Работа гравитационной силы


§6. Законы сохранения в механике

6.7 Потенциальная энергия гравитационного притяжения.

Все тела, обладающие массой, притягиваются друг к другу с силой, подчиняющейся закону всемирного тяготения И.Ньютона. Следовательно, притягивающиеся тела обладают энергией взаимодействия.

Покажем, что работа гравитационных сил не зависит от формы траектории, то есть гравитационные силы также являются потенциальными. Для этого рассмотрим движение небольшого тела массой m, взаимодействующего с другим массивным телом массы M, которое будем полагать неподвижным [1] (рис. 90). Как следует из закона Ньютона сила (~vec F) , действующая между телами, направлена вдоль линии, соединяющей эти тела. Поэтому при движении тела m по дуге окружности с центром в точке, где находится тело M, работа гравитационной силы равна нулю, так как векторы сил и перемещения все время остаются взаимно перпендикулярными. При движении вдоль отрезка, направленного к центру тела M, векторы перемещения и силы параллельны, поэтому в этом случае при сближении тел работа гравитационной силы положительна, а при удалении тел – отрицательна.


лее заметим, что при радиальном движении работа силы притяжения зависит только от начального и конечного расстояния между телами. Так при движении по отрезкам (см. рис.91) DE и D1E1 совершенные работы равны, так как законы изменения сил от расстояния на обоих отрезках одинаковы. Наконец, произвольную траекторию тела m можно разбить на набор дуговых и радиальных участков (например, ломаная ABCDE). При движении по дугам работа равна нулю, при движении по радиальным отрезкам работа не зависит от положения этого отрезка – следовательно, работа гравитационной силы зависит только от начального и конечного расстояния между телами, что и требовалось доказать.

Заметьте, что при доказательстве потенциальности мы воспользовались только тем фактом, что гравитационные силы являются центральными, то есть направленными вдоль прямой, соединяющей тела, и не упоминали о конкретном виде зависимости силы от расстояния. Следовательно, все центральные силы являются потенциальными.

Мы доказали потенциальность силы гравитационного взаимодействия между двумя точечными телами. Но для гравитационных взаимодействий справедлив принцип суперпозиции – сила, действующая на тело со стороны системы точечных тел, равна сумме сил парных взаимодействий, каждая из которых является потенциальной, следовательно, и их сумма также потенциальна. Действительно, если работа каждой силы парного взаимодействия не зависит от траектории, то и их сумма также не зависит от формы траектории. Таким образом, все гравитационные силы потенциальны.


Нам осталось получить конкретное выражение для потенциальной энергии гравитационного взаимодействия.

Для вычисления работы силы притяжения между двумя точечными телами достаточно подсчитать эту работу при движении вдоль радиального отрезка при изменении расстояния от r1 до r2 (рис. 92).

Очередной раз воспользуемся графическим методом, для чего построим зависимость силы притяжения (~F = G frac{mM}{r^2}) от расстояния r между телами, тогда площадь под графиком этой зависимости в указанных пределах и будет равна искомой работе (рис. 93). Вычисление этой площади представляет собой не слишком сложную задачу, требующее, однако, определенных математических знаний и навыков. Не вдаваясь в детали этого расчета, приведем конечный результат, для данной зависимости силы от расстояния площадь под графиком, или работа силы притяжения определяется формулой

(~A_{12} = GmM left( frac{1}{r_2} — frac{1}{r_1} right )) .

Так как мы доказали, что гравитационные силы являются потенциальными, эту работу равна уменьшению потенциальной энергии взаимодействия, то есть

(~A_{12} = GmM left( frac{1}{r_2} — frac{1}{r_1} right ) = -Delta U = -(U_2 — U_1)) .


Из этого выражения можно определить выражение для потенциальной энергии гравитационного взаимодействия

(~U(r) = — G frac{mM}{r}) . (1)

При таком определении потенциальная энергия отрицательна и стремится к нулю при бесконечном расстоянии между телами (~U(infty) = 0) . Формула (1) определяет работу, которую совершит сила гравитационного притяжения при увеличении расстояния от r до бесконечности, так как при таком движении векторы силы и перемещения направлены в противоположные стороны, то эта работа отрицательна. При противоположном движении, при сближении тел от бесконечного расстояния до расстояния , работа силы притяжения будет положительна. Эту работу можно подсчитать по определению потенциальной энергии (~A_{infty to r}U(r) = — (U(infty)- U(r)) = G frac{mM}{r}) .

Подчеркнем, что потенциальная энергия является характеристикой взаимодействия, по меньшей мере, двух тел. Нельзя говорить о том, что энергия взаимодействия «принадлежит» одному из тел, или каким образом «разделить эту энергию между телами». Поэтому, когда мы говорим об изменении потенциальной энергии, мы подразумеваем изменение энергии системы взаимодействующих тел. Однако в некоторых случаях допустимо все же говорить об изменении потенциальной энергии одного тела. Так, при описании движения небольшого, по сравнению с Землей, тела в поле тяжести Земли, говорим о силе действующей на тело со стороны Земли, как правило, не упоминая и не учитывая равную силу, действующую со стороны тела на Землю.


ло в том, что при громадной массе Земли, изменение ее скорости исчезающее мало. Поэтому изменение потенциальной энергии взаимодействия приводит к заметному изменению кинетической энергии тела и бесконечно малому изменению кинетической энергии Земли. В такой ситуации допустимо говорить о потенциальной энергии тела вблизи поверхности Земли, то есть всю энергию гравитационного взаимодействия «приписать» небольшому телу. В общем случае можно говорить о потенциальной энергии отдельного тела, если остальные взаимодействующие тела неподвижны.

Мы неоднократно подчеркивали, что точка, в которой потенциальная энергия принимается равной нулю, выбирается произвольно. В данном случае такой точкой оказалась бесконечно удаленная точка. В некотором смысле этот непривычный вывод, может быть признан разумным: действительно, на бесконечном расстоянии исчезает взаимодействие – исчезает и потенциальная энергия. С этой точки зрения логичным выглядит и знак потенциальной энергии. Действительно, чтобы разнести два притягивающиеся тела внешние силы должны совершить положительную работу, поэтому в таком процессе потенциальная энергия системы должна возрастать: вот она возрастает, возрастает и … становится равной нулю! Если притягивающиеся тела соприкасаются, то сила притяжения не может совершать положительную работу, если же тела разнесены, то такая работа может быть совершена при сближении тел. Поэтому часто говорят, о том, что притягивающиеся тела обладают отрицательной энергией, а энергия отталкивающихся тел положительна. Это утверждение справедливо, только в том случае, если нулевой уровень потенциальной энергии выбирается на бесконечности.


Так если два тела связаны пружиной, то при увеличении расстояния между телами, между ними будет действовать сила притяжения, тем не менее, энергия их взаимодействия является положительной. Не забывайте, что нулевому уровню потенциальной энергии соответствует состояние недеформированной пружины (а не бесконечность).

Источник: www.physbook.ru

Сила, возникающая при упругой деформации тел, называется силой упругости

Деформация — изменение телами их размеров и формы под воздействием внешних сил.

Упругие силы подчиняютсязакону Гука: сила упругости, возникающая вследствие растяжения (или сжатия), пропорциональна изменению длины деформируемого тела и направлено в сторону, противоположную смещению частиц тела при его деформации

где k – жест­кость пру­жи­ны, удлинение (сжатие) тела(например, пружины).

Жесткость пружины зависит от свойств материала и ее размеров. Жесткость в СИ выражается в ньютонах на метр (Н/м).

Силу упругости, действующую на тело со стороны опоры (или подвеса) перпендикулярно ее поверхности, называют силой реакции опоры


Работа гравитационной силы .

Гравитационная сила

В 1687 г. Ньютон установил один из фундаментальных законов механики, получивший название закона всемирного тяготения: любые две материальные частицы притягиваются друг к другу с силой, пропорциональной произведению их масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними.
Эту силу называют силой тяготения (или гравитационной силой).

Формула закона всемирного тяготения для материальных точек

Если взаимодействующие между собой тела можно считать материальными точками или же если они имеют правильную сферическую форму, то формула закона всемирного тяготения имеет вид

где F — модуль силы тяготения; m1 и m2 — массы материальных точек; r — расстояние между ними; G — коэффициент пропорциональности, называемый постоянной всемирного тяготения или гравитационной постоянной.

Силы, с которыми взаимно притягиваются тела по закону всемирного тяготения, являются центральными, т. е. они направлены вдоль прямой, соединяющей центры взаимодействующих тел.

Гравитационная постоянная

Из предыдущей формулы при m1=m2=m имеем


G=Fr2/m2.

Из этой формулы видно, что гравитационная постоянная численно равна силе взаимного тяготения двух материальных точек, имеющих массы, равные единице массы, и находящихся друг от друга на расстоянии, равном единице длины.
Числовое значение гравитационной постоянной устанавливают экспериментально. Впервые это сделал английский ученый Кэвендиш с помощью крутильного динамометра (крутильных весов).

В СИ гравитационная постоянная имеет значение

G = 6,67·10-11 Нм2/кг2.

Следовательно, две материальные точки массой 1 кг каждая, находящиеся друг от друга на расстоянии 1 м, взаимно притягиваются гравитационной силой, равной 6,67·10-11 Н.

Однородная сила тяжести — сила, действующая на любое материальное тело, находящееся вблизи поверхности Земли или другого астрономического тела. По определению, сила тяжести на поверхности планеты складывается из гравитационного притяжения планеты и центробежной силы инерции, вызванной суточным вращением планеты. Ускорение, сообщаемое телу силой тяжести, называется ускорением свободного падения.

F = m g,

гдеmмасса тела; gускорение свободного падения,g = 9.8 м/с2.


Работа гравитационной силы

где М — масса Земли; R — радиус Земли.

Fт + Fуп=mа

Где Fуп — сила упругости

 

24.Кинетическая и потенциальная энергия (примеры).

Кинетическая энергия Т механической системы – мера механического движения тела, зависящая от скорости движения в данной инерциальной системе отсчета. Тело массой m, движущейся со скоростью v, обладает кинетической энергией

Работа гравитационной силы

Учитывая формулу p=mv, выражение для кинетической энергии можно записать в виде Работа гравитационной силы р – импульс тела

Потенциальная энергия – это энергия, которая определяется взаимным расположением тел, а также характером сил взаимодействия между этими телами.

Она зависит от расстояния, на котором находятся тела, и не зависит от их скорости. Таким образом, потенциальная энергия — это скалярная величина, имеющая числовое значение, но не имеющая вектора направления. Также она способна совершать работу под действием сил поля.

m — Масса тела.

g — Ускорение свободного падения.


h — Высота.

Еще одним примером консервативной силы можно считать силу упругой деформации. Скажем, к примеру, если взять пружину, на конце которой закреплен груз.

В начальном состоянии, когда пружине не растянута и не сжата груз обладает нулевой потенциальной энергией. Если пружину сжать, то есть изменить положение тела. То груз приобретет некоторую энергию. Далее при отпускании потенциальная энергия перейдет в силу движения и вернет груз в начальное положение.

Работа гравитационной силы

k — коэффициент упругости.

l — изменение длинны.

Примером потенциальной энергии можно считать, такую энергию которой обладает тело массой m подвешенное на некотором расстоянии от земли. В данном случае взаимодействуют два тела. Это земля и подвешенный груз. Роль потенциального поля сил играет гравитационное поле земли. Консервативная сила в данном случае это сила тяжести. Расстоянием между телами считается расстояние между грузом и поверхностью земли.

Полная механическая энергия тела или системы тел равна сумме кинетической и потенциальной энергий тела (системы тел):

Wполн. = W кин.+ Wпот

Пример: Мяч бросают с какой-то высоты на землю. В верхней точки он обладает потенциальной энергией, кинетическая равна нулю. С уменьшением высота эта энергия тоже уменьшается. Когда мяч упадет на землю, он покатится. Его потенциальная энергия станет равной нулю, а кинетическая примет какое-то значение.


Когда человек сидит на стуле, он обладает потенциальной энергией, т. е. возможностью что-то совершить. А бегущий человек обладает кинетической, энергией движущегося тела.

 

25.Закон сохранения энергии в механике.

Закон сохранения энергии: при любых процессах, происходящих в замкнутой консервативной системе, её полная механическая энергия не изменяется.

Е = Екин + Епот = const

здесь Е — полная механическая энергия. Полная механическая энергия остается постоянной:

Существует еще один вид систем – диссиативные системы, в которых механическая энергия постепенно уменьшается за счет преобразования в другие (немеханические) формы энергии. Этот процесс получил название дисспации (рассеяния) энергии.

Физическая сущность закона сохранения и превращения энергии заключается в том, что при любых физических взаимодействиях энергия не исчезает и не появляется вновь, она лишь превращается из одного вида в другой.

 

Источник: cyberpedia.su

1

  • Авторы
  • Резюме
  • Файлы

Рассмотрим перемещение тела малой массы m в гравитационном поле массивного тела массы M. В случае m< Рассмотрим вначале свободное падение тела m от r0 до r1 (рис.1). Уравнение движения имеет вид

Работа гравитационной силы(1)

где Работа гравитационной силы,  — гравитационная постоянная. Если в точке r0 начальная скорость равна нулю, то решение запишется в виде

Работа гравитационной силы (2)

Работа гравитационной силы(3)

Работа гравитационной силы(2a)

Работу, совершаемую силой тяготения, можно определить, используя формулу (2) на основе соотношения: Работа гравитационной силы

Работа гравитационной силы (4)

Если ввести понятие гравитационного потенциала Работа гравитационной силы, то выражение (4) для работы можно записать в виде

Работа гравитационной силы(4а)

В работах [1-3] показано, что работу можно так же вычислить, используя импульс силы I:

Работа гравитационной силы, где Работа гравитационной силы (5)

где tk — время движения от r0 до r1, а dt определяется выражением (2а). Чтобы переместить тело m обратно из точки rв r0, необходимо приложить стороннюю силу F, большую, чем гравитационная сила F3=GMm/r2 и направленную в противоположную сторону.

СЛУЧАЙ I. Сторонняя сила больше гравитационной на постоянную величину ΔF, т.е. силы, действующие на тело m, можно представить в виде:

Работа гравитационной силы

 где Работа гравитационной силы. Под действием силы ΔF тело будет совершать равноускоренное движение. Соотношение между координатой и временем определяется выражениями: Работа гравитационной силы и Работа гравитационной силы. Вычислим импульсы всех сил за время tk (время движения от r1 до r0):

Работа гравитационной силы (6)

Работа гравитационной силы; Работа гравитационной силы (7)

Суммарная работа всех сил будет равна

Работа гравитационной силы

Работа сторонней силы

Работа гравитационной силы (8)

Работа гравитационной силы

Работа гравитационной силы (9)

Отдельные составляющие работы будут определяться выражениями:

Работа гравитационной силы

Работа гравитационной силы

Работа гравитационной силы; (10)

Работа A+ имеет минимум, соответствующей силе

Работа гравитационной силы (11)

Приведем численный пример. Пусть тело массы m=1кг перемещается в гравитационном поле Земли Работа гравитационной силы

 в пределах:  Работа гравитационной силы м и Работа гравитационной силы м. В случае свободного падения в соответствии с (4) получаем A = 35,9 МДж. Гравитационные силы в точках r0 и r1, соответственно равны F0 =0,0399H,F1 = 3,99 H. Совершим перемещение в обратном направлении при  ΔF =0,1 H . Работу A+ в соответствии с (8) получаем в следующем виде: Работа гравитационной силыМДж, что в 31,7 раза больше А. По формуле (11) определяем  Работа гравитационной силыН  и затрачиваемую работу Работа гравитационной силы, что в 10 раз больше А.

СЛУЧАЙ II. Сторонняя сила больше гравитационной на некоторый постоянный коэффициент β. Тогда силы, действующие на тело, можно записать в виде F = F1+ F2 — F3, где Работа гравитационной силы. Под действием силы Работа гравитационной силы тело будет совершать ускоренное движение от r1 к r0 . При нулевой начальной скорости, решая уравнение движения, последовательно находим:

Работа гравитационной силы (12)

Работа гравитационной силы (13)

Работа гравитационной силы (14)

Импульсы сил при движении тела m от r0  до r1 соответственно равны

Работа гравитационной силы;     Работа гравитационной силы   (15)

Работа сторонней силы

Работа гравитационной силы (16)

Работа гравитационной силы

Работа гравитационной силы (17)

Выражение (16) имеет минимум при β=1 (рис. 2)

Работа гравитационной силы (18)

Что в 4 раза больше работы свободного падения A, определяемой выражением (4), при этом работа гравитационной силы Работа гравитационной силы. При β>>1 работа гравитационной силы стремится к минимальной величине, равной Работа гравитационной силы (рис. 3).

СЛУЧАЙ III. Для перемещения тела m от r1 к r0 на него в течении небольшого времени t* (при перемещении до r*) действует постоянная сила F0>F3, обеспечивающая в точке r* кинетическую энергию

 

 Работа гравитационной силы(19)

обеспечивающую перемещение тела m  по инерции от r* до r0. Уравнение движения в этом случае запишется в виде:

Работа гравитационной силы (20)

При нулевых начальных условиях получим для участка от r1  до r* :

Работа гравитационной силы(21)

Работа гравитационной силы;    Работа гравитационной силы                    (22)

Квадрат импульсов сил Работа гравитационной силы. Суммарная работа всех сил на участке от r1 до r* :

Работа гравитационной силы(23)

Работа силы тяги F0 будет равна Работа гравитационной силы, «антиработа» гравитационной силы Работа гравитационной силы

Приближенные значения этих работ:

 Работа гравитационной силы       (24)

Работа гравитационной силы (25)

Работа гравитационной силы

В случае F0>>F3 будем иметь

Работа гравитационной силы (26)

при этом Работа гравитационной силы, а Работа гравитационной силы, определяемой выражением (4). Идеальным вариантом этого случая является действие мгновенной силы, для чего следует устремить время действия силы Работа гравитационной силы, а величину силы Работа гравитационной силы. Тогда получим мгновенную силу в виде I0δ(t), где δ(t) — дельта — функция Дирака [4]. Единичный импульс силы будет равен I0=mv1, где V1 определяется выражением (4).

СЛУЧАЙ 4. Рассмотрим перемещение тела m по дуге S окружности радиуса r0. Если использовать выражение для работы (4а) с использованием гравитационного потенциала, то формально получаем A0=0, так как в данном случае φ10. Но это неверное заключение, не работа A0=0, а эта работа не может быть совершена силами данного поля. Для перемещения тела по дуге окружности необходимо действие двух сил: удерживающей силы Fy=-F3, которая предотвращает свободное падение тела, и перемещающую силу FT, направленную по касательной. Работа постоянной перемещающей силы Работа гравитационной силы

. Работа удерживающей силы Работа гравитационной силы, где t — время перемещения. Поскольку силы FT и Fy взаимно перпенди-кулярны, то работы этих сил аддитивны, т.е. суммарная работа A = AT + Ay

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:

  • Иванов Е.М. Работа и энергия в классической механике и I закон термодинамики // Фундаментальные ис-следования, №8, 2005, с. 11.
  • Иванов Е.М. Работа при движении тел с трением // Фундаментальные исследования, №6, 2005, с. 10.
  • Иванов Е.М. Определение работы и работа силы трения // Успехи современного естествознания. №8, 2005, с. 10.
  • Арсенин В.Я. Математическая физика.- М.: Наука, 1966.

Библиографическая ссылка

Иванов Е.М. РАБОТА СИЛ В ГРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЕ // Современные наукоемкие технологии. – 2006. – № 7. – С. 12-17;
URL: http://top-technologies.ru/ru/article/view?id=22984 (дата обращения: 02.07.2020).


Источник: top-technologies.ru


You May Also Like

About the Author: admind

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Этот сайт использует Akismet для борьбы со спамом. Узнайте как обрабатываются ваши данные комментариев.