Веен диаграммасы


Что такое диаграмма Венна

Веен диаграммасы

Диаграмма Венна — это схема с пересекающимися кругами, которая показывает, как много общего имеют различные множества. Для построения диаграммы Венна выбирают несколько групп объектов и размещают их в отдельных кругах, при этом в область пересечения кругов попадают объекты, совмещающие в себе свойства данных множеств.

Приведем простейший пример. Допустим, у нас есть две группы объектов — световые устройства (обозначим их в первом круге) и энергосберегающие технологии (обозначим их во втором круге). В данном случае область пересечения кругов будет охватывать объекты, которые можно отнести и к первой, и ко второй группе, то есть энергосберегающие световые устройства.

Диаграммы Венна с успехом применяются в математике, логике, менеджменте и других прикладных областях для сопоставления каких-либо множеств и установления взаимосвязей между ними.

Единственный минус таких диаграмм — они могут быть использованы лишь для определения общих качеств рассматриваемых объектов и не дают информации о количестве объектов.

Диаграммы Венна: для чего они нужны

К диаграммам Венна прибегают для сравнения исходных данных в двух случаях:

  • данные слишком сложны для понимания;
  • существуют проблемы по выявлению взаимосвязей между этими данными.

Благодаря визуальной форме подачи информации и простоте расшифровки диаграммы Венна значительно облегчают процесс осмысления и анализа сравниваемых объектов. Именно поэтому они нашли широкое применение при проведении презентаций.

Рекомендации по созданию диаграмм Венна

Рисование диаграммы Венна — это совсем не сложный процесс, который включает всего четыре этапа:

  1. Посчитайте группы объектов, которые вам нужно сравнить — их число должно быть равно числу кругов в вашей диаграмме.
  2. Немного отступив от центра, нарисуйте первый круг. Учитывая, что каждый круг будет содержать информацию о характеристиках рассматриваемого объекта, личности, места и т.д., он должен быть достаточно большим.
  3. Нарисуйте второй круг, таким образом, чтобы он частично перекрывал первый круг. При этом оба круга должны быть одного размера. Следите за тем, чтобы внутри области пересечения также было достаточно места — здесь вы будете отмечать объекты, раскрывающие сходство между группами.
  4. Присвойте название каждой группе элементов и подпишите круги.

Источник: grapholite.ru

Принцип построения диаграмм

До сих пор диаграммы Эйлера-Венна широко используют для схематичного изображения всех возможных пересечений нескольких множеств. На диаграммах изображают все $2^n$ комбинаций n свойств. Например, при $n=3$ на диаграмме изображают три круга с центрами в вершинах равностороннего треугольника и одинаковым радиусом, который приближенно равен длине стороны треугольника.

Логические операции задают таблицы истинности. На диаграмме изображается круг с названием множества, которое он представляет, например, $A$. Область в середине круга $A$ будет отображать истинность выражения $A$, а область вне круга — ложь. Для отображения логической операции заштриховывают только те области, в которых значения логической операции при множествах $A$ и $B$ истинны.

Например, конъюнкция двух множеств $A$ и $B$ истинна только в том случае, когда оба множества истинны. В таком случае на диаграмме результатом конъюнкции $A$ и $B$ будет область в середине кругов, которая одновременно принадлежит множеству $A$ и множеству $B$ (пересечению множеств).

Конъюнкция множеств $A$ и $B$

Рисунок 1. Конъюнкция множеств $A$ и $B$

Использование диаграмм Эйлера-Венна для доказательства логических равенств

Рассмотрим, как применяется метод построения диаграмм Эйлера-Венна для доказательства логических равенств.

Докажем закон де Моргана, который описывается равенством:

Доказательство:

  1. Представим с помощью диаграмм сначала левую часть равенства:


    • применим дизъюнкцию — заштрихуем круги обоих множеств серым цветом (рис. 2);

    • отобразим инверсию — заштрихуем область за пределами кругов черным цветом (рис. 3).

    Дизъюнкция $A$ и $B$

    Рисунок 2. Дизъюнкция $A$ и $B$

    Отрицание дизъюнкции $A$ и $B$

    Рисунок 3. Отрицание дизъюнкции $A$ и $B$

  2. Представим правую часть равенства:

    • применим инверсию $A$ — заштрихуем область за пределами круга множества $A$ серым цветом (рис. 4);

    • применим инверсию $B$ — аналогично к инверсии $A$ (рис. 5);

    • отобразим конъюнкцию — заштрихуем пересечение серых областей черным цветом (рис. 6).

Инверсия $A$

Рисунок 4. Инверсия $A$

Инверсия $B$

Рисунок 5. Инверсия $B$

Конъюнкция инверсий $A$ и $B$

Рисунок 6. Конъюнкция инверсий $A$ и $B$

После сравнения области для отображения левой и правой части видим, что они равны. Из этого следует справедливость логического равенства. Закон де Моргана доказан с помощью диаграмм Эйлера-Венна.

Решение задачи поиска информации в Интернет с помощью диаграмм Эйлера-Венна


Для осуществления поиска информации в Интернет удобно использовать поисковые запросы с логическими связками, аналогичными по смыслу союзам «и», «или» русского языка. Смысл логических связок становится более понятным, если проиллюстрировать их с помощью диаграмм Эйлера-Венна.

Источник: spravochnick.ru

Чтобы быстро добавить к графическому элементу SmartArt внешний вид и оформление дизайнера, вы можете изменить цвета диаграммы Венна. Вы также можете добавить эффекты, такие как свечение, сглаживание или объемные эффекты.

К кругам графического элемента SmartArt можно применять сочетания цветов, основанные на цвета темы.

Щелкните графический элемент SmartArt, цвет которого нужно изменить.

  1. В разделе Работа с рисунками SmartArt на вкладке Конструктор в группе Стили SmartArt нажмите кнопку Изменить цвета.

    Группа "Создание рисунка" на вкладке "Конструктор" в разделе "Работа с графическими элементами SmartArt"

    Если вкладка Работа с рисунками SmartArt или Конструктор не отображается, выделите графический элемент SmartArt.


Изменение цвета линии или стиля границы круга

  1. В графическом элементе SmartArt щелкните правой кнопкой мыши границу круга, которую требуется изменить, и выберите пункт Формат фигуры.

  2. В диалоговом окне Формат фигуры выполните одно из указанных ниже действий.

    • Чтобы изменить цвет границы круга, нажмите кнопку Цвет линии на левой панели, в области Цвет линии нажмите кнопку Цвет Значок кнопки и выберите нужный цвет.

    • Чтобы изменить тип линии границы круга, нажмите кнопку тип линии в левой области, в области стиль линии , а затем выберите нужные стили линий.

Изменение цвета фона круга на диаграмме Венна

Щелкните графический элемент SmartArt, который нужно изменить.


  1. Щелкните правой кнопкой мыши границу круга и выберите команду Формат фигуры.

  2. В левой области диалогового окна Формат фигуры нажмите кнопку Заливка, а затем в области Заливка выберите пункт сплошная заливка.

  3. Нажмите кнопку Цвет Значок кнопки и выберите нужный цвет.

    • Для выбора цвета фона, который не входит в цвета темы, нажмите кнопку Другие цвета, а затем щелкните необходимый цвет на вкладке Обычные либо создайте собственный цвет на вкладке Спектр. Пользовательские цвета и цвета на вкладке Обычные не обновляются при последующем изменении тема документа.

    • Чтобы увеличить прозрачность фигур на диаграмме, переместите ползунок Прозрачность или введите число в поле рядом с ним. Значение прозрачности можно изменять от 0 (полная непрозрачность, значение по умолчанию) до 100 % (полная прозрачность).

Источник: support.office.com


Чтобы наглядно изображать множества, английский математик Джон Венн (1834-1923) предложил использовать замкнутые фигуры на плоскости. Намного раньше Эйлер (1707-1783) для изображения отношений между множествами использовал круги. Позднее такие изображения получили названия диаграмм Эйлера-Венна.

Диаграммы – очень удобный инструмент, позволяющий изображать множества и иллюстрировать операции над ними. Это геометрические представления множеств.

Построение диаграммы заключается в изображении большого прямоугольника, представляющего универсальное множество U, а внутри него – кругов или каких-либо других замкнутых фигур, представляющих множества, входящие в универсальное. Фигуры находятся в определенном положении по отношению друг к другу. В наиболее общем случае они пересекаются. Точки, лежащие внутри различных областей диаграммы, обозначают элементы соответствующих множеств.

Все множества на диаграммах обозначаются, как обычно, заглавными буквами латинского алфавита. Построив диаграмму, обычно штрихуют определенные области для обозначения вновь образованных множеств, или выделяют это множество каким-либо другим способом.

В таблице 1 приведены иллюстрации операций объединения, пересечения, разности, дополнения и симметрической разности двух множеств А и В, входящих в универсальное множество U.

Примеры построения более сложных диаграмм приведены ниже.

Пример 3. Представить множество


Веен диаграммасыдиаграммой Эйлера-Венна.

Решение: 1) Обозначим множества А, В, С и универсальное множество U (см. рис. 1а).

2) Заштрихуем множество В диагональными линиями в одном направлении, а Веен диаграммасы— в другом. Площадь с двойной штриховкой представляет собой их пересечение, т.е. множество Веен диаграммасы. Выделим это вновь полученное множество жирной линией (рис. 1б).

3) Сделаем копию диаграммы, на которой заштрихуем областьлиниями одного направления, а А – другого. Вся заштрихованная область представляет объединение множеств А и , т.е. то, что требовалось по заданию. Обведем искомую область жирной линией. (рис. 1в)

Таблица 1

Название операции Обозначение Изображение Определение Символическая запись Лог. операции
Пересечение множеств Веен диаграммасы Веен диаграммасы Те и только те элементы, которые принадлежат одновременно А и В Веен диаграммасы

Веен диаграммасы
Λ  
Объединение множеств Веен диаграммасы Веен диаграммасы Те и только те элементы, которые принадлежат хотя бы одному из множествА или В Веен диаграммасы V
Разность множеств Веен диаграммасы Веен диаграммасы Те и только те элементы, которые не принадлежат В Веен диаграммасы  
Дополнение к множеству А Веен диаграммасы Веен диаграммасы Те и только те элементы, которые не принадлежат А (т.е. дополняют его до универсального U) Веен диаграммасы  
Симметрическая разность

Веен диаграммасы
Веен диаграммасы Те и только те элементы, которые принадлежат одному из множеств: А либо В, но не являются общими элементами Веен диаграммасы Веен диаграммасы

Веен диаграммасы



а) б) в)

Рис. 1

 

Диаграммы Эйлера-Венна также могут использоваться для решения задач, связанных с пересеченными множествами.

При этом для двухпеременных пересеченных множеств используется формула:

|АÈВ| = |А| +|В| — |АÇВ|,

где |А| — число элементов множества А;

|В| — число элементов множества В;

|АÇВ| — число элементов, входящих одновременно и в множество А, и в множество В.

Для трехпеременных пересеченных множеств используется формула:

|АÈВÈС|= |А|+ |В|+ |С| — |АÇВ| — |АÇС| — |ВÇС| + |АÇВÇС|.

Пример 4. Из 100 студентов английский язык изучают 28, немецкий – 30 , французский – 42, английский и немецкий – 8, английский и французский – 10, немецкий и французский – 5, немецкий, английский и французский – 3:

а) сколько студентов не изучают ни одного языка?

б) сколько студентов изучают один английский?

в) один французский?

г) один немецкий?

д) менее двух языков?

Решение. Обозначим: Е – множество всех студентов, А – множество студентов, изучающих английский язык, В – немецкий, С – французский.

Имеем:

|А| = 28, |В| = 30, |С| = 42, |АÇВ| = 8, |АÇС| = 10, |ВÇС| = 5, |АÇВÇС| = 3.

б) один английский изучают:

|А| — |АÇВ| — |АÇС| + |АÇВÇС| = 28 – 8 – 10 + 3 = 13.

в) один французский:

|С| — | ВÇС | — |АÇС| + |АÇВÇС| = 42 – 5 – 10 + 3= 30.

г) один немецкий: |В| — |ВÇС| — |АÇВ| + |АÇВÇС| = 30 – 5 – 8 + 3 = 20.

а) ни одного языка не изучают: Веен диаграммасы, но

|АÈВÈС|= |А|+ |В|+ |С| — |АÇВ| — |ВÇС| — |АÇС| + |АÇВÇС|=

=100 – 8 – 10 – 5 + 3=80.

Тогда Веен диаграммасы= 100 – 80 = 20.

д) |АÇВ| + |АÇС| + |ВÇС| — 2|АÇВÇС| = 8 + 10 + 5 — 2·3 = 23 – 6 = 17.

Решение данной задачи можно произвести с помощью диаграммы Эйлера-Венна.

Веен диаграммасы

Рис. 2

Источник: studopedia.su


You May Also Like

About the Author: admind

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Этот сайт использует Akismet для борьбы со спамом. Узнайте как обрабатываются ваши данные комментариев.