Октанты пространства


В статье для случаев 0-, 1-, 2- и 3-х измерений даются иллюстрации к теореме об ориентируемости нечётномерных и неориентируемости чётномерных проективных пространств. Рисунки автора.

Обозначения.

∠BAC – угол ∠BAC (объединение двух лучей [BA) и [BC), которые исходят из вершины B, содержат соответственно точки A и C, и одну из заключённых между ними областей плоскости).


его ориентация определяется знаком векторного (или псевдоскалярного) произведения этих векторов, берущихся в порядке следования в обозначении. ∢BAC – алгебраическая величина меры угла, имеющего вершиной точку B и образованного одним из возможных поворотов луча [BA) в сторону точки C. При этом поворот против часовой стрелки считается положительным, а поворот по часовой стрелки – отрицательным. ∢(a, b) – алгебраическая величина меры угла между векторами a и b, при этом её знак будет положительным, если поворот вектора a в строну вектора b в плоскости, заданной этими векторами, происходит против часовой стрелки, в противном случае её знак отрицательный. △ABС – треугольник (2-симплекс), имеющий вершинами три точки A, B и С, ориентация которого определяется порядком следования вершин в обозначении треугольника; при этом точка A считается начальной точкой обхода его вершин.

Некоторые определения.

Ниже под многообразием (алгебраическим) подразумевается множество решений системы, состоящей из одного или более алгебраических уравнений и/или неравенств. В частности линейным многообразием является множество решений системы, состоящей из одного или нескольких линейных уравнений и/или неравенств.


имерами (линейных) многообразий будут: n-мерные евклидовы пространства при n ∈ {-1, 0, 1, …} (n < ∞, размерность -1 приписывается пустому множеству Ø, размерность 0 имеют точки), отрезки прямых линий, лучи, плоские многоугольники, области плоскости, ограниченные многоугольниками, углы (два луча, исходящих из одной точки вместе с одной из областей плоскости, расположенных по одну сторону от этих лучей или без неё), поверхности пространственных многогранников и заключённые в них области пространства и т. п. Под фигурой подразумевается некоторое подмножество (какого-то) пространства. Связной фигурой называется фигура, любые две точки которой можно соединить непрерывной кривой, целиком принадлежащей этой фигуре (связные фигуры называются просто фигурами).

Простой кривой называется кривая, не имеющая самопересечений (т. е. одних и тех же точек, повторно встречающихся при обходе кривой). Простым замкнутым контуром называется кривая, имеющая единственную точку самопересечения (которой можно считать любую точку этой кривой). Положительным направлением обхода (положительной ориентацией) простого замкнутого контура называется такое направление обхода, при котором внутренняя область контура остаётся слева (движение против часовой стрелки).

Симплексы.

Вопросы ориентируемости многообразий рассматриваются в разделе алгебраической топологии – теории гомологий и когомологий, где основными понятиями являются понятия симплекса и комплекса.


льмерным симплексом (0-симплексом) является точка, которой приписано определённое (из бесконечного множества возможных) направление. Нульмерный симплекс можно считать вектором нулевой длины. Одномерным симплексом (1-симплексом) является замкнутый (включающий концы) невырожденный отрезок, содержащий оба своих конца – 0-симплексы. Одномерный симплекс можно ориентировать двумя способами, придавая ему одно из двух возможных направлений, задаваемых порядком следования его концов. Направленный (ориентированный) 1-симплекс является вектором, концами которого считаются 0-симплексы, которым приписывается одинаковое с 1-симплексом направление. Двухмерным симплексом (2-симплексом) является невырожденный треугольник, стороны (рёбра) которого считаются 1-симплексами. Если одному из рёбер двухмерного симплекса придать некоторое направление (одно из двух возможных), то это направление определит ориентацию всего симплекса, если остальным его рёбрам также придать соответствующие направления так, чтобы они вместе с направлением задающего ребра образовывали контур с определенным (правым или левым) направлением обхода его сторон. Т.к. существуют два возможных направления у каждого из рёбер 2-симплекса, то существуют две возможные его ориентации. Вся евклидова плоскость может быть ориентирована. Положительная (внутренняя) её ориентация (её «наружная» сторона) определяется псевдоскаляром, равным произведению |e1|·|e2|·sin∢(e1, e2) = sin∢(e1, e2), где ∢(e1, e2) – алгебраическая величина меры угла между ортами e1 и e2 системы координат, заданной в плоскости, которая зависит от ориентации ортов (одной и двух возможных). Аксиальный вектор, равный векторному произведению ортов заданной в плоскости системы координат называется её направляющим вектором.


Теорема. Если два 2-симплекса, расположенных в одной плоскости и имеющих смежное ребро, имеют одинаковую ориентацию, то это ребро входит в состав этих симплексов с противоположными направлениями. Остальные четыре вектораребра, образующие замкнутый контур, одинаково направлены (т.е. конец каждого вектора является началом следующего).

Трёхмерный симплекс (3-симплекс) представляет собой невырожденный трёхмерный тетраэдр, каждая из четырёх треугольных граней которого представляет собой 2-симплекс. Ориентировать 3-симплекс можно двумя способами: либо, направив направляющие (аксиальные) векторы всех его 2-хмерных граней (2-симплексов) внутрь полости 3-симплекса (отрицательная ориентация), либо, – во вне его полости (положительная ориентация).


У положительно ориентированного 3-симплекса все четыре 2-грани имеют отрицательную (правую) ориентацию, у отрицательно ориентированного – положительную (левую) ориентацию.

Проективные многообразия разных размерностей.

В общем случае n-мерное проективное пространство определяется как множество (проектирующих) прямых, проходящих через фиксированную точку n + 1-мерного евклидова пространства (точку проектирования). Для случаев 1-го и 2-х измерений n-мерное проективное пространство можно также определить как множество всех точек пресечения прямых, проходящих через фиксированную точку соответственно некоторой плоскости или 3-мерного евклидова пространства с прямой (плоскостью), не содержащей точку проектирования. При этом каждая проектирующая прямая, параллельная евклидовой прямой (плоскости), дополняется одной особой (бесконечно удалённой) точкой, лежащей на этой прямой (плоскости) так, что различные проектирующие прямые, параллельные прямой (плоскости) проекций, содержат различные бесконечно удалённые точки (по одной на каждую проектирующую прямую).


е бесконечно удалённые точки проективной плоскости образуют бесконечно удалённую прямую. Все прямые евклидовой плоскости, дополненные (указанным выше способом) бесконечно удалёнными точками образуют проективную плоскость. Точки проективного пространства, не являющиеся бесконечно удалёнными, называются обыкновенными. Точка – 0-мерное пространство не имеет определённого направления, поэтому её можно считать 0-мерным, не ориентируемым, проективным пространством. Проективной прямой называется евклидова прямая, дополненная одной бесконечно удалённой точкой, в которой проективная прямая замыкается в простой контур. При этом все проективные прямые, евклидовы части которых параллельны, проходят через одну и ту же бесконечно удалённую точку (пересекаются в ней), а любым двум не параллельным прямым принадлежат различные бесконечно удалённые точки. Проективная прямая, являясь простым замкнутым (одномерным) контуром, заключает внутри одномерную область, которую можно считать вырожденным треугольником. Все связные части проективной прямой можно считать отрезками (с включёнными или исключёнными одним или обоими концами). Эти отрезки в евклидовой части проективной плоскости без бесконечно удалённых точек представляют собой: отрезок, не включающий бесконечно удалённую точку, обоими концами которого являются обыкновенные точки – (обыкновенный) евклидов отрезок; отрезок, одним концом которого являются обыкновенная точка, а другим – бесконечно удалённая – евклидов луч, с началом в обыкновенной точке; отрезок, обоими концами которого являются бесконечно удалённые точки – евклидова прямая; отрезок, включающий внутрь себя бесконечно удалённую точку, обоими концами которого являются обыкновенные точки – два противоположных евклидовых луча, лежащих на одной и той же прямой.


Бесконечно удалённая прямая является простым замкнутым контуром (т. к. не разбивается ни какой исключённой из неё точкой, включая все остальные (бесконечно удалённые) точки контура). Бесконечно удаленную точку, лежащая на направленной проективной прямой, можно считать 0-симплексом, имеющим одинаковое направление с этой прямой. Никакая проективная прямая, лежащая в проективной плоскости, не разбивает эту плоскость (на две несвязные части), т. к. любые две точки, лежащие по разные стороны от любой прямой можно соединить не пересекающим её (непрерывным) отрезком, имеющим концами эти точки и проходящим через лежащую на нём бесконечно удалённую точку. Простому замкнутому контуру можно придать определённое направление. Поэтому проективная прямая является ориентируемым многообразием. Ориентированная проективная прямая, содержащая три точки, будучи вырожденным треугольником, не является двухмерным симплексом.

Неориентируемость проективной плоскости

Неориентируемость проективной плоскости RP2 можно установить, рассматривая её конечную модель в евклидовой плоскости, представленную в виде круга конечного радиуса с отождествлёнными диаметрально противоположными точками его граничной окружности.


На ориентируемость проективная плоскость исследуется методом её триангуляции (т.е. путём покрытия её ориентированным комплексом, состоящим из одинаково ориентированных 2-симплексов). Учитывая теорему о независимости ориентации многообразия от заданной на нём триангуляции, берётся самая простая (экономная) триангуляция, состоящая из четырёх 2-симплексов, имеющих общую (обыкновенную) вершину A, одно общее бесконечно удалённое ребро [∞l, ∞p] и рёбра – отрезки [A, ∞l], [∞l, A], [A, ∞p] и [∞p, A] (евклидовы лучи) пересекающихся в точке A прямых l и p. На модели проективной плоскости эта триангуляция представляется в виде четырёх квадрантов, образованных осями системы координат с началом в точке A. Она сдержит две пары диаметрально противоположных 2-симплексов (1, 1') и (2, 2'). Ориентацию этим четырём 2-симплексам придаётся выбором направления у их общего ребра⃗ ∞l,∞p – бесконечно удалённого отрезка. Заданному комплексу триангуляции проективной плоскости можно сопоставить (трёхмерный) граф связей между его ребрами и вершинами.


На рисунке его рёбра показаны немного разнесёнными в стороны относительно ориентирующего ребра (на рисунке оно изображено синей стрелкой). Задав общему ребру [∞l, ∞p] некоторое направление, можно задать одинаковую ориентацию отдельно каждой паре противоположных 2-симплексов (1, 1') (на рисунке синяя и зелёная стрелки) и (2, 2') (на рисунке фиолетовая и оранжевая стрелки). При этом, если ориентировать какой-либо из 2-симплексов пары (2, 2') так же, как и у пары (1, 1'), то другой,

противоположный ему 2-симплекс, окажется ориентированным в противоположном направлении. Таким образом, попытка ориентировать граф триангуляции проективной плоскости (а, значит, и комплекс её триангуляции) проводит к противоречию, доказывающему неориентируемость проективной плоскости. Чтобы вектор, перпендикулярный некоторой проективной плоскости, и некоторой прямой лежащей в этой плоскости, двигаясь вдоль этой прямой всё время в одном направлении, вернутся в своё исходное положение, он должен пройти по прямой дважды. Это свойство проективной плоскости называется её односторонностью.


Для наглядной демонстрации этого свойства нужно использовать представление проективной прямой как множества прямых проходящих через точку проекции (расположенную вне проективной прямой). На рисунке цепью синих жирных стрелок показана модель проективной прямой, лежащей в проективной плоскости (показана красным овалом). Последовательные положения движущегося вдоль этой прямой вектора (показаны зелёными стрелками) связаны с вращающейся вокруг точки проектирования осью (направленной прямой, положения которой показаны тонкими синими стрелками). Вектор движется так, что его проекция на вращающуюся ось всё время остаётся неотрицательной. В бесконечно удалённых точках эта проекция вырождается в 0-симплекс (показан зеленым, на половину закрашенным кружочком), который имеет одинаковое направление с осью. За пол оборота проектирующей прямой зелёный вектор совершает один полный проход по проективной прямой, приходя в своё начальное положение, будучи противоположно направленным. Чтобы вернутся к своему начальному направлению ему нужно совершить ещё один полный проход по прямой за следующие пол оборота проектирующей прямой.

Ориентация трёхмерного проективного пространства.

Проективное 3-пространство можно представить как множество всех его составляющих проективных плоскостей. Каждая такая проективная плоскость ограничивается единственной бесконечно удалённой прямой. Все параллельные евклидовы плоскости 3-пространства пересекаются по одной и той же бесконечно удалённой прямой. Не параллельные евклидовы плоскости содержат разные бесконечно удалённые прямые. Никакая проективная плоскость не разбивает проективное 3-пространство на отдельные части (так же, как проективная плоскость не разбивается никакой расположенной в ней прямой), т. к. две точки, расположенные по разные стороны от какой-либо проективной плоскости, могут быть соединены отрезком, проходящим через бесконечно удалённую точку, не лежащую на этой плоскости. Моделью трёхмерного проективного пространства (3-пространства) является трёхмерный шар, у граничной сферы которого отождествлены диаметрально противоположные точки. Если поместить в центр этого шара систему координат (для простоты – прямоугольную), то её осями координат шар разобьётся на 8 телесных углов – октантов. Эти октанты покрывают всё пространство и их можно считать (бесконечными в 3-хмерном пространстве) тетраэдрами – 3-симплексами. Одной из граней каждого такого октанта является 2-симплекс, расположенный в бесконечно удаленной плоскости. Всего таких 2-симплексов четыре и каждый из них являются общей гранью двух противоположных октантов. Назовём такие октанты диаметрально противоположными. Четыре пары диаметрально противоположных 3-симплексовоктантов (1, 1'), (2, 2'), (3, 3'), (4, 4') образуют комплекс триангуляции проективного 3-пространства.

Если одному из восьми 3-симплексов этой триангуляции придать определённую ориентацию и согласовать с ней ориентации всех остальных 3-симплексов, то получится ориентированный комплекс с одинаковой (непротиворечивой) ориентацией составляющий его симплексов, что доказывает ориентируемость трёхмерного проективного пространства.

Список литературы

1. Бэр Р. Линейная алгебра и проективная геометрия. Перев. с англ. –М.: ИЛ., 1955. -399 с. -библ.: 388-392 с. 2. Гуревич Г. Б. Проективная геометрия. –М.: Физматгиз, 1960. 320 с. -библ.: 31. 3. Маклейн С. Гомология. Перев. с англ. –М.: Мир, 1966. 543 с. -библ.: 512-528 с. 4. Ху Сы-Цзян. Теория гомотопий. Перев. с англ. –М.: Мир, 1964. -468 с. -библ.: 455-459 с. 5. Вик Дж.У. Теория гомологий. Введение в алгебраическую топологию / Пер. с англ. П.А. Колгушкина. – М.: МЦНМО, 2005. – 288 с; ил.

Виктор Сухов.

Всего Вам доброго.

Источник: zen.yandex.ru

Источник: mash-xxl.info

Решение задачи по начертательной геометрии — части пространства (Октанты).

Задача

По заданным координатам точек А и В построить три проекции прямой АВ, и определить истинную длину (натуральную величину) отрезков по частям пространства (октантам).

A (50; 80; -10);   B (-15; -35; 70).

Задачу по начертательной геометрии необходимо решить на комплексном чертеже.


Решение:

1) По заданным координатам строим проекции точек А и В в 3-ех плоскостях проекций. Соединяем проекции концов отрезка А и В в каждой плоскости, получаем A»B» — фронтальная проекция, A’B’ — горизонтальная проекция, A»’B»’ — профильная проекция отрезка.  spbgti-z2-1

2) Способом прямоугольного треугольника определяем истинную длину всего отрезка |АВ|.
spbgti-z2-2

 

3) Определяем следы отрезка, т.е. точки пересечения прямой с плоскостями проекций — M=M’ горизонтальной, N=N» фронтальной и Р =P»’— профильной плоскостью.

spbgti-z2-3

 

4) Итак, у нас получилось, что отрезок АВ разделен на 4 отрезка: AM, MN, NP и PB, каждый из которых лежит в некотором октанте, и в точках M, N, P переходит в другой октант или часть пространства.

oktanty

5) Начало отрезка — точка А имеет координаты A (50; 80; -10), x=50 >0, y=80>0 и  z<0, смотрим по таблице выше «++-« — это IV октант, значит, отрезок AM находится в 4-ом октанте.

Определяем в каком октанте находится участок MN. Для этого на этом участке нужно взять произвольную точку и посмотреть какие будут у нее координаты — >0 или <0. В нашем случае, на участке MN — все координаты будут со знаком «+» (+++) — это I октант (см. табл.)

На 3-ем участке NP  у нас меняется координата y с «+» на «-«, получается (+-+) — это II октант.

Ну и конечная точка В имеет координаты (—+) — это VI октант.
spbgti-v21z2

6) По линиям связи на ходим точки М0, N0, P0 — и получаем натуральные величины отрезков AM, MN, NP, PB по частям пространства.

Источник: stud55.ru

В работе приведен метод построения двух точек в 8-ми октантах в пространственной системе координат и в плоскости — эпюры. Описана схема построения данных по численным значениям двух точек. Приведены графические примеры построения этих точек.

Ключевые слова:октант, точка, плоскость, горизонталь, фронталь, профиль, система, координата, ось, эпюра, проекция, ортогональ.

 

При проведении занятий по разделу «Точки в четвертях и октанта пространства» задается в качестве примера одна точка по проецированию точки в различных положениях квадранта плоскости проекции [1]. Нами предлагается для лучшего усвоения темы задавать в различных октантах по две точки, например,  и . Одну точку  задаём постоянной величиной координат, например, точку , которая располагается в пространстве над плоскостями , ,  системы, а другую точку  по переменной величине, которая находится во фронтальной или горизонтальной (профильной) плоскостях, т. е. в первом октанте задаются численные значения — ; во втором октанте —  и т. д. Здесь даем некоторое их пояснения, т. к. точка является абстрактной величиной, то не имеет размеров, поэтому показывается на чертеже в виде кружочки. Также объясняем, что точка может быть каким-нибудь геометрической фигурой (шар, цилиндр) или деталем узла механизма: подшипником, колесом, сателлитом, т. е. точка является каким-то условным понятием в начертательной геометрии.

При решении задачи, студентам показываем макет пространственной системы координат с 8-ю октантами (рисунок 1, а) и объясняем их суть: показываем точку  на первом октанте с белой отметкой, а другую точку  — с красной отметкой, в дальнейшем при переходе на второй октант располагаем точку  — по координатной оси с белым цветом, а точку  — красным цветом и т. д. вплоть до 8-го октанта. Затем показываем расположение точек  и  в эпюре (рисунок 1, б), здесь полы макета пространственной системы является подвижными, вращая переднюю полу горизонтальной плоскости  вокруг оси , горизонталь  опускаем вниз до вертикальной линии, которая совмещается с фронтальной плоскостью , при этом задняя часть горизонтальной плоскости  поднимается вверх до совпадении с фронтальной плоскостью . Также происходит изменения и с профильной плоскостью , передняя часть плоскости  при вращении вокруг оси  направо совпадает с фронтальной плоскостью , а задняя часть профильной плоскости  вращаясь налево совпадает с фронтальной плоскостью .

На рисунке 2 и 3 показаны примеры проецирования двух точек  и  в различных октантах пространственной системы координат и в эпюре, например:

1.                  По заданным численным значениям находим точку , которая находится в первом октанте (рисунок 2, а, б), здесь горизонтальная проекция  точки  расположена под осью , вертикальная проекция  — над осью , а профильная проекция  над осью . Точку  задаем другим численным значением . Здесь точка  принадлежит фронтальной  плоскости и расположен на верхней полуплоскости  так что вертикальная проекция  располагается над осью , а горизонтальная проекция  лежит на оси , поскольку проектирующий луч совпадает с плоскостью . Также, только на другой оси  лежит профильная проекция .

Октанты пространства

Рис. 1. Пространственная (а) и плоскостная (б) модель октантов.

 

Все точки  и  равномерно расположены во всех трех четвертях проекции эпюры. При совмещении плоскостей проекций надо иметь в виду, что ось  как бы распадается на две прямые, из которых одна остаётся на горизонтальной плоскости , а другая — на фронтальной плоскости . И между этими двумя осями  и  образуется разрывная или нулевая плоскость, где не приводится ортогональные проекции точки, а используется для вспомогательной части чертежа, т. е. проводятся дуговые линии. Поэтому в эпюре (рисунок 2, б) используется из имеющихся четырех плоскостей только три плоскости: ; ; , а четвертая плоскость используется как вспомогательная плоскость, поэтому коэффициент использования плоскостей эпюры будет .

2.         Точка  находится во втором октанте (рисунок 2, в, г). Проектируя точку  на плоскости  и , получим её проекции: горизонтальную  — на задней полуплоскости , вертикальную  — на верхней полуплоскости , а профильная  — также на задней полуплоскости . Численные значения точки  заданы и по ним можно определить, что точка принадлежит горизонтальной  плоскости, тогда одна проекция точки  — горизонтальная  будет расположена над осью , а две другие проекции — фронтальная  и профильная  будет лежать на оси . При совмещении плоскости  с  задняя полуплоскость  плоскости  перемещается вверх, а задняя профильная полуплоскость перемещается влево  фронтали  и ось проекции расположатся выше оси  и на одном перпендикуляре к ней, т. е. все точки  и  располагаются в одной четверти эпюры, а остальные три четверти плоскостей не используются, поэтому коэффициент использования плоскостей эпюры будет .

3.         Точки  и  находятся в третьем октанте и изображаются в эпюре по двум четвертям проекции (рисунок 2, д, е). Горизонтальная проекция  расположена над осью , а фронтальная  и профильная  под осью . Точка  также располагается по двум четвертям проекции, но фронтальная  и профильная  проекции расположены на оси , а горизонтальная  проекция над осью . Здесь проекционные точки  и  используются в двух четвертях плоскости, а остальные две четверти плоскости не используются, поэтому коэффициент использования плоскостей эпюры будет .

4.         Точки  и  находятся в четвертом октанте пространственной системы и также в эпюре располагаются по двум четвертям плоскости, только в нижней части эпюры (рисунок 2, ж, з). Горизонтальная  и фронтальная проекции расположены под осью , а профильная  проекция расположена под осью . Точка  здесь также располагаются по двум четвертям плоскости эпюры в нижней части, при этом фронтальная  проекция точки расположена на оси ; профильная  проекция расположена на оси , а горизонтальная  проекция расположена под осью . Здесь также проекционные точки  и  используются в двух нижних четвертях плоскости эпюры, а остальные две верхние четверти не используются, коэффициент использования плоскостей эпюры, . 3

Октанты пространства

Рис. 2. Проецирование точек  и  в I-IV октантах

 

5.         На рисунке 3, и, к показана эпюра пятого октанта пространственной системы. Точки  и  в эпюре располагаются в двух четвертях плоскости проекции, только с правой стороны. Фронтальная  и профильная  проекции точки  располагаются над осью , а горизонтальная  проекция под осью . Точка  принадлежит фронтальной  плоскости и проекции точки  также располагаются по двум четвертям плоскости эпюры с правой стороны; горизонтальная  проекция лежит на оси , а фронтальная  и профильная  проекции точки расположены над осью . Здесь используются в двух четвертях с правой стороны эпюры, а остальные две четверти плоскости с левой стороны эпюры не используются, поэтому коэффициент использования плоскостей эпюры будет .

Октанты пространства

Рис. 3. Проецирование точек  и  в V-VIII октантах

 

6.         На рисунке 3, л, м приводится эпюра шестого октанта пространственной системы. Точки  и  в эпюре располагаются по двум четвертям плоскости проекции, которые находятся в верхней части эпюры. Горизонтальная  и фронтальная  проекция располагается над осью . Проекции точки , также располагаются по двум четвертям и находятся в верхней части эпюры, фронтальная  проекция точки лежит на оси ; профильная  — на оси , а горизонтальная  проекция — над осью . Здесь используются в двух четвертях верхней части плоскости эпюры, а остальные две четверти в нижней части плоскости эпюры не используются, поэтому коэффициент использования плоскостей эпюры будет .

7.         Точки  и  находятся в седьмом октанте и в эпюре (рисунок 3, н, о) располагаются по трем четвертям плоскости проекции. Горизонтальная  проекция точки расположена над осью ; фронтальная  — под осью , а профильная  проекции точки под осью . Проекция точки  располагаются в тех же проекциях: горизонтальная  проекция точки лежит на оси ; профильная  лежит на оси , а фронтальная  расположена под осью . В эпюре используется из имеющихся четырех плоскостей только три плоскости: ; ; , а четвертая используется как вспомогательная плоскость, поэтому коэффициент использования плоскостей эпюры будет .

8.         На рисунке 3, н, р приводится эпюра восьмого октанта пространственной системы. Все точки  и  в эпюре располагаются в одной четверти. Горизонтальная , фронтальная  и профильная  проекции точки расположены под осью . Проекции точки  лежит на оси проекции  и очевидно, что три её проекции ,  и  совпадают с точкой  на оси . Здесь все ортогональные точки  и  располагаются в одной четверти плоскости эпюры, а остальные три четверти плоскости эпюры не используются, поэтому коэффициент использования плоскостей эпюры будет .

Вышеизложенное позволяет сделать следующие выводы:

1.         В эпюре видно, что используется три плоскости , а четвертая плоскость является вспомогательной, для проведения дуговой линии.

2.         Наглядно видно, что из восьми октантов эпюры плоскостей наиболее благоприятным октантом является первый октант, так как коэффициент использования плоскостей эпюры равно .

3.         Из двух пространственной и плоскостной модели координатных плоскостей для лучшего чтения чертежей приемлемым является плоскостная модель — эпюра.

4.         В эпюре имея две ортогональные точки, всегда можно построить по ним и третью.

 

Литература:

 

1.      Фролов С. А. Начертательная геометрия. // Учебник. — М.:, 1998. — С. 240.

Источник: moluch.ru

В работе приведен метод построения двух точек в 8-ми октантах в пространственной системе координат и в плоскости — эпюры. Описана схема построения данных по численным значениям двух точек. Приведены графические примеры построения этих точек.

Ключевые слова:октант, точка, плоскость, горизонталь, фронталь, профиль, система, координата, ось, эпюра, проекция, ортогональ.

 

При проведении занятий по разделу «Точки в четвертях и октанта пространства» задается в качестве примера одна точка по проецированию точки в различных положениях квадранта плоскости проекции [1]. Нами предлагается для лучшего усвоения темы задавать в различных октантах по две точки, например,  и . Одну точку  задаём постоянной величиной координат, например, точку , которая располагается в пространстве над плоскостями , ,  системы, а другую точку  по переменной величине, которая находится во фронтальной или горизонтальной (профильной) плоскостях, т. е. в первом октанте задаются численные значения — ; во втором октанте —  и т. д. Здесь даем некоторое их пояснения, т. к. точка является абстрактной величиной, то не имеет размеров, поэтому показывается на чертеже в виде кружочки. Также объясняем, что точка может быть каким-нибудь геометрической фигурой (шар, цилиндр) или деталем узла механизма: подшипником, колесом, сателлитом, т. е. точка является каким-то условным понятием в начертательной геометрии.

При решении задачи, студентам показываем макет пространственной системы координат с 8-ю октантами (рисунок 1, а) и объясняем их суть: показываем точку  на первом октанте с белой отметкой, а другую точку  — с красной отметкой, в дальнейшем при переходе на второй октант располагаем точку  — по координатной оси с белым цветом, а точку  — красным цветом и т. д. вплоть до 8-го октанта. Затем показываем расположение точек  и  в эпюре (рисунок 1, б), здесь полы макета пространственной системы является подвижными, вращая переднюю полу горизонтальной плоскости  вокруг оси , горизонталь  опускаем вниз до вертикальной линии, которая совмещается с фронтальной плоскостью , при этом задняя часть горизонтальной плоскости  поднимается вверх до совпадении с фронтальной плоскостью . Также происходит изменения и с профильной плоскостью , передняя часть плоскости  при вращении вокруг оси  направо совпадает с фронтальной плоскостью , а задняя часть профильной плоскости  вращаясь налево совпадает с фронтальной плоскостью .

На рисунке 2 и 3 показаны примеры проецирования двух точек  и  в различных октантах пространственной системы координат и в эпюре, например:

1.                  По заданным численным значениям находим точку , которая находится в первом октанте (рисунок 2, а, б), здесь горизонтальная проекция  точки  расположена под осью , вертикальная проекция  — над осью , а профильная проекция  над осью . Точку  задаем другим численным значением . Здесь точка  принадлежит фронтальной  плоскости и расположен на верхней полуплоскости  так что вертикальная проекция  располагается над осью , а горизонтальная проекция  лежит на оси , поскольку проектирующий луч совпадает с плоскостью . Также, только на другой оси  лежит профильная проекция .

Октанты пространства

Рис. 1. Пространственная (а) и плоскостная (б) модель октантов.

 

Все точки  и  равномерно расположены во всех трех четвертях проекции эпюры. При совмещении плоскостей проекций надо иметь в виду, что ось  как бы распадается на две прямые, из которых одна остаётся на горизонтальной плоскости , а другая — на фронтальной плоскости . И между этими двумя осями  и  образуется разрывная или нулевая плоскость, где не приводится ортогональные проекции точки, а используется для вспомогательной части чертежа, т. е. проводятся дуговые линии. Поэтому в эпюре (рисунок 2, б) используется из имеющихся четырех плоскостей только три плоскости: ; ; , а четвертая плоскость используется как вспомогательная плоскость, поэтому коэффициент использования плоскостей эпюры будет .

2.         Точка  находится во втором октанте (рисунок 2, в, г). Проектируя точку  на плоскости  и , получим её проекции: горизонтальную  — на задней полуплоскости , вертикальную  — на верхней полуплоскости , а профильная  — также на задней полуплоскости . Численные значения точки  заданы и по ним можно определить, что точка принадлежит горизонтальной  плоскости, тогда одна проекция точки  — горизонтальная  будет расположена над осью , а две другие проекции — фронтальная  и профильная  будет лежать на оси . При совмещении плоскости  с  задняя полуплоскость  плоскости  перемещается вверх, а задняя профильная полуплоскость перемещается влево  фронтали  и ось проекции расположатся выше оси  и на одном перпендикуляре к ней, т. е. все точки  и  располагаются в одной четверти эпюры, а остальные три четверти плоскостей не используются, поэтому коэффициент использования плоскостей эпюры будет .

3.         Точки  и  находятся в третьем октанте и изображаются в эпюре по двум четвертям проекции (рисунок 2, д, е). Горизонтальная проекция  расположена над осью , а фронтальная  и профильная  под осью . Точка  также располагается по двум четвертям проекции, но фронтальная  и профильная  проекции расположены на оси , а горизонтальная  проекция над осью . Здесь проекционные точки  и  используются в двух четвертях плоскости, а остальные две четверти плоскости не используются, поэтому коэффициент использования плоскостей эпюры будет .

4.         Точки  и  находятся в четвертом октанте пространственной системы и также в эпюре располагаются по двум четвертям плоскости, только в нижней части эпюры (рисунок 2, ж, з). Горизонтальная  и фронтальная проекции расположены под осью , а профильная  проекция расположена под осью . Точка  здесь также располагаются по двум четвертям плоскости эпюры в нижней части, при этом фронтальная  проекция точки расположена на оси ; профильная  проекция расположена на оси , а горизонтальная  проекция расположена под осью . Здесь также проекционные точки  и  используются в двух нижних четвертях плоскости эпюры, а остальные две верхние четверти не используются, коэффициент использования плоскостей эпюры, . 3

Октанты пространства

Рис. 2. Проецирование точек  и  в I-IV октантах

 

5.         На рисунке 3, и, к показана эпюра пятого октанта пространственной системы. Точки  и  в эпюре располагаются в двух четвертях плоскости проекции, только с правой стороны. Фронтальная  и профильная  проекции точки  располагаются над осью , а горизонтальная  проекция под осью . Точка  принадлежит фронтальной  плоскости и проекции точки  также располагаются по двум четвертям плоскости эпюры с правой стороны; горизонтальная  проекция лежит на оси , а фронтальная  и профильная  проекции точки расположены над осью . Здесь используются в двух четвертях с правой стороны эпюры, а остальные две четверти плоскости с левой стороны эпюры не используются, поэтому коэффициент использования плоскостей эпюры будет .

Октанты пространства

Рис. 3. Проецирование точек  и  в V-VIII октантах

 

6.         На рисунке 3, л, м приводится эпюра шестого октанта пространственной системы. Точки  и  в эпюре располагаются по двум четвертям плоскости проекции, которые находятся в верхней части эпюры. Горизонтальная  и фронтальная  проекция располагается над осью . Проекции точки , также располагаются по двум четвертям и находятся в верхней части эпюры, фронтальная  проекция точки лежит на оси ; профильная  — на оси , а горизонтальная  проекция — над осью . Здесь используются в двух четвертях верхней части плоскости эпюры, а остальные две четверти в нижней части плоскости эпюры не используются, поэтому коэффициент использования плоскостей эпюры будет .

7.         Точки  и  находятся в седьмом октанте и в эпюре (рисунок 3, н, о) располагаются по трем четвертям плоскости проекции. Горизонтальная  проекция точки расположена над осью ; фронтальная  — под осью , а профильная  проекции точки под осью . Проекция точки  располагаются в тех же проекциях: горизонтальная  проекция точки лежит на оси ; профильная  лежит на оси , а фронтальная  расположена под осью . В эпюре используется из имеющихся четырех плоскостей только три плоскости: ; ; , а четвертая используется как вспомогательная плоскость, поэтому коэффициент использования плоскостей эпюры будет .

8.         На рисунке 3, н, р приводится эпюра восьмого октанта пространственной системы. Все точки  и  в эпюре располагаются в одной четверти. Горизонтальная , фронтальная  и профильная  проекции точки расположены под осью . Проекции точки  лежит на оси проекции  и очевидно, что три её проекции ,  и  совпадают с точкой  на оси . Здесь все ортогональные точки  и  располагаются в одной четверти плоскости эпюры, а остальные три четверти плоскости эпюры не используются, поэтому коэффициент использования плоскостей эпюры будет .

Вышеизложенное позволяет сделать следующие выводы:

1.         В эпюре видно, что используется три плоскости , а четвертая плоскость является вспомогательной, для проведения дуговой линии.

2.         Наглядно видно, что из восьми октантов эпюры плоскостей наиболее благоприятным октантом является первый октант, так как коэффициент использования плоскостей эпюры равно .

3.         Из двух пространственной и плоскостной модели координатных плоскостей для лучшего чтения чертежей приемлемым является плоскостная модель — эпюра.

4.         В эпюре имея две ортогональные точки, всегда можно построить по ним и третью.

 

Литература:

 

1.      Фролов С. А. Начертательная геометрия. // Учебник. — М.:, 1998. — С. 240.

Источник: moluch.ru


You May Also Like

About the Author: admind

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Этот сайт использует Akismet для борьбы со спамом. Узнайте как обрабатываются ваши данные комментариев.