т.е.
ол, отсчитываемый из центра Солнца от направления на ♈ до направления на восходящий узел ♌, 0 ≤ ♌ ≤ 360°. Долгота восходящего узла ♌ и наклонение i определяют положение плоскости орбиты в пространстве и направление движения планеты.
3. Угловое расстояние перицентра от восходящего узла (аргумент перицентра) ω, т.е. угол между направлениями из центра Солнца на восходящий узел ♌ и перицентр П, 0 ≤ ω ≤ 360°.
4. Большая полуось a орбиты, которая при заданной массе однозначно определяет сидерический период обращения планеты.
5. Эксцентриситет орбиты e.
6. Момент прохождения через перицентр t0.

Второй закон кеплера формула

Радиус-вектор r, истинная θ и эксцентрическая Е аномалии орбиты

Радиус-вектор r и истинная аномалия θ вычисляются по формулам:

r = a(1 – e cosE),

Второй закон кеплера формула

где Е = ∠ПОN называется эксцентрической аномалией. Эксцентрическая аномалия Е вычисляется из уравнения Кеплера:

M = E – e sinE,

где М – ср.
; планеты, т.е. найти ее положение в пространстве, если известны элементы ее орбиты.


Основные задачи теоретической астрономии – это вычисление эфемерид (прямая задача) и определение орбит (обратная задача).

Определение видимых координат планет по элементам их орбит называется вычислением эфемерид, т. е. положений планет на любые моменты времени.

Определение элементов орбит по координатам, полученным из наблюдений, называется определением орбит.




При движении небесных тел вокруг центрального тела можно выделить несколько типов орбит.

Из второго закона Кеплера, в частности, следует, что в перицентре орбиты скорость движения планеты vq определяется формулой:

Второй закон кеплера формула

а скорость vQ в апоцентре:

Второй закон кеплера формула

где vc – круговая скорость планеты при r = a. Она определяется соотношением, полученным из (3.1):

Второй закон кеплера формула

Характер движения тела m в поле тяготения центральной массы M (точка С) в зависимости от начальной скорости: ve1 и ve2 – эллиптические скорости; vc – круговая скорость; vp – параболическая скорость; vh – гиперболическая скорость

Второй закон кеплера формула

где M – масса центрального тела (Солнца). Круговая скорость Земли равна 29,78 км/с. Поскольку скорость движения по параболе определяется из соотношения vp = 2½vc, то соответствующая формула выглядит:

Второй закон кеплера формула

В этом случае скорость движения по эллипсу ve < vp, а по гиперболе – vh > vp.

Вид орбиты будет принимать форму эллипса, окружности, параболы или гиперболы в зависимости от начальной скорости v0.

Если 0 < v0 < vc (vc – скорость кругового движения массы m (3.3)), то движение будет происходить по эллипсу, а его начало соответствует максимальному расстоянию до С (точка афелия или апогея). Для v0 = vc орбита m соответствует круговой радиусом r = a. Для vc < v0 < 2½vc = vp движение происходит по эллиптической орбите, а начало соответствует перигелию или перигею. При v0 = 2½vc = vp (3.4) объект будет двигаться по параболе и а = ∞. При v0 > 2½vc орбита объекта m является гиперболой.

Источник: www.physics.bsu.by

Задача обучения

  • Применить второй закон Кеплера для характеристики перемещения планет.

Основные пункты

  • За небольшой временной промежуток планета создает треугольник с базовой линией и высотой. Площадь равняется dA = 1/2 • r • rdθ , а постоянная площадь –  dA/dt = 1/2 • r² • dθ/dt
  • Период P рассчитывается как πab = P • 1/2r²θ. Видно, что r2 должно быть постоянным. Когда планета расположена дальше от Солнца, то движется медленнее и наоборот.
  • Планета перемещается на максимальной скорости в перигелии и в минимальной на афелии.

Термин

  • Среднее движение – угол 2π (радиан), разделенный на орбитальный период.
  • Угловая скорость – векторная величина, характеризующая объект в круговом движении. Величина равняется скорости частицы, а направление перпендикулярно плоскости.

Второй закон Кеплера

Давайте рассмотрим, как выглядит формулировка второго закона Кеплера для движения планет. Линия между планетой и звездой создает одинаковые площади в равных временных промежутках.

За короткий период планете удается создать небольшой треугольник с основной линией и высотой. Площадь определяется как:

dA =  1/2 • r • rdθ

Поэтому постоянная площадь равна:

 dA/dt = 1/2 •r ² • dθ/dt

Планета смещается по эллипсу, поэтому в разных частях орбиты по-разному отдалена от звезды. Чем меньше дистанция к Солнцу, тем выше скорость передвижения.

Общая площадь с учетом эллиптической орбиты по формуле второго закона Кеплера равна:

А = πab

Поэтому период P:

Второй закон кеплера формула

Где θ˙ = dθ/dt – угловая скорость, а n = 2π/P  – среднее движение планеты вокруг Солнца.

Нижняя иллюстрация демонстрирует этот эффект. Планета проходит дистанцию между А и В, C и D, E и F за равный временной промежуток. Когда планета близка к Солнцу, то увеличивает скорость, из-за чего основание треугольника становится больше, а высота меньше. Ниже представлен рисунок на второй закон Кеплера.

Второй закон кеплера формула

Затененные регионы обладают равными площадями. Для m нужно равное количество времени, чтобы перейти от A-B, C-D и E-F. Масса перемещается быстрее всего, когда подходит ближе по Второму закону Кеплера

Источник: v-kosmose.com

Первый закон Кеплера

Немецкий астроном пытался различными способами сохранить круговую орбиту движения планет, однако это не позволяло исправить расхождение с результатами наблюдений. Потому Кеплер прибегнул к эллиптическим орбитам. У каждой такой орбиты есть два так называемых фокуса. Фокусы – это две заданные точки, такие, что сумма расстояний от этих двух точек до любой точки эллипса является постоянной.

Иоганн Кеплер отметил, что планета движется по эллиптической орбите вокруг Солнца таким образом, что Солнце располагается в одном из двух фокусов эллипса, что и стало первым законом движения планет.

Второй закон Кеплера

Проведем радиус-вектор от Солнца, которое располагается в одном из фокусов эллипсоидной орбиты планеты, к самой планете. Тогда за равные промежутки времени данный радиус-вектор описывает равные площади на плоскости, в которой движется планета вокруг Солнца. Данное утверждение является вторым законом.

Третий закон Кеплера

Каждая орбита планеты имеет точку, ближайшую к Солнцу, которое называется перигелием. Точка орбиты, наиболее удаленная от Солнца, называется афелием. Отрезок, соединяющий эти две точки называется большой осью орбиты. Если разделить этот отрезок пополам, то получим большую полуось, которую чаще используют в астрономии.

Третий закон движения планет Кеплера звучит следующим образом:

Отношение квадрата периода обращения планеты вокруг Солнца к большой полуоси орбиты этой планеты является постоянным, и также равняется отношению квадрата периода обращения другой планеты вокруг Солнца к большой полуоси этой планеты.

Также иногда записывают другое отношение:

Дальнейшее развитие

И хотя законы Кеплера имели относительно невысокую погрешность (не более 1%), все же они были получены эмпирическим способом. Теоретическое же обоснование отсутствовало. Данная проблема позже была решена Исааком Ньютоном, который в 1682-м году открыл закон всемирного тяготения. Благодаря этому закону удалось описать подобное поведение планет. Законы Кеплера стали важнейшим этапом в понимании и описании движения планет.
Второй закон кеплера формула

Источник: SpaceGid.com

Первый закон Кеплера (1609 г.):

Все планеты движутся по эллиптическим орбитам, в одном из фокусов которых находится Солнце.

На рис. 1.24.2 показана эллиптическая орбита планеты, масса которой много меньше массы Солнца. Солнце находится в одном из фокусов эллипса. Ближайшая к Солнцу точка P траектории называется перигелием, точка A, наиболее удаленная от Солнца – афелием. Расстояние между афелием и перигелием – большая ось эллипса.

Второй закон кеплера формула
Рисунок 1.24.2. Эллиптическая орбита планеты массой m << M. a – длина большой полуоси, F и F’ – фокусы орбиты

Почти все планеты Солнечной системы (кроме Плутона) движутся по орбитам, близким к круговым.

Второй закон Кеплера (1609 г.):

Радиус-вектор планеты описывает в равные промежутки времени равные площади.

Рис. 1.24.3 иллюстрирует 2-й закон Кеплера.

Второй закон кеплера формула
Рисунок 1.24.3. Закон площадей – второй закон Кеплера

Второй закон Кеплера эквивалентен закону сохранения момента импульса. На рис. 1.24.3 изображен вектор импульса тела и его составляющие и Площадь, описываемая радиус-вектором за малое время Δt, приближенно равна площади треугольника с основанием rΔθ и высотой r:

Второй закон кеплера формула

Здесь – угловая скорость.

Момент импульса L по абсолютной величине равен произведению модулей векторов и :

Из этих отношений следует:

Поэтому, если по второму закону Кеплера , то и момент импульса L при движении остается неизменным.

В частности, поскольку скорости планеты в перигелии и афелии направлены перпендикулярно радиус-векторам и из закона сохранения момента импульса следует:

Третий закон Кеплера (1619 г.):

Квадраты периодов обращения планет относятся как кубы больших полуосей их орбит:

Второй закон кеплера формула

Третий закон Кеплера выполняется для всех планет Солнечной системы с точностью выше 1 %.

На рис. 1.24.4 изображены две орбиты, одна из которых – круговая с радиусом R, а другая – эллиптическая с большой полуосью a. Третий закон утверждает, что если R = a, то периоды обращения тел по этим орбитам одинаковы.

Второй закон кеплера формула
Рисунок 1.24.4. Круговая и эллиптическая орбиты. При R = a периоды обращения тел по этим орбитам одинаковы
Второй закон кеплера формула

Несмотря на то, что законы Кеплера явились важнейшим этапом в понимании движения планет, они все же оставались только эмпирическими правилами, полученными из астрономических наблюдений. Законы Кеплера нуждались в теоретическом обосновании. Решающий шаг в этом направлении был сделан Исааком Ньютоном, открывшим в 1682 году закон всемирного тяготения:

где M и m – массы Солнца и планеты, R – расстояние между ними, G = 6,67·10–11 Н·м2/кг2 – гравитационная постоянная. Ньютон первый высказал мысль о том, что гравитационные силы определяют не только движение планет Солнечной системы; они действуют между любыми телами Вселенной. В частности, уже говорилось, что сила тяжести, действующая на тела вблизи поверхности Земли, имеет гравитационную природу.

Для круговых орбит первый и второй закон Кеплера выполняются автоматически, а третий закон утверждает, что T2 ~ R3, где Т – период обращения, R – радиус орбиты. Отсюда можно получить зависимость гравитационной силы от расстояния. При движении планеты по круговой траектории на нее действует сила, которая возникает за счет гравитационного взаимодействия планеты и Солнца:

Если T2 ~ R3, то

Свойство консервативности гравитационных сил позволяет ввести понятие потенциальной энергии. Для сил всемирного тяготения удобно потенциальную энергию отсчитывать от бесконечно удаленной точки.

Потенциальная энергия тела массы m, находящегося на расстоянии r от неподвижного тела массы M, равна работе гравитационных сил при перемещении массы m из данной точки в бесконечность.

Математическая процедура вычисления потенциальной энергии тела в гравитационном поле состоит в суммировании работ на малых перемещениях (рис. 1.24.5).

Второй закон кеплера формула
Рисунок 1.24.5. Вычисление потенциальной энергии тела в гравитационном поле

Закон всемирного тяготения применим не только к точеным массам, но и к сферически симметричным телам. Работа гравитационной силы на малом перемещении есть:

Полная работа при перемещении тела массой m из начального положения в бесконечность находится суммированием работ ΔAi на малых перемещениях:

В пределе при Δri → 0 эта сумма переходит в интеграл. В результате вычислений для потенциальной энергии получается выражение

Знак «минус» указывает на то, что гравитационные силы являются силами притяжения.

Если тело находится в гравитационном поле на некотором расстоянии r от центра тяготения и имеет некоторую скорость υ, его полная механическая энергия равна

Второй закон кеплера формула

В соответствии с законом сохранения энергии полная энергия тела в гравитационном поле остается неизменной.

Полная энергия может быть положительной и отрицательной, а также равняться нулю. Знак полной энергии определяет характер движения небесного тела (рис. 1.24.6).

При E = E1 < 0 тело не может удалиться от центра притяжения на расстояние r > rmax. В этом случае небесное тело движется по эллиптической орбите (планеты Солнечной системы, кометы).

Второй закон кеплера формула
Рисунок 1.24.6. Диаграмма энергий тела массой m в гравитационном поле, создаваемом сферически симметричным телом массой M и радиусом R

При E = E2 = 0 тело может удалиться на бесконечность. Скорость тела на бесконечности будет равна нулю. Тело движется по параболической траектории.

При E = E3 > 0 движение происходит по гиперболической траектории. Тело удаляется на бесконечность, имея запас кинетической энергии.

Законы Кеплера применимы не только к движению планет и других небесных тел в Солнечной системе, но и к движению искусственных спутников Земли и космических кораблей. В этом случае центром тяготения является Земля.

Первой космической скоростью называется скорость движения спутника по круговой орбите вблизи поверхности Земли.

Эту скорость необходимо набрать, чтобы преодолеть притяжение Земли и вывести тело (например, спутник) на орбиту Земли.

Второй закон кеплера формула

Второй закон кеплера формула

Второй космической скоростью называется минимальная скорость, которую нужно сообщить космическому кораблю у поверхности Земли, чтобы он, преодолев земное притяжение, превратился в искусственный спутник Солнца (искусственная планета). При этом корабль будет удаляться от Земли по параболической траектории.

Второй закон кеплера формула

Второй закон кеплера формула

Рис. 1.24.7 иллюстрирует космические скорости. Если скорость космического корабля равна υ1 = 7.9·103 м/с и направлена параллельно поверхности Земли, то корабль будет двигаться по круговой орбите на небольшой высоте над Землей. При начальных скоростях, превышающих υ1, но меньших υ2 = 11,2·103 м/с, орбита корабля будет эллиптической. При начальной скорости υ2 корабль будет двигаться по параболе, а при еще большей начальной скорости – по гиперболе.

Второй закон кеплера формула
Рисунок 1.24.7. Космические скорости. Указаны скорости вблизи поверхности Земли. 1: υ = υ1 – круговая траектория; 2: υ1 < υ < υ2 – эллиптическая траектория; 3: υ = 11,1·103 м/с – сильно вытянутый эллипс; 4: υ = υ2 – параболическая траектория; 5: υ > υ2 – гиперболическая траектория; 6: траектория Луны

Третья космическая скорость равна примерно 16,6·103 м/сек (при запуске на высоте 200 км над земной поверхностью) и необходима для преодоления гравитации сначала Земли, а затем и Солнца и выхода за пределы Солнечной системы. Сейчас два искусственных спутника развили такую скорость Пионер-10 и Пионер-11, запущенные 2 марта 1972 и 6 апреля 1973 года соответственно. В данный момент аппараты покинули пределы Солнечной системы.

Источник: questions-physics.ru


You May Also Like

About the Author: admind

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Этот сайт использует Akismet для борьбы со спамом. Узнайте, как обрабатываются ваши данные комментариев.