Коэффициент пропорциональности g


коэффициент пропорциональности или коэффициент пропорциональности — это число, которое будет указывать, насколько второй объект изменяется по отношению к изменению, которому подвергается первый объект..

Например, если говорится, что длина лестницы составляет 2 метра, а тень, которую она проецирует, составляет 1 метр (коэффициент пропорциональности равен 1/2), то если лестница уменьшается до длины 1 метра , тень будет пропорционально уменьшать свою длину, следовательно, длина тени будет 1/2 метра.

Коэффициент пропорциональности g

Если, с другой стороны, лестница увеличивается до 2,3 метра, тогда длина тени будет 2,3 * 1/2 = 1,15 метра..

Пропорциональность — это постоянная связь, которая может быть установлена ​​между двумя или более объектами, так что если один из объектов претерпевает некоторые изменения, то другие объекты также претерпевают изменения.

Например, если мы скажем, что два объекта пропорциональны по длине, мы получим, что если один объект увеличивает или уменьшает свою длину, то другой объект также пропорционально увеличивает или уменьшает свою длину..

Коэффициент пропорциональности


Коэффициент пропорциональности, как показано в примере выше, является константой, на которую необходимо умножить величину, чтобы получить другую величину.

В предыдущем случае коэффициент пропорциональности составлял 1/2, поскольку лестница «x» имела размеры 2 метра, а тень «y» — 1 метр (половину). Следовательно, оно должно быть y = (1/2) * x.

Поэтому, когда «х» меняется, то «и» тоже меняется. Если «y» — это то, что изменяется, то «x» также будет меняться, но коэффициент пропорциональности будет другим, в этом случае он будет равен 2.

Пропорциональность упражнений

Первое упражнение

Хуан хочет приготовить торт для 6 человек. Рецепт, который Хуан говорит, что торт несет 250 г муки, 100 г сливочного масла, 80 г сахара, 4 яйца и 200 мл молока..

Прежде чем приступить к приготовлению торта, Хуан понял, что у него есть рецепт торта для 4 человек. Какими должны быть величины, которые Джон должен использовать?

решение

Здесь пропорциональность следующая:

4 человека — 250 г муки — 100 г сливочного масла — 80 г сахара — 4 яйца — 200 мл молока

6 человек -?


Коэффициент пропорциональности в этом случае равен 6/4 = 3/2, что можно понять, как если бы оно сначала делилось на 4 для получения ингредиентов на человека, а затем умножалось на 6, чтобы сделать торт для 6 человек..

Когда вы умножаете все количества на 3/2, получается, что для 6 человек ингредиенты:

6 человек — 375 г муки — 150 г сливочного масла — 120 г сахара — 6 яиц — 300 мл молока.

Второе упражнение

Два автомобиля идентичны, за исключением шин. Радиус шины транспортного средства равен 60 см, а радиус шины второго транспортного средства равен 90 см..

Если после выполнения тура у вас количество кругов, которые дали шины с наименьшим радиусом, составляло 300 кругов. Сколько кругов сделали шины с наибольшим радиусом?

решение

В этом упражнении константа пропорциональности равна 60/90 = 2/3. Таким образом, если меньшие радиопокрышки дали 300 кругов, то шины с большим радиусом дали 2/3 * 300 = 200 кругов..

Третье упражнение

Известно, что 3 рабочих за 5 часов покрасили стену площадью 15 квадратных метров. Сколько могут рисовать 7 рабочих за 8 часов??

решение

Данные, представленные в этом упражнении:

3 рабочих — 5 часов — 15 м² стены

и то, что спрашивают, это:

7 рабочих — 8 часов -? м² стены.

Во-первых, вы можете спросить: сколько бы 3 рабочих нарисовали за 8 часов? Чтобы знать это, строка данных, представленная коэффициентом пропорциональности 8/5, умножается. Это дает в результате:


3 рабочих — 8 часов — 15 * (8/5) = 24 м² стены.

Теперь мы хотим знать, что произойдет, если число рабочих увеличится до 7. Чтобы узнать, какой эффект это дает, умножьте количество окрашенных стен на коэффициент 7/3. Это дает окончательное решение:

7 рабочих — 8 часов — 24 * (7/3) = 56 м² стены.

ссылки

  1. Cofré, A. & Tapia, L. (1995). Как разработать математическое логическое мышление. Университет Редакция.
  2. РАСШИРЕННАЯ ФИЗИКА ТЕЛЕТРАСПОРТ. (2014). Эду НаСЗ.
  3. Джанколи, Д. (2006). Физический том I. Пирсон Образование.
  4. Эрнандес, J. d. (Н.Д.). Тетрадь математики. порог.
  5. Хименес, Ж., Рофригес, М. & Эстрада, Р. (2005). Математика 1 сен. порог.
  6. Нойхаузер, C. (2004). Математика для науки. Пирсон Образование.
  7. Peña, M.D. & Muntaner, A.R. (1989). Физическая химия. Пирсон Образование.
  8. Сеговия, Б. Р. (2012). Математические занятия и игры с Мигелем и Люсией. Балдомеро Рубио Сеговия.
  9. Tocci, R.J. & Widmer, N.S. (2003). Цифровые системы: принципы и приложения. Пирсон Образование.

Источник: ru.thpanorama.com

  • Главная
  • Справочник
  • Законы
  • Закон всемирного тяготения

Исаак Ньютон выдвинул предположение, что между любыми телами в природе существуют силы взаимного притяжения. Эти силы называют силами гравитации или силами всемирного тяготения. Сила несмирного тяготения проявляется в космосе, Солнечной системе и на Земле.

Закон всемирного тяготения между любыми материальными точками существует сила взаимного притяжения, прямо пропорциональная произведению их масс и обратно пропорциональная квадрату расстояния между ними, действующая по линии, соединяющей эти точки

между любыми материальными точками существует сила взаимного притяжения, прямо пропорциональная произведению их масс и обратно пропорциональная квадрату расстояния между ними, действующая по линии, соединяющей эти точки

Ньютон обобщил законы движения небесных тел и выяснил, что сила ( F ) равна:

[ F = G dfrac{m_1 m_2}{R^2} ]

где ( m_1 ) и ( m_2 ) — массы взаимодействующих тел, ( R ) — расстояние между ними, ( G ) — коэффициент пропорциональности, который называется гравитационной постоянной. Численное значение гравитационной постоянной опытным путем определил Кавендиш, измеряя силу взаимодействия между свинцовыми шарами.


Физический смысл гравитационной постоянной вытекает из закона всемирного тяготения. Если (m_1 = m_2 = 1 text{кг} ), ( R = 1 text{м} ), то ( G = F ), т. е. гравитационная постоянная равна силе, с которой притягиваются два тела по 1 кг на расстоянии 1 м.

Численное значение:

( G = 6,67 cdot{} 10^{-11} Н cdot{} м^2/ кг^2 ) .

Силы всемирного тяготения действуют между любыми телами в природе, но ощутимыми они становятся при больших массах (или если хотя бы масса одного из тел велика). Закон же всемирного тяготения выполняется только для материальных точек и шаров (в этом случае за расстояние принимается расстояние между центрами шаров).

Сила тяжести

Частным видом силы всемирного тяготения является сила притяжения тел к Земле (или к другой планете). Эту силу называют силой тяжести. Под действием этой силы все тела приобретают ускорение свбодного падения.

Сила тяжести – это сила, с которой Земля притягивает тело, находящееся на её поверхности или вблизи этой поверхности.

Сила тяжести – это сила, с которой Земля притягивает тело, находящееся на её поверхности или вблизи этой поверхности.

В соответствии со вторым законом Ньютона ( g = F_Т /m ) , следовательно, ( F_T = mg ) .

Если M – масса Земли, R – ее радиус, m – масса данного тела, то сила тяжести равна

( F = G dfrac{M}{R^2}m = mg ) .

Сила тяжести всегда направлена к центру Земли. В зависимости от высоты ( h ) над поверхностью Земли и географической широты положения тела ускорение свободного падения приобретает различные значения. На поверхности Земли и в средних широтах ускорение свободного падения равно 9,831 м/с2.

Вес тела

В технике и быту широко используется понятие веса тела.


Весом тела называют силу, с которой тело давит на опору или подвес в результате гравитационного притяжения к планете

Весом тела называют силу, с которой тело давит на опору или подвес в результате гравитационного притяжения к планете.

Вес тела обозначается ( P ). Единица веса — ньютон (Н). Так как вес равен силе, с которой тело действует на опору, то в соответствии с третьим законом Ньютона по величине вес тела равен силе реакции опоры. Поэтому, чтобы найти вес тела, необходимо определить, чему равна сила реакции опоры.

При этом предполагается, что тело неподвижно относительно опоры или подвеса.

Вес тела и сила тяжести отличаются по своей природе: вес тела является проявлением действия межмолекулярных сил, а сила тяжести имеет гравитационную природу.

Состояние тела, в котором его вес равен нулю, называют невесомостью. Состояние невесомости наблюдается в самолете или космическом корабле при движении с ускорением свободного падения независимо от направления и значения скорости их движения. За пределами земной атмосферы при выключении реактивных двигателей на космический корабль действует только сила всемирного тяготения. Под действием этой силы космический корабль и все тела, находящиеся в нем, движутся с одинаковым ускорением, по¬этому в корабле наблюдается состояние невесомости.


Источник: calcsbox.com

Работы Ньютона

Примечательно, что в трудах Ньютона (1684—1686) гравитационная постоянная в явном виде отсутствовала, как и в записях других ученых аж до конца XVIII-го века.


Ранее использовался так называемый гравитационный параметр, который равнялся произведению гравитационной постоянной на массу тела. Нахождение такого параметра в то время было более доступно, поэтому на сегодняшний день значение гравитацио.


#1085;о известно, нежели порознь значение гравитационной постоянной и массы тела.

µ = GM

Здесь: µ — гравитационный параметр, G – гравитационная постоянная, а M — масса объекта.


Размерность гравитационного параметра — м3с−2.

Следует отметить тот факт, что значение гравитационной постоянной несколько варьируется даже до сегодняшнего дня, а чистое значение масс космических тел в то время было определить довольно сложно, поэтому гравитационный параметр нашел более широкое применение.

Эксперимент Кавендиша

Эксперимент по определению точного значения гравитационной постоянной впервые предложил английский естествоиспытатель Джон Мичелл, который сконструировал крутильные весы. Однако, не успев провести эксперимент, в 1793-м году Джон Мичелл умер, а его установка перешла в руки Генри Кавендишу – британскому физику. Генри Кавендиш улучшил полученное устройство и провел опыты, результаты которых были опубликованы в 1798-м году в научном журнале под названием «Философские труды Королевского общества».

Установка для проведения эксперимента состояла из нескольких элементов. Прежде всего она включала 1,8-метровое коромысло, к концам которого крепились свинцовые шарики с массой 775 г и диаметром 5 см. Коромысло было подвешено на медной 1-метровой нити. Несколько выше крепления нити, ровно над ее осью вращения устанавливалась еще одна поворотная штанга, к концам которой жестко крепились два шара массой 49,5 кг и диаметром 20 см. Центры всех четырех шаров должны были лежать в одной плоскости. В результате гравитационного взаимодействия притяжение малых шаров к большим должно быть заметно. При таком притяжении нить коромысла закручивается до некоторого момента, и ее сила упругости должна равняться силе тяготения шаров. Генри Кавендиш измерял силу тяготения посредством измерения угла отклонения плеча коромысла.

 

Более наглядное описание эксперимента доступно в видео ниже:

Для получения точного значения константы Кавендишу пришлось прибегнуть к ряду мер, снижающих влияние сторонних физических факторов на точность эксперимента. В действительности Генри Кавендиша проводил эксперимент не для того, чтобы выяснить значение гравитационной постоянной, а для расчета средней плотности Земли. Для этого он сравнивал колебания тела, вызванные гравитационным возмущением шара известной массы, и колебания, вызванные тяготением Земли. Он достаточно точно вычислил значение плотности Земли – 5,47 г/см3 (сегодня более точные расчеты дают 5,52 г/см3). Согласно различным источникам, значение гравитационной постоянной, высчитанное из гравитационного параметра с учетом плотности Земли, полученной Кавердишем, составило G=6,754·10−11 м³/(кг·с²), G = 6,71·10−11м³/(кг·с²) или G = (6,6 ± 0,04)·10−11м³/(кг·с²). До сих пор неизвестно, кто впервые получил численное значение постоянной Ньютона из работ Генри Кавердиша.

Измерение гравитационной постоянной

Наиболее раннее упоминание гравитационной постоянной, как отдельной константы, определяющей гравитационное взаимодействие, найдено в «Трактате по механике», написанном в 1811-м году французским физиком и математиком — Симеоном Дени Пуассоном.

Измерение гравитационной постоянной проводится различными группами ученых и по сей день. При этом, несмотря на обилие доступных исследователям технологий, результаты экспериментов дают различные значения данной константы. Из этого можно было бы сделать вывод, что, возможно, гравитационная постоянная на самом деле непостоянная, а способна менять свое значение, с течением времени или от места к месту. Однако, если значения константы по результатам экспериментов разнятся, то неизменность этих значений в рамках этих экспериментов уже проверена с точностью до 10-17. Кроме того, согласно астрономическим данным постоянная G не изменилась в значительной степени за несколько последних сотен миллионов лет. Если постоянная Ньютона и способна меняться, то ее изменение не превысило б отклонение на число 10-11 – 10-12 в год.

Примечательно, что летом 2014-го года совместно группа итальянских и нидерландских физиков провели эксперимент по измерению гравитационной постоянной совсем иного вида. В эксперименте использовались атомные интерферометры, которые позволяют отследить влияние земной гравитации на атомы. Значение константы, полученное таким образом, имеет погрешность 0,015% и равняется G = 6.67191(99) × 10−11 м3·с−2·кг−1.

 

Источник: SpaceGid.com

Чтобы ось гироскопа изменила свое направление в пространстве, необходимо, согласно (19.3), отличие от нуля момента внешних сил. Если момент внешних сил, приложенных к вращающемуся гироскопу, относительно его центра масс отличен от нуля, то наблюдается явление, получившее названиегироскопического эффекта. Оно состоит в том, что под действием пары сил F, приложенной к оси вращающегося гироскопа, ось гироскопа (рис. 33) поворачивается вокруг прямой О3О3, а не вокруг прямой O2O2 , как это казалось бы естественным на первый взгляд (O1O1 и O2O2 лежат в плоскости чертежа, а О3О3 и силы F перпендикулярны ей).

Коэффициент пропорциональности g

Гироскопический эффект объясняется следующим образом. Момент М пары сил F направлен вдоль прямой О2О2. За время dt момент импульса L гироскопа получит приращение dL=Mdt (направление dL совпадает с направлением М) и станет равным L’=L+dL. Направление вектора L’ совпадает с новым направлением оси вращения гироскопа. Таким образом, ось вращения гироскопа повернется вокруг прямой О3О3. Если время действия силы мало, то, хотя момент сил М и велик, изменение момента импульса dL гироскопа будет также весьма малым. Поэтому кратковременное дейст­вие сил практически не приводит к изменению ориентации оси вращения гироскопа в пространстве. Для ее изменения следует прикладывать силы в течение длительного времени.

Если ось гироскопа закреплена подшипниками, то вследствие гироскопического эффекта возникают так называемые гироскопические силы, действующие на опоры, в которых вращается ось гироскопа. Их действие необходимо учитывать при констру­ировании устройств, содержащих быстровращающиеся массивные составные части. Гироскопические силы имеют смысл только во вращающейся системе отсчета и явля­ются частным случаем кориолисовой силы инерции (см. § 27).

Гироскопы применяются в различных гироскопических навигационных приборах (гирокомпас, гирогоризонт и т. д.). Другое важное применение гироскопов — поддер­жание заданного направления движения транспортных средств, например судна (авто­рулевой) и самолета (автопилот) и т. д. При всяком отклонении от курса вследствие каких-то воздействий (волны, порыва ветра и т. д.) положение оси гироскопа в про­странстве сохраняется. Следовательно, ось гироскопа вместе с рамами карданова подвеса поворачивается относительно движущегося устройства. Поворот рам карданова подвеса с помощью определенных приспособлений включает рули управления, которые возвращают движение к заданному курсу.

Впервые гироскоп применен французским физиком Ж. Фуко (1819—1868) для доказательства вращения Земли.

§ 21. Деформации твердого тела

Рассматривая механику твердого тела, мы пользовались понятием абсолютно твердого тела. Однако в природе абсолютно твердых тел нет, так как все реальные тела под действием сил изменяют свою форму и размеры, т. е. деформируются.

Деформация называетсяупругой, если после прекращения действия внешних сил тело принимает первоначальные размеры и форму.Деформации, которые сохраняются в теле после прекращения действия внешних сил, называютсяпластическими (или остаточными). Деформации реального тела всегда пластические, так как они после прекращения действия внешних сил никогда полностью не исчезают. Однако если остаточные деформации малы, то ими можно пренебречь и рассматривать упругие деформации, что мы и будем делать.

В теории упругости доказывается, что все виды деформаций (растяжение или сжатие, сдвиг, изгиб, кручение) могут быть сведены к одновременно происходящим деформациям растяжения или сжатия и сдвига.

Рассмотрим однородный стержень длиной l и площадью поперечного сечения S (рис. 34), к концам которого приложены направленные вдоль его оси силы F1 и F2 (F1=F2=F), в результате чего длина стержня меняется на величину Dl. Естественно, что при растяжении Dl положительно, а при сжатии отрицательно.

Сила, действующая на единицу площади поперечного сечения, называетсянапряже­нием:

Коэффициент пропорциональности g (21.1)

Если сила направлена по нормали к поверхности, напряжение называетсянормальным,если же по касательной к поверхности —тангенциальным.

Количественной мерой, характеризующей степень деформации, испытываемой те­лом, является егоотносительная деформация. Так, относительное изменение длины стержня (продольная деформация)

Коэффициент пропорциональности g (21.2)

относительное поперечное растяжение (сжатие)

Коэффициент пропорциональности g

где d — диаметр стержня.

Деформации e и e’ всегда имеют разные знаки (при растяжении Dl положительно, a Dd отрицательно, при сжатии Dl отрицательно, a Dd положительно). Из опыта вытекает взаимосвязь e и e’:

Коэффициент пропорциональности g

где m положительный коэффициент, зависящий от свойств материала и называемый коэффициентом Пуассона*.

Английский физик Р. Гук (1635—1703) экспериментально установил, что для малых деформаций относительное удлинение e и напряжение s прямо пропорциональны друг другу:

Коэффициент пропорциональности g (21.3)

где коэффициент пропорциональности Е называется модулем Юнга**. Из выражения (21.3) видно, что модуль Юнга определяется напряжением, вызывающим относитель­ное удлинение, равное единице.

Из формул (21.2), (21.3) и (21.1) вытекает, что

Коэффициент пропорциональности g

или

Коэффициент пропорциональности g (21.4)

где k—коэффициент упругости. Выражение (21.4) также задает закон Гука, согласно которому удлинение стержня при упругой деформации пропорционально действующей на стержень силе.

* С. Пуассон (1781—1840) — французский ученый.

** Т. Юнг (1773—1829) — английский ученый.

Коэффициент пропорциональности g

Деформации твердых тел подчиняются закону Гука до известного предела. Связь между деформацией и напряжением представляется в виде диаграммы напряжений, качественный ход которой мы рассмотрим для металлического образца (рис. 35). Из рисунка видно, что линейная зависимость s(e), установленная Гуком, выполняется лишь в очень узких пределах до так называемогопредела пропорциональности (sп). При дальнейшем увеличении напряжения деформация еще упругая (хотя зависимость s(e) уже нелинейна) и допредела упругости (sу) остаточные деформации не возникают. За пределом упругости в теле возникают остаточные деформации и график, описывающий возвращение тела в первоначальное состояние после прекращения действия силы, изобразится не кривой ВО, а параллельной ей — CF. Напряжение, при котором появляется заметная остаточная деформация (»0,2%), называетсяпределом текучести(sт) — точка С на кривой. В области CD деформация возрастает без увеличения напряжения, т. е. тело как бы «течет». Эта область называетсяобластью текучести (или областью пластических деформаций). Материалы, для которых область текучести зна­чительна, называются вязкими, для которых же она практически отсутствует —хруп­кими. При дальнейшем растяжении (за точку D) происходит разрушение тела. Мак­симальное напряжение, возникающее в теле до разрушения, называетсяпределом прочности (sр).

Диаграмма напряжений для реальных твердых тел зависит от различных факторов. Одно и то же твердое тело может при кратковременном действии сил проявлять себя как хрупкое, а при длительных, но слабых силах является текучим.

Вычислим потенциальную энергию упругорастянутого (сжатого) стержня, которая равна работе, совершаемой внешними силами при деформации:

Коэффициент пропорциональности g

где х — абсолютное удлинение стержня, изменяющееся в процессе деформации от 0 до Dl. Согласно закону Гука (21.4), F=kx=ESx/l. Поэтому

Коэффициент пропорциональности g

т. е. потенциальная энергия упругорастянутого стержня пропорциональна квадрату деформации (Dl)2.

Коэффициент пропорциональности g

Деформацию сдвига проще всего осуществить, если взять брусок, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда, и приложить к нему силу Ft , (рис. 36), касательную к его поверхности (нижняя часть бруска закреплена неподвижно). Относительная деформация сдвига определяется из формулы

Коэффициент пропорциональности g

где Ds — абсолютный сдвиг параллельных слоев тела относительно друг друга; h — расстояние между слоями (для малых углов tgg»g).

Задачи

4.1. С одного уровня наклонной плоскости одновременно начинают скатываться без скольжения сплошные цилиндр и шар одинаковых масс и одинаковых радиусов. Определить: 1) отноше­ние скоростей цилиндра и шара на данном уровне; 2) их отношение в данный момент време­ни. [1) 14/15; 2) 14/15]

4.2. К ободу однородного сплошного диска радиусом R=0,5 м приложена постоянная касатель­ная сила F=100 H. При вращении диска на него действует момент сил трения М=2 Н×м. Определить массу m диска, если известно, что его угловое ускорение в постоянно и равно 12 рад/с2. [32 кг]

4.3. Через неподвижный блок в виде однородного сплошного цилиндра массой m=1 кг перекину­та невесомая нить, к концам которой прикреплены тепа массами m1=1 кг и m2=2 кг. Прене­брегая трением в оси блока, определить: 1) ускорение грузов; 2) отношения Т21 сил на­тяжения нити. [1) 2,8 м/с2; 2) 1,11]

4.4. Скорость вращения колеса, момент инерции которого 2 кг×м2, вращающегося при торможении равнозамедленно, за время t=1 мин уменьшилась от n1=300 мин–1 до n2=180 мин–1. Определить: 1) угловое ускорение e колеса; 2) момент М силы торможения; 3) работу силы торможения. [1) 0,21 рад/с2; 2) 0,42 Н×м; 3) 630 Дж]

4.5. Человек массой m=80 кг, стоящий на краю горизонтальной платформы массой M=100 кг, вращающейся по инерции вокруг неподвижной вертикальной оси с частотой n1=10 мин–1, переходит к ее центру. Считая платформу круглым однородным диском, а человека —точеч­ной массой, определить, с какой частотой n2 будет тогда вращаться платформа. [26 мин–1]

4.6. Определить относительное удлинение алюминиевого стержня, если при его растяжении затрачена работа 62,1 Дж. Длина стержня 2 м, площадь поперечного сечения 1 мм2, модуль Юнга для алюминия E=69 ГПа. [Dl/l= Коэффициент пропорциональности g =0,03]

Глава 5Тяготение. Элементы теории поля

§ 22. Законы Кеплера. Закон всемирного тяготения

Еще в глубокой древности было замечено, что в отличие от звезд, которые неизменно сохраняют свое взаимное расположение в пространстве в течение столетий, планеты описывают среди звезд сложнейшие траектории. Для объяснения петлеобразного дви­жения планет древнегреческий ученый К. Птоломей (II в. н. э.), считая Землю рас­положенной в центре Вселенной, предположил, что каждая из планет движется по малому кругу (эпициклу), центр которого равномерно движется по большому кругу, в центре которого находится Земля. Эта концепция получила название птоломеевой геоцентрической системы мира.

В начале XVI в. польским астрономом Н. Коперником (1473—1543) обоснована гелиоцентрическая система (см. § 5), согласно которой движения небесных тел объясняются движением Земли (а также других планет) вокруг Солнца и суточным вращением Земли. Теория и наблюдения Коперника воспринимались как занимательная фантазия.

К началу XVII столетия большинство ученых убедилось, однако, в справедливости гелиоцентрической системы мира. И. Кеплер (1571—1630), обработав и уточнив ре­зультаты многочисленных наблюдений датского астронома Т. Браге (1546—1601), изложил законы движения планет:

1. Каждая планета движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце.

2. Радиус-вектор планеты за равные промежутки времени описывает одинаковые площади.

3. Квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся как кубы боль­ших полуосей их орбит.

Впоследствии И. Ньютон, изучая движение небесных тел, на основании законов Кеплера и основных законов динамики открыл всеобщий закон всемирного тяготения: между любыми двумя материальными точками действует сила взаимного притяжения, прямо пропорциональная произведению масс этих точек (m1 и т2) и обратно пропорци­ональная квадрату расстояния между ними (r2):

Коэффициент пропорциональности g (22.1)

Эта сила называется гравитационной (или силой всемирного тяготения). Силы тяготения всегда являются силами притяжения и направлены вдоль прямой, проходящей через взаимодействующие тела. Коэффициент пропорциональности G называется гравитаци­онной постоянной.

Закон всемирного тяготения установлен для тел, принимаемых за материальные точки, т. е. для таких тел, размеры которых малы по сравнению с расстоянием между ними. Если же размеры взаимодействующих тел сравнимы с расстоянием между ними, то эти тела надо разбить на точечные элементы, подсчитать по формуле (22.1) силы притяжения между всеми попарно взятыми элементами, а затем геометрически их сложить (проинтегрировать), что является довольно сложной математической задачей.

Впервые экспериментальное доказательство закона всемирного тяготения для зем­ных тел, а также числовое определение гравитационной постоянной G проведено английским физиком Г. Кавендишем (1731—1810). Принципиальная схема опыта Кавендиша, применившегокрутильные весы, представлена на рис. 37. Легкое коромысло А с двумя одинаковыми шариками массой m=729 г подвешено на упругой нити В. На коромысле С укреплены на той же высоте массивные шары массой M=158 кг. Поворачивая коромысло С вокруг вертикальной оси, можно изменять расстояние между шарами с массами т и М. Под действием пары сил, приложенных к шарам т со стороны шаров М, коромысло А поворачивается в горизонтальной плоскости, закручи­вая нить В до тех пор, пока момент сил упругости не уравновесит момента сил тяготения. Зная упругие свойства нити, по измеренному углу поворота можно найти возникающие силы притяжения, а таккак массы шаров известны, то и вычислить значение G.

Коэффициент пропорциональности g

Значение G, приводимое в таблицах фундаментальных физических постоянных, принимается равным 6,6720×10–11 Н×м/кг2, т. е. два точечных тела массой по 1 кг каждое, находящиеся на расстоянии 1 м друг от друга, притягиваются с силой 6,6720×10–11 H. Очень малая величина G показывает, что сила гравитационного взаимодействия может быть значительной только в случае больших масс.

§ 23. Сила тяжести и вес. Невесомость

На любое тело, расположенное вблизи поверхности Земли, действует сила тяготения F, под влиянием которой и в согласии со вторым законом Ньютона тело начнет двигать­ся с ускорением свободного падения g. Таким образом, в системе отсчета, связанной с Землей, на всякое тело массой т действует сила

Коэффициент пропорциональности g

называемаясилой тяжести.

Согласно фундаментальному физическому закону —обобщенному закону Галилея,все тела в одном и том же поле тяготения падают с одинаковым ускорением. Следова­тельно, в данном месте Земли ускорение свободного падения одинаково для всех тел. Оно изменяется вблизи поверхности Земли с широтой в пределах от 9,780 м/с2 на экваторе до 9,832 м/с2 на полюсах. Это обусловлено суточным вращением Земли вокруг своей оси, с одной стороны, и сплюснутостью Земли — с другой (экваториаль­ный и полярный радиусы Земли равны соответственно 6378 и 6357 км). Так как различие значений g невелико, ускорение свободного падения, которое используется при решении практических задач, принимается равным 9,81 м/с2.

Если пренебречь суточным вращением Земли вокруг своей оси, то сила тяжести и сила гравитационного тяготения равны между собой:

Коэффициент пропорциональности g

где М — масса Земли; R — расстояние между телом и центром Земли. Эта формула дана для случая, когда тело находится на поверхности Земли.

Пусть тело расположено на высоте h от поверхности Земли, R0 радиус Земли, тогда

Коэффициент пропорциональности g

т. е. сила тяжести с удалением от поверхности Земли уменьшается.

В физике применяется также понятие веса тела.Весом тела называют силу, с кото­рой тело вследствие тяготения к Земле действует на опору (или подвес), удержива­ющую тело от свободного падения. Вес тела проявляется только в том случае, если тело движется с ускорением, отличным от g, т. е. когда на тело кроме силы тяжести действуют другие силы. Состояние тела, при котором оно движется только под действием силы тяжести, называется состояниемневесомости.

Таким образом, сила тяжести действует всегда, а вес проявляется только в том случае, когда на тело кроме силы тяжести действуют еще другие силы, вследствие чего тело движется с ускорением а, отличным от g. Если тело движется в поле тяготения Земли с ускорением a¹g, то к этому телу приложена дополнительная сила N, удовлет­воряющая условию

Коэффициент пропорциональности g

Тогдавес тела

Коэффициент пропорциональности g

т. е. если тело покоится или движется прямолинейно и равномерно, то а=0 иP’=mg.Если тело свободно движется в поле тяготения по любой траектории и в любом направлении, тоa=g и Р’=0, т. е. тело будет невесомым. Например, невесомыми являются тела, находящиеся в космических кораблях, свободно движущихся в космосе.

§ 24. Поле тяготения и то напряженность

Закон тяготения Ньютона определяет зависимость силы тяготения от масс взаимодей­ствующих тел и расстояния между ними, но не показывает, как осуществляется это взаимодействие. Тяготение принадлежит к особой группе взаимодействий. Силы тяго­тения, например, не зависят от того, в какой среде взаимодействующие тела находятся. Тяготение существует и в вакууме.

Гравитационное взаимодействие между телами осуществляется с помощью поля тяготения, или гравитационного поля. Это поле порождается телами и является формой существования материи. Основное свойство поля тяготения заключается в том, что на всякое тело массой т, внесенное в это поле, действует сила тяготения, т. е.

Коэффициент пропорциональности g (24.1)

Вектор g не зависит от m и называется напряженностью поля тяготения.Напряженность поля тяготения определяется силой, действующей со стороны поля на материальную точку единичной массы, и совпадает по направлению с действующей силой. Напряжен­ность есть силовая характеристика поля тяготения.

Поле тяготения называетсяоднородным, если его напряженность во всех точках одинакова, ицентральным, если во всех точках поля векторы напряженности направ­лены вдоль прямых, которые пересекаются в одной точке (А), неподвижной по отноше­нию к какой-либо инерциальной системе отсчета (рис. 38).

Для графического изображения силового поля используются силовые линии (линии напряженности). Силовые линии выбираются так, что вектор напряженности поля направлен по касательной к силовой линии.

§ 25. Работа в поле тяготения. Потенциал поля тяготения

Определим работу, совершаемую силами поля тяготения при перемещении в нем материальной точки массой т. Вычислим, например, какую надо затратить работу для удаления тела массой т от Земли. На расстоянии R (рис. 39) на данное тело действует сила

Коэффициент пропорциональности g

При перемещении этого тела на расстояние dR совершается работа

Коэффициент пропорциональности g (25.1)

Знак минус появляется потому, что сила и перемещение в данном случае проти­воположны по направлению (рис. 39).

Коэффициент пропорциональности g

Если тело перемещать с расстояния R1 до R2, то работа

Коэффициент пропорциональности g (25.2)

Из формулы (25.2) вытекает, что затраченная работа в поле тяготения не зависит от траектории перемещения, а определяется лишь начальным и конечным положениями тела, т. е. силы тяготения действительно консервативны, а поле тяготения является потенциальным (см. § 12).

Согласно формуле (12.2), работа, совершаемая консервативными силами, равна изменению потенциальной энергии системы, взятому со знаком минус, т. е.

Коэффициент пропорциональности g

Из формулы (25.2) получаем

Коэффициент пропорциональности g (25.3)

Так как в формулы входит только разность потенциальных энергий в двух состояниях, то для удобства принимают потенциальную энергию при R2®¥ равной нулю ( Коэффициент пропорциональности g П2=0). Тогда (25.3) запишется в виде П1= –GmM/R1. Так как первая точка была выбрана произвольно, то

Коэффициент пропорциональности g

Величина

Коэффициент пропорциональности g

является энергетической характеристикой поля тяготения и называется потенциалом. Потенциал поля тяготения j — скалярная величина, определяемая потенциальной энер­гией тела единичной массы в данной точке поля или работой по перемещению единичной массы из данной точки поля в бесконечность. Таким образом, потенциал поля тяготения, создаваемого телом массой М, равен

Коэффициент пропорциональности g (25.4)

где R — расстояние от этого тела до рассматриваемой точки.

Из формулы (25.4) вытекает, что геометрическое место точек с одинаковым потен­циалом образует сферическую поверхность (R=const). Такие поверхности, для которых потенциал постоянен, называютсяэквипотенциальными.

Рассмотрим взаимосвязь между потенциалом (j) поля тяготения и его напряжен­ностью (g). Из выражений (25.1) и (25.4) следует, что элементарная работа dA, совершаемая силами поля при малом перемещении тела массой т, равна

Коэффициент пропорциональности g

Коэффициент пропорциональности g

С другой стороны, dA=Fdl (dl — элементарное перемещение). Учитывая (24.1), полу­чаем, что dA=mgdl, т. е. mg0l= —mdj, или

Коэффициент пропорциональности g

Величина dj/dl характеризует изменение потенциала на единицу длины в направлении перемещения в поле тяготения. Можно показать, что

Коэффициент пропорциональности g (25.5)

где Коэффициент пропорциональности g — градиент скаляра j (см. (12.5)). Знак минус в формуле (25.5) показывает, что вектор напряженности g направлен в сторону убывания по­тенциала.

В качестве частного примера, исходя из представлений теории тяготения, рассмот­рим потенциальную энергию тела, находящегося на высоте h относительно Земли:

Коэффициент пропорциональности g

где R0 радиус Земли. Так как

Коэффициент пропорциональности g (25.6)

то, учитывая условие h<<R0, получаем

Коэффициент пропорциональности g

Таким образом, мы вывели формулу, совпадающую с (12.7), которая постулировалась раньше.

§ 26. Космические скорости

Для запуска ракет в космическое пространство надо в зависимости от поставленных целей сообщать им определенные начальные скорости, называемые космическими.

Первой космической (иликруговой) скоростью v1 называют такую минимальную скорость, которую надо сообщить телу, чтобы оно могло двигаться вокруг Земли по круговой орбите, т. е. превратиться в искусственный спутник Земли. На спутник, движущийся по круговой орбите радиусом r, действует сила тяготения Земли, сооб­щающая ему нормальное ускорение v Коэффициент пропорциональности g /r. По второму закону Ньютона,

Коэффициент пропорциональности g

Если спутник движется вблизи поверхности Земли, тогда r»R0 (радиус Земли) и g=GM/R Коэффициент пропорциональности g (см. (25.6)), поэтому у поверхности Земли

Коэффициент пропорциональности g

Первой космической скорости недостаточно для того, чтобы тело могло выйти из сферы земного притяжения. Необходимая для этого скорость называется второй космической. Второй космической (или параболической) скоростью v2 называют ту наименьшую скорость, которую надо сообщить телу, чтобы оно могло преодолеть притяжение Земли и превратиться в спутник Солнца, т. е. чтобы его орбита в поле тяготения Земли стала параболической. Для того чтобы тело (при отсутствии со­противления среды) могло преодолеть земное притяжение и уйти в космическое пространство, необходимо, чтобы его кинетическая энергия была равна работе, совер­шаемой против сил тяготения:

Коэффициент пропорциональности g

откуда

Коэффициент пропорциональности g

Третьей космической скоростью v3 называют скорость, которую необходимо сооб­щить телу на Земле, чтобы оно покинуло пределы Солнечной системы, преодолев притяжение Солнца. Третья космическая скорость v3=16,7 км/с. Сообщение телам таких больших начальных скоростей является сложной технической задачей. Ее первое теоретическое осмысление начато К. Э. Циолковским, им была выведена уже рассмот­ренная нами формула (10.3), позволяющая рассчитывать скорость ракет.

Впервые космические скорости были достигнуты в СССР: первая — при запуске первого искусственного спутника Земли в 1957 г., вторая — при запуске ракеты в 1959 г. После исторического полета Ю. А. Гагарина в 1961 г. начинается бурное развитие космонавтики.

§ 27. Неинерциальные системы отсчета. Силы инерции

Как уже отмечалось (см. § 5, 6), законы Ньютона выполняются только в инерциальных системах отсчета. Системы отсчета, движущиеся относительно инерциальной системы с ускорением, называютсянеинерциальными. В неинерциальных системах законы Нью­тона, вообще говоря, уже несправедливы. Однако законы динамики можно применять и для них, если кроме сил, обусловленных воздействием тел друг на друга, ввести в рассмотрение силы особого рода — так называемыесилы инерции.

Источник: studopedia.ru


You May Also Like

About the Author: admind

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Этот сайт использует Akismet для борьбы со спамом. Узнайте как обрабатываются ваши данные комментариев.