Легенда гласит что карл фридрих гаусс учась


В этот день в своем личном «Дневнике открытий» Гаусс записал: «Heureka! num= треугольник + треугольник + треугольник» (в оригинале записи вместо слова «треугольник», разумеется, стоял маленький рисунок треугольника). Это означало: «Эврика! Любое натуральное число может быть представлено как сумма не более чем трех треугольных чисел». Гауссу был 19 лет, он учился в Геттингенском университете и писал капитальный труд по теории чисел, который через пять лет был опубликован под названием «Арифметические исследования».

Сами треугольные числа заняли в этой монографии Гаусса довольно скромное место. Ведь что такое треугольные числа? Это простейшая разновидность фигурных чисел из трудов древнегреческих математиков пифагорейской школы, которые помимо решения чисто практических задач любили пофилософствовать насчет «магии чисел». Сколько нужно одинаковых камешков, чтобы сложить треугольник? Три камешка. А чтобы сложить квадрат? Четыре. А чтобы увеличить в размерах треугольник из трех камешков? Шесть. И так далее. Набрав побольше монет одного достоинства, например, в один рубль, любой может выложить из них самые разные правильные многоугольники.


В XVII веке Ферма сформулировал свою великую теорему. Но только сформулировал, а не доказал, что всякое натуральное число — либо треугольное, либо сумма двух или трех треугольных чисел; всякое натуральное число — либо квадратное, либо сумма двух, трех или четырех квадратных; всякое натуральное число — либо пятиугольное, либо сумма от двух до пяти пятиугольных чисел; и так далее. Вот ее Гаусс и доказал относительно треугольных чисел (полностью она была доказана только в 1994 году англичанином Эндрю Уайлсом, ставшим за это сэром Эндрю).

Наверное, в 19 лет Гаусс гордился, что смог доказать то, что не смогли доказать Ферма, Паскаль, Эйлер. Но наверняка понимал, что этой теоремой лишь залатал небольшую прореху в математике прошлого, и надо идти дальше. В своих «Арифметических исследованиях» Гаусс собрал воедино результаты Ферма, Эйлера, Лагранжа и других своих предшественников и добавил к ним собственные. Монография принесла Гауссу мировую известность и легла в основу современной теории чисел — одного из основных разделов математики.

Сегодня с его юношеской теоремой о треугольных числах знакомы, наверное, только ученики математических спецшкол. Но именно с нее начался путь Гаусса к его неофициальному, но общепризнанному в мировой науке титулу «короля математики».


Сергей Петухов

Источник: www.kommersant.ru

В прошлый раз мы разобрали первые две задачи школьного тура Всероссийской олимпиады школьников, проводимой в Москве. В этот раз мы разберём оставшиеся три задачи. Если вы решили задачу более простым способом — не стесняйтесь, пишите своё решение в комментариях.

Задача №3. Парад

В параде принимают участие M военных. Командование парада решило, что наиболее эффектное построение военных – в форме квадрата, то есть число участников построения должно быть точным квадратом. Но поскольку число M может не быть точным квадратом, разрешается разбить военных на несколько полков, каждый из которых строится в форме квадрата. Для красоты все полки должны быть одинакового размера, также командование парада хочет, чтобы размер каждого полка был как можно больше. Определите максимально возможный размер полка.
Программа получает на вход одно целое положительное число M, не превосходящее 2×109, – количество участников парад. Программа должна вывести одно число – максимально возможный размер полка.

Пример входных и выходных данных:

Ввод
180

Вывод
36

Решение

Исходя из примера входных и выходных данных видим, что 180 человек можно разделить на 5 полков по 36 человек каждый, где 36 — квадрат числа 6 (62 = 36).


Причем любое число M можно представить в виде n * p, где n — количество полков, а p — количество человек в полку (квадрат некоторого числа).

Почему любое?  Любое число можно представить как произведение самого себя на единицу, а единица — это квадрат единицы (удовлетворяет условию).

Итак вводимое число будет удовлетворять условию: M = n * p (где p — квадрат некого числа, а n — натуральное число).

Следовательно остаток от деления числа M на p должен быть равен нулю (M % p == 0)

Таким образом необходимо перебрать все числа i, где i2 = p, и M % i2 == 0 . Квадрат самого большого числа из таких  i и будет ответом на задачу.

Напишем решение:

  m = int(input()) #вводим m  #перебираем все числа i от 1 до m и проверяем на условие  for i in range(1, m + 1):   if m % (i * i) == 0:   p = i ** 2  print(p)  

Такое решение будет решать данную задачу, но при больших M время выполнения программы будет высоким, так как мы пробегаемся в цикле по всем i от 1 до m.

Например: для числа 169 максимальным квадратом является само число 169. Для него i =13.


Т.е. для числа 169 целесообразно проверять числа от 1 до квадратного корня это числа  — sqrt(169) = 13.

Если квадратный корень не извлекается (как для числа 180), то округляем до целой части сверху.

Итоговый код программы будет такой:

  import math  m = int(input())  w = math.floor(math.sqrt(m))  for i in range(1, w + 1):   if m % (i * i) == 0:   p = i ** 2  print(p)  

Задача № 4. Ряд чисел

Легенда гласит, что Карл Фридрих Гаусс, учась в школе, смог быстро посчитать сумму целых чисел от 1 до 100, заметив, что 1 + 100 = 2 + 99 = … = 50 + 51. Теперь решите задачу посложнее: можно ли перед каждым из чисел от 1 до N расставить знаки «+» или «–» так, чтобы сумма получившихся чисел была равна 0? Например, для N = 3 сумма –1 –2 +3 будет равна 0, а для N = 2 этого сделать нельзя.
Программа получает на вход целое неотрицательное число N, не превосходящее 105.
Программа должна вывести последовательность из N символов «+» или «–», соответствующих знакам, которые нужно расставить перед числами от 1 до N так, чтобы сумма получившихся чисел была равна 0. Если задача имеет несколько решений, нужно вывести один (любой) ответ. Если задача не имеет решения для данного N, нужно вывести одно слово «IMPOSSIBLE».

Примеры входных и выходных данных:

Ввод
3
Вывод
— — +
Ввод
2
Вывод
IMPOSSIBLE

Решение

Рассмотрим несколько последовательностей чисел. Заметим, что сумму двух последних чисел в этих последовательностях можно свести к единице или минус единице (1 или -1).

Ряд чисел

Ещё один набор:
Легенда гласит что карл фридрих гаусс учась

Продолжая рассматривать такие ряды чисел можно заметить, что сумма четырёх последних чисел последовательности (при n >=4) равна нулю.

Если при этом остаются первые 3 числа (1, 2, 3), то из них также можно получить ноль (-1-2+3=0).

Получаем два условия:

  • если количество чисел последовательности (или само вводимое число) кратно 4, то ноль получить можно, задавая последовательность знаков -++- каждой четверке чисел.
  • если остается три первых числа, то им задаются знаки —+, чтобы в сумме получить ноль.

Во всех остальных случаях получить ноль невозможно.

Напишем программу:

  n = int(input())  """определяем количество 4-ок чисел в последовательности,  дающих ноль  """  c = n // 4   if n % 4 == 3:   print('--+' + '+--+' * c)  elif n % 4 == 0:   print('+--+' * c)  else:   print('IMPOSSIBLE')  

Задача № 5. Клад

Путь к кладу задан в виде указаний, какое количество шагов нужно пройти в одном из четырёх направлений: север (N), юг (S), запад (W), восток (E). Весь маршрут записан в виде  строки, содержащей последовательность из чисел и следующих за числами букв, указывающих направление перемещения. Например, строка «7N5E2S3E» означает «пройти 7N5E2S3E» означает шагов на север, 5 шагов на восток, 2 шага на юг, 3 шага на восток». В маршруте может быть много команд перемещения, поэтому каждый такой маршрут можно сократить.
Например, ранее приведённый маршрут можно сократить до 5N8E. По данному маршруту до клада сократите его до строки минимальной длины.

Программа получает на вход строку, состоящую из целых неотрицательных чисел, не превосходящих 10каждое, и одной буквы («N», «S», «W», «E»). Других символов кроме цифр и букв направлений, в строке нет. Длина строки не превосходит 250 символов. Гарантируется, что начальная и конечная точки маршрута различаются.


Программа должна вывести маршрут, ведущий в ту же точку, записанный в таком же виде, как во входных данных, используя минимальное число символов. Если ответов несколько, программа должна вывести один (любой) из них.

Решение

Необходимо из введенной строки «вытащить» значения шагов и определить направление движения.

Рассмотрим введенную строку слева направо. Будем считывать символы и формировать из них числа, пока не увидим один из символов N, S, E или W:

10N30W20N
ch = ‘1’ + ‘0’
ch = ’10’

Далее переводим получившуюся строку в число («10» в  10).

Возьмем две переменные ns и we: юг-север и восток-запад. Выберем направления, при которых будем прибавлять к переменным ns и we полученные числа, а при которых вычитать.

клад

Пример 1. Для строки 10N30W20N:

ns = 10 + 20 = 30
we = -30

Пример 2. Для строки  10N30W20N35S45E:

ns = 10 + 20 — 35 = -5
we = -30 + 45 = 15

Остается вывести ответ. Если переменная ns оказывается положительным числом — получим 30N (как в первом примере), если отрицательным числом, то получим 5S.


То же самое с переменной we: 30W — в первом примере, 15Е — во втором.

Все зависит от выбранного положительного направлении (смотри рисунок).

Используем условный оператор для реализации данного момента

    'N' if ns > 0 else 'S', abs(we), 'E' if we > 0 else 'W'    

По условию задачи начальная и конечная точка различны.

Напишем программу, учитывая все вышесказанное

  s = input()  svet = ['N','W','E','S']  ch =''  ns = 0  we = 0  for i in range(len(s)):   if s[i] not in svet:   ch += s[i]   else:   if s[i] == 'N':   ns += int(ch)   if s[i] == 'S':   ns -= int(ch)   if s[i] == 'W':   we -= int(ch)   if s[i] == 'E':   we += int(ch)   ch = ''    print(abs(ns), 'N' if ns > 0 else 'S', abs(we), 'E' if we > 0 else 'W', sep='')  

Источник: krivaksin.ru

Легенда гласит что карл фридрих гаусс учась

Попробуем усложнить задачу. Предположим, что нам нужно посчитать сумму всех цифр от 1 до n, где n-любое натуральное число (их еще называют естественными числами, возникающими естественным образом при счете).

Получится ли решить такую задачу способом Гаусса? Оказывается, что да. Для удобства предположим, что число n четное, так как сама постановка задачи о делении всех чисел на пары подразумевает, что их четное количество.


Легенда гласит что карл фридрих гаусс учась

Заметьте, что сумма каждой пары равна n+1 и что количество таких пар n/2. Нам остается лишь перемножить сумму каждой пары (n+1) на количество пар (n/2) по аналогии c задачей, с которой столкнулся Карл. Обозначим сумму буквой S.

S=(n+1)*n/2 (при условии, что n — четное натуральное число).

А что если n — нечетное число, что делать тогда?

1+2+3+4+5+….+(n-3)+(n-2)+(n-1)+n=? , где n-нечетное натуральное число

Или первое число не равно единице?

2+3+4+5+….+(n-3)+(n-2)+(n-1)+n=?

Или разница между соседними числами не один, а скажем три?

2+5+8+11+…+(n-3)+n=?

Или нам нужно посчитать такую сумму:

a 1 + a2 +a3+ … a(n-1) + an=?, где a1, a2..an — это последовательность чисел.


И единственное, что их объединяет с числами, которые суммировал Карл — это закономерность, связывающая соседние элементы между собой. Каждый следующий элемент получается из предыдущего путем прибавления одного и того же числа. Обозначим это общее для всей последовательности число как d и a n=a(n-1) + d. Таким образом, каждый элемент последовательности можно представить так:

a 1, a1 + d, a1 + 2d, …, a1 + (n — 1)d, … j

Мы только что дали определение арифметической прогрессии и d — разность прогрессии.

Последовательность — упорядоченный список элементом, в данном случае в качестве элементов выступают числа.

Легенда гласит что карл фридрих гаусс учась

Оказывается логика, которой руководствовался Гаусс, верна и в этом случае. Для того чтобы это показать, нам нужно слегка модифицировать трюк Карла и разбить пары несколько иначе. Помня, что от перестановки мест слагаемых сумма не меняется, обозначим сумму такой последовательности как S и запишем ее двумя зеркально разными способами.

S = a + a+ a+ … + an-2 + an-1 + an

+

S = a + an-1 + an-2 + … + a+ a+ a1

=

2S = (a + an) + (a+ an) + (a+ an) + … + (a+ an) + (a+ an) + (a+ an)

Прибавим оба равенства, последовательно прибавляя в правой части слагаемые, которые стоят на одной вертикали. Так вот все эти пары равны между собой. Как бы вы это показали? Я думаю, что наш друг Карл заметил бы особенность таких пар: если начинать с первой пары (a 1+an), то в каждой следующей паре первое слагаемое пары увеличивается на d, тогда как второе уменьшается на d и, в конечном счете, сумма не меняется и равна (a1+an). Учитывая, что таких пар n делим обе части равенства на два, получаем:

2Sn= (a1 + an)n

Sn = ((a1 + an)/2)n

Получаем формулу суммы арифметической прогрессии. Если вспомнить, что любой элемент прогрессии выражается через первый элемент a1 и разность прогрессии — d, то можно переписать формулу суммы следующим образом:

an = a1 + (n — 1)d 

Sn = ((2a+  d(n — 1))/ 2)n



Источник: oyla.xyz

Неоднократно читал, что у репетиторов часто возникают конфликтные ситуации с учениками или их родителями.

У меня же за несколько лет преподавания не было ни одного мало-мальского конфликта.

И я уже стал задумываться: может я что-то не так делаю?:)

Но это до поры до времени.

И тут за пару недель подряд два проблемных клиента. И если бы я пошел на принцип, то наши отношения с ними сложились бы очень плохо.

Итак, первый клиент — женщина с сыном 5ый класс.

Хотят заниматься дистанционно по скайпу.

В телефонном разговоре женщина сказала: мы еще ни разу не занимались дистанционно, поэтому не знаем, как оно пойдет. Решение о дальнейших занятиях примем после первого пробного занятия.

Ну хорошо, не вопрос, давайте попробуем.

Провел я занятие, и мне нужно было оплатить комиссию репетиторскому агрегатору. О чем я сообщил клиенту, сообщив реквизиты для оплаты.

Но женщина ответила:

Ж: Так это же было пробное занятие, я подразумевала, что оно будет бесплатным.

Я: Да, мы действительно договаривались о пробном занятии,  но речи о том, что оно будет бесплатным, не было.

Ж: Ну как же так, я на это не рассчитывала, ведь пробное и значит бесплатное.

Я: Да, я Вас понимаю, но в анкете у репетиторов прописаны все их условия работы. У кого-то указано: «бесплатное первое занятие», или «скидка 30% на групповое занятие», например, и т.д.

В моем профиле такой информации нет, и мы не обсуждали отсутствие оплаты, хотя я, в принципе, возможно, и пошел на это в определенном случае. Поэтому предлагаю договориться так: в виду возникшего недопонимания, первое занятие учесть со скидкой 50%, то есть за полцены.

Женщине такой вариант понравился, так как ей, с одной стороны было неудобно ставить меня перед фактом бесплатного занятия, но с другой стороны, сама она тоже не рассчитывала его оплачивать.

В итоге наше общение не закончилось неприятностями и каждый из нас вышел из ситуации максимально мягко.

Второй случай. Мама семиклассника.

В переписке в мессенджере договорились о стоимости занятия. Речь шла о оплате за занятие (60 минут). Клиента всё устроило, но дальше она пишет:

Ж: А Вы можете заниматься не 60 минут, а 1 час 20 минут? Дело в том, что сыну нужно время, чтобы достать тетрадку, принадлежности, сходить попить, покушать, отдохнуть, и в итоге чистого времени на занятие как раз и будет около 60 минут.

Конечно я согласился, любой каприз за деньги клиента. С другими учениками часто меняем длительность занятий и в меньшую, и в большую сторону с перерасчетом стоимости урока, естественно.

После окончания урока мама ученика спрашивает меня:

Ж: Сколько я должна?

Я: «называю оговоренную сумму за 60 минут и умножаю ее на 4/3 (то есть, учитывая то, что мы занимались 80 минут, соответственно и оплата тоже за 80 минут).

Ж: Но Вы же называли другую сумму!

Я: Я называл сумму за 60 минут, но Вы попросили меня заниматься 80 минут.

Вообще, очень странное отношение к человеку. Занять его время на то, чтобы великовозрастное дитятко жевало сопли и полчаса тратило на хождение и доставание тетрадей, и потом не оплачивать мое ожидание.

В итоге, здесь я тоже частично пошел навстречу, и согласился за оплату 60 минут, но с условием, что дальнейшие занятия тогда будут либо по 60 минут с соответствующей стоимостью, либо договариваемся на увеличенное время с соответственно увеличенной оплатой.

Договориться на этих условиях удалось, и дальнейшая наша работа была продолжена.

Что касается самого ученика, то этот ученик пока что самый неприятный из всех. Желание слушать и понимать отсутствует напрочь. Когда вырастет, хочет, чтобы родители купили ему квартиру и он будет «работать» ютубером. Проходить стрелялки и выкладывать их для просмотра.

Учеба в школе ему не нужна и ничего ему больше не нравится, кроме как играть в игры на компьютере.

А домашнюю работу по всем предметам за него делает мама (ну, по математике, видимо, эта обязанность должна была лечь на меня).

Такая работа самая неблагодарная для репетитора, ведь всегда приятнее и интереснее учить того, кто этого хочет, а не кого заставляют.

В принципе, в этих двух случаях наше общение перешло бы к конфликту, но нам удалось найти решение.

Поэтому, пост моего негодования по поводу неадекватных клиентов и нашей ссоры откладывается на неопределенное время:)

Источник: pikabu.ru

Выдающегося немецкого математика Карла Фридриха Гаусса (1777-1855) современники называли «королём математики».

GaussЕщё в раннем  детстве он проявлял незаурядные математические способности. В возрасте трех лет Гаусс уже исправлял счета отца.

Рассказывают, что в начальной школе, где учился Гаусс (6 лет), учитель, чтобы занять класс на продолжительное время самостоятельной работой, дал задание ученикам вычислить сумму всех натуральных чисел от 1 до 100. Маленький Гаусс ответил на вопрос почти мгновенно, чем невероятно удивил всех и, прежде всего, учителя.

Давайте попробуем  устно решить задачу о нахождении суммы указанных выше чисел. Для начала возьмём сумму чисел от 1 до 10.

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10.

Гаусс обнаружил, что 1 + 10 = 11, и 2 + 9 = 11, и так далее. Он определил, что при сложений натуральных чисел от 1 до 10 получается 5 таких пар, и что 5 раз по 11 равно 55.

Гаусс увидел, что сложение чисел всего ряда следует проводить попарно, и составил алгоритм быстрого сложения чисел от 1 до 100.

1 2 3 4 5 6 7 8 … 49 50 51 52 … 94 95 96 97 98 99 100

1. Необходимо подсчитать количество пар чисел в последовательности от 1 до 100. Получаем 50 пар.

2. Складываем первое и последнее числа всей последовательности. В нашем случае это 1 и 100. Получаем 101.

3. Умножаем количество пар чисел в последовательности на полученную в пункте 2 сумму. Получаем 5050.

Таким образом, сумма натуральных чисел от 1 до 100 равна 5050.

Гаусс использовал новый метод для сложения натуральных чисел, который в последствие приобрёл широкую популярность и до сих пор используется при устном счёте.

Наш сайт предлагает школьникам реальную помощь при решении задач по математике, физике и химии. Вам необходим только компьютер  с  доступом  в интернет и стандартный  браузер. Решение задач на сайте происходит в режиме онлайн. Чтобы получить помощь, Вам не придётся ждать, наши репетиторы всегда на связи.

Во время занятий онлайн преподаватель решит задачу вместе с Вами и подробно объяснит все произведённые вычисления. Решив одну задачу с нашим онлайн репетитором, Вы сможете самостоятельно решать аналогичные.

Наши онлайн репетиторы могут проверить Ваше решение задач. Для этого Вам необходимо поместить на интерактивную классную доску свой вариант решения, и наши профессиональные педагоги по математике, физике и химии в реальном времени ответят на все Ваши вопросы, укажут на допущенные ошибки и при необходимости расскажут, что нужно исправить.

© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Источник: blog.tutoronline.ru


You May Also Like

About the Author: admind

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Этот сайт использует Akismet для борьбы со спамом. Узнайте, как обрабатываются ваши данные комментариев.