Фрактальная размерность орбит галактики


космос, черная дыра, вселенная, космология Фракталы легко превращаются в искусство, не имеющее научного объяснения. Зато – какой простор для интерпретаций! Фото из книги: Х.-О. Пайеген, П.Х. Рихтер. «Красота фракталов», 1993

10 апреля 2019 года Национальным научным фондом США была впервые опубликована фотография черной дыры, полученная усилиями ученых многих стран. Под «объектив фотокамеры» попала сверхмассивная черная дыра в центре галактики Messier 87, расположенной на расстоянии 54 млн световых лет от Земли. Теперь мы знаем, как выглядят черные дыры снаружи. А вот как они выглядят изнутри, по-прежнему неизвестно.

Высказывания астрофизиков на этот счет противоречивы. С одной стороны, они утверждают, что постичь внутреннее устройство этих объектов трудно или вообще невозможно. С другой стороны, они высказывают о внутренней геометрии черных дыр вполне конкретные соображения: в центре черных дыр находится гравитационная сингулярность, в которой с пространством-временем происходят всякие чудеса, а вне ее внутри черной дыры – пустота; все попавшее внутрь черной дыры неудержимо падает в сингулярность, разрушаясь по дороге чудовищными градиентами гравитации.


Ниже приведены некоторые соображения в пользу той гипотезы, что черные дыры устроены совсем не так, как полагают астрофизики. Главная идея – окружающий нас космос (наша метагалактика) сам является гигантской черной дырой. Но только при условии, если справедлива гипотеза о фрактальности Вселенной. Я уже писал об этом в «НГ-науке» (см. номер от 13.10.04). Однако с тех пор в астрономии были сделаны открытия, резко поднявшие статус гипотезы о фрактальности Вселенной и тем изменившие космологическую картину мира.

Гипотеза об однородности Вселенной

На рубеже 1920–1930-х годов было установлено, что все наблюдаемые нами галактики удаляются друг от друга со скоростью, пропорциональной расстоянию между ними (закон Хаббла). Мысленно обратив космическое расширение назад во времени, можно прийти к выводу, что наблюдаемый мир около 13,8 млрд лет назад претерпел Большой взрыв и с тех пор расширяется. Так как никакой сигнал не может распространяться быстрее света, то события, происходящие вне сферы радиусом 13,8 млрд световых лет, в принципе не могут нами наблюдаться.

Сферу радиусом 13,8 млрд световых лет, внутри которой находится весь наблюдаемый мир, называют горизонтом видимости, а весь материальный мир внутри и снаружи горизонта видимости – Вселенной.


Наблюдаемый нами мир часто называют метагалактикой. Так иногда будем делать и мы, хотя это не совсем корректно. Ведь метагалактики – это относительно компактные космические макроструктуры, отделенные друг от друга расстояниями, многократно превышающими их собственные размеры.

Между тем радиус горизонта видимости определяется не законами формирования компактных космических макроструктур, а совсем другим – временем, прошедшим после начала Большого взрыва. Размеры нашей метагалактики могут существенно превышать размеры наблюдаемого мира, да и сферической ей быть совсем не обязательно.

Как видим, космология, изучающая Вселенную в целом, начисто лишена эмпирической базы. Это ее отличает от других естественных наук. Все наши утверждения о Вселенной – это домыслы или гипотезы. Что замечательно, это не мешает космологам то и дело уверенно говорить о расширении Вселенной, Большом взрыве, возрасте Вселенной и т.д. Эта их уверенность неявно базируется на гипотезе об однородности Вселенной: для такой Вселенной часть (наблюдаемый мир) и на самом деле подобна целому (Вселенной). Если, однако, Вселенная устроена фрактально, то ее часть может существенно отличаться от целого. В этом случае мы будем иметь кардинальное изменение космологической картины мира.

Похоже, это и происходит на наших глазах. Астрономические наблюдения последних лет заставляют нас перейти к гипотезе о фрактальности Вселенной как более правдоподобной. И все-таки она неоднородная!


Гипотеза об однородности Вселенной – простейшая из возможных гипотез об ее устройстве. Ее выдвижение было закономерным и корректным (принцип экономии сущностей). С самого начала, однако, она вступила в противоречие с наблюдательными данными, говорящими о крайне неоднородном устройстве космического мира вокруг нас. Питаемые здоровым консерватизмом, свойственным всем нормальным людям, космологи принялись спасать гипотезу об однородности Вселенной, заменив ее гипотезой о МАКРОоднородности Вселенной, говорящей, что она (Вселенная) неоднородна якобы только на небольших масштабах, тогда как на расстояниях около или более 300 млн световых лет она однородна.

Интерес к проблеме однородности/неоднородности Вселенной был разогрет независимым открытием на рубеже 1970–1980-х годов эстонской и американской группами исследователей в пространственном распределении галактик ячеистых структур с расстоянием между стенками ячеек около 390 млн световых лет и толщиной стенок около 12 млн световых лет. Однако и после этого открытия космологи не отказались от гипотезы о макрооднородности Вселенной, направив свои усилия на возможно более точное установление верхнего порога масштабов, за которым неоднородное распределение галактик становится однородным. Это потребовало составления трехмерных карт распределения галактик на возможно бoльшую глубину, желательно до самого горизонта видимости и с возможно более широким обзором неба.


Перелом произошел в последние 10–15 лет, когда были открыты гигантские космические структуры, которые представляют собой скопления галактик и квазаров (светящихся ядер галактик), размеры которых вполне сравнимы с радиусом горизонта видимости (около 13,8 млрд световых лет). Укажем четыре таких объекта с их размерами:

– Великая стена Слоуна (2003), около 1,38 млрд световых лет; расстояние от Земли около 1,2 млрд световых лет;

– Громадная группа квазаров (2012), около 4 млрд световых лет; расстояние от Земли около 9 млрд световых лет;

– Великая стена Геркулес – Северная Корона (2014), более 10 млрд световых лет; расстояние от Земли около 10 млрд световых лет;

– Гигантская кольцеобразная структура (2015), около 5 млрд световых лет; расстояние от Земли около 7 млрд световых лет.

После их открытия тезис о неоднородности всего наблюдаемого мира приобретает статус подтвержденного эмпирического факта.

Важно, что космические структуры распределены в наблюдаемом мире не только неоднородно, но и фрактально. Это означает, во-первых, что они имеют четко выраженный иерархический характер (звезды – скопления звезд – галактики – скопления галактик и т.д.). И во-вторых, что плотность космических структур быстро падает с их размерами (плотность Солнца равна 1,416 г/см3, нашей Галактики – 10–24 г/см3, всего наблюдаемого мира – 2 х 10–31 г/см3), подчиняясь эмпирическому закону Карпентера: плотность сферического участка космической структуры пропорциональна его радиусу в степени (D–3). Величину D, приблизительно равную здесь 1,23, называют фрактальной размерностью.


Закон Карпентера обеспечивается особым устройством космических структур: расстояния между звездами много больше размеров звезд, расстояния между скоплениями звезд много больше размеров этих скоплений, расстояния между галактиками много больше размеров галактик и т.д.

Таким образом, тезис о фрактальности всего наблюдаемого мира также приобретает на наших глазах статус подтвержденного эмпирического факта. Экстраполируя его на Вселенную, заключаем, что гипотеза о фрактальности Вселенной стала сегодня более правдоподобной, чем гипотеза о ее макрооднородности.

Фрактальная Вселенная – это просто

Полагая Вселенную фрактальной, мы считаем ее еще и бесконечной, делая это по двум соображениям. Во-первых, это предположение – простейшее из возможных для фрактальной Вселенной. Во-вторых, как известно, Альберт Эйнштейн ввел в оборот модель замкнутой Вселенной (от которой он после открытия космического расширения отказался), чтобы избавиться от гравитационной неустойчивости бесконечной Вселенной с отличной от нуля глобальной плотностью. Бесконечная фрактальная Вселенная тем и хороша, что имеет нулевую глобальную плотность: устремляя в законе Карпентера радиус к бесконечности, получаем для плотности нулевое значение. Это снимает проблему ее (Вселенной) гравитационной неустойчивости, так как фрактальная бесконечная Вселенная с ее нулевой глобальной плотностью не может вся ни расширяться, ни сжиматься.


Фрактальная Вселенная устроена чрезвычайно просто. В бесконечном трехмерном глобально плоском (не искривленном гравитацией) пространстве, описываемом специальной теорией относительности, рассеяно бесконечное фрактально организованное множество звезд, галактик, метагалактик и т.д. Составляющие фрактальную Вселенную макросистемы конечных размеров (метагалактики и др.) могут расширяться и сжиматься, как им вздумается, однако из-за глобальной стационарности такой Вселенной все составляющие ее космические системы не могут расширяться или сжиматься одновременно.

Вывод: если Вселенная фрактальна, то она не переживала Большого взрыва, а наблюдаемое нами космическое расширение является результатом Большого взрыва только нашей метагалактики.

Здесь можно опираться на идею «отскока», высказанную космологами в отношении Вселенной. Судя по всему, в прошлом произошло сжатие нашей метагалактики «до упора», заданного известными и неизвестными нам негравитационными механизмами возникновения внутреннего давления, остановившего гравитационный коллапс и обратившего его вспять.

130-12-1_t.jpg
Полагая Вселенную фрактальной, мы считаем ее еще
и бесконечной. Серые Луны имеют такой же ландшафт,
как и на верхнем рисунке. Фото из книги: Х.-О. Пайеген,
П.Х. Рихтер. «Красота фракталов», 1993

Черная дыра – вид изнутри

Взрыв тела конечных размеров – будь то сверхновая звезда или газовый баллон – имеет центр и градиенты расширения (давления, плотности, температуры). У космического расширения ничего подобного не наблюдается: все галактики разбегаются не от какого-то центра, а друг от друга безо всяких перепадов давления, так что все точки наблюдаемого мира в этом отношении равноправны.

Пока мы считали, что Большой взрыв претерпела вся бесконечная Вселенная, отсутствие у нее центра и градиентов расширения могло быть объяснено космологическим принципом, который именно это и утверждает: у бесконечной Вселенной нет выделенных точек и направлений.

Если же мы считаем, полагаясь на гипотезу о фрактальности Вселенной, что наблюдаемый Большой взрыв претерпела только наша метагалактика, то следует признать, что в ее пределах космологический принцип не работает, как не работает он в пределах любой космической системы конечных размеров. Так что отсутствие у космического расширения нашей метагалактики центра и градиентов требует какого-то другого объяснения.

Единственно возможное объяснение этого феномена состоит в том, что наша метагалактика замкнута, будучи черной дырой.


Черные дыры обычно ассоциируют со сверхсжатыми массами. Между тем черной дырой может быть тело со сколь угодно малой плотностью, лишь бы она (плотность) была больше некоторой критической плотности, обратно пропорциональной квадрату радиуса тела.

Оценки показывают, что черная дыра с радиусом наблюдаемого мира может иметь плотность, меньшую плотности воды примерно на 30 порядков (1030). Самое странное, что реальная плотность наблюдаемого мира (2х10–31 г/см3) подозрительно близка к критической, но немного меньше ее. Этот факт хорошо известен, космологи говорят о нем как о проблеме плоскостности Вселенной. Применительно к нашей метагалактике этот факт говорит другое – оценки плотности материи в пределах наблюдаемого мира не противоречат тезису о том, что наша метагалактика замкнута в черную дыру.

На мой взгляд, нет оснований полагать, что внутренняя геометрия замкнутых космических систем конечного размера (черных дыр) сколько-нибудь существенно отличается от геометрии Вселенной в предположении ее замкнутости. Между тем о геометрии замкнутой Вселенной космологами выработаны достаточно определенные представления. Ее пространство, говорят нам, будучи конечным по объему, безгранично, так что луч света, движущийся в ней в определенном направлении, описав огромный круг, возвращается в исходную точку. Из-за безграничности предстающего перед наблюдателем пространства он не только не обнаружит в замкнутой Вселенной выделенного центра, но и все ее точки окажутся равноправными.


Обычному человеку трудно представить себе замкнутое трехмерное пространство. Трудно это дается и профессиональным космологам. Как свидетельствуют, например, наши выдающиеся физики Яков Зельдович и Игорь Новиков в книге «Строение и эволюция Вселенной», «наглядно представить себе замкнутую Вселенную невозможно». Чтобы облегчить себе жизнь, космологи часто используют аналогию трехмерного замкнутого безграничного пространства с двухмерной поверхностью трехмерной сферы – в обоих случаях пространство конечно (по объему или по площади), но не имеет границ.

Чтобы представить себе внутреннюю геометрию черной дыры, прибегнем к этой аналогии и мы, приложив ее к нашей метагалактике. Мысленно поместим на поверхность расширяющейся трехмерной сферы (надуваемого воздушного шарика или расширяющейся Земли) двухмерный газ взаимодействующих точек, имитирующий трехмерный газ звезд и галактик.

Если эти взаимодействия удачно имитируют реальные, то подобно тому, что мы видим в наблюдаемом мире, точки на нашей сфере будут образовывать фрактальные структуры. Из-за симметрии задачи газ на двухмерной сферической поверхности не будет иметь выделенных точек и направлений, оставаясь изотропным в каждой точке. По мере расширения сферы плотность газа на ее поверхности уменьшается, точки разбегаются, не имея центра и градиентов расширения. Все это, только в трехмерном пространстве, мы и наблюдаем в нашей метагалактике.


Сказанное доказывает, как мне представляется, в предположении справедливости гипотезы о фрактальности Вселенной, замкнутость нашей метагалактики, являющейся, таким образом, черной дырой. Другого объяснения отсутствия у нашей метагалактики центра и градиентов расширения я не вижу.

Таким образом, если справедлива гипотеза о фрактальности Вселенной и если, как следствие, наша метагалактика является черной дырой, то высказываемые космологами соображения о внутреннем устройстве черных дыр несостоятельны: в центре черных дыр НЕ находится сингулярность, а вне центра черных дыр – НЕ пустота; находящиеся внутри черной дыры тела НЕ падают неудержимо в ее сингулярность, разрушаясь градиентами гравитации.

Судя по нашей метагалактике, внутри черных дыр все устроено иначе. Они заполнены фрактально распределенной материей, которая расширяется, если расширяется черная дыра, или сжимается – в противном случае. У содержимого черной дыры отсутствуют при этом центр и градиенты расширения или сжатия.

Возможно, так, как здесь описано, устроены только очень большие, то есть очень разреженные, черные дыры. Небольшие, то есть с большой степенью сжатия, черные дыры, быть может, устроены иначе. Не в том плане, что в их центре находится сингулярность, за пределами которой пустота. Вопрос, на мой взгляд, состоит только в том, остается ли распределение вещества внутри черных дыр при большом сжатии фрактальным или же в них распределение вещества однородно, а фрактальность возникает с расширением черных дыр. 

Источник: www.ng.ru

«Главной целью всех исследований внешнего мира должно быть открытие рационального порядка и гармонии»

Иоганн Кеплер

Фрактальная размерность орбит галактики

Всё бесконечно. Вселенная бесконечна так же, как бесконечен фрактал. Земля вращается вокруг Солнца. Солнце движется вокруг центра Галактики, выполняя полный оборот за 220 млн. лет. Галактика вращается вокруг огромных размеров чёрной дырыСтрельца А. От Земли до центра Галактики почти 30 тысяч световых лет. Сколько бы мы ни приближались к центру, сколько бы ни отдалялись от него — фрактал будет оставаться подобным себе. Вселенная состоит из бесконечного числа вложенных фрактальных уровней материи с подобными друг другу характеристиками.

Фрактальная размерность орбит галактики

Открытая Бенуа Мандельбротом фрактальная геометрия описывает упорядоченный хаос природы и демонстрирует принцип бесконечного вложения самоподобных структур друг в друга на основе простых математических соотношений.

Фрактал (от лат. fractus, «сломанный, разбитый») — это бесконечно самоподобная геометрическая фигура, каждый фрагмент которой повторяется при уменьшении масштаба.

Фрактальная размерность орбит галактики

Действительно ли Вселенная бесконечна или просто очень велика? Есть ли у Вселенной центр? Есть ли у неё границы? Их нет, так же, как нет центра и границ у фрактала. Представьте себе, что всё вокруг — фрактал. И мы тоже часть этого фрактала. Бесконечное самоподобие.

Расширяющаяся вокруг нас Вселенная — не единственная, нас могут окружать миллиарды других вселенных. Возможно, наш мир представляет собой лишь часть Мультимира — гипотетического множества всех возможных параллельных вселенных. Существуют гипотезы, что вселенные Мультимира могут быть с разными законами физики и разным количеством пространственных измерений.

Фрактальная размерность орбит галактики

Большинство учёных признают, что Вселенная имеет фрактальную структуру: планетарные системы объединены в галактики, галактики в кластеры, кластеры в суперкластеры и так далее. Ранее учёные полагали, что распределение материи можно считать непрерывным, начиная с объектов размером около 200 миллионов световых лет. Данные о более чем 900 тысячах галактик и квазаров показали, что непрерывность отсутствует и при масштабе в 300 миллионов световых лет.

Фрактальная размерность орбит галактики

Полученные выводы противоречат основам теории Большого Взрыва, согласно которой в первые моменты после рождения Вселенной материя была распределена равномерно и непрерывно.

Ряд учёных полагают, что за время, прошедшее с момента Большого Взрыва, под действием гравитации фрактальные структуры вселенского масштаба не могли успеть образоваться.

Фрактальная размерность орбит галактики

Сегодня не существует одной математической модели или теории, которая могла бы описать каждый аспект Вселенной. Теория бесконечной вложенности материифрактальная теория – это альтернативная философская и космологическая теория, не входящая в стандартные академические области науки. В настоящее время теории фрактальной Вселенной не существует. Как считают исследователи, опираясь на теорию относительности Эйнштейна, создание такой теории возможно. Если академическая наука признает, что материя во Вселенной распределена в виде фрактала, потребуется пересмотр практически всех существующих моделей Вселенной.

Фрактальная размерность орбит галактики

Фракталы воплощают принцип повторения — копий, в изобилии присутствующих в природе. Это геометрические формы, которые выглядят одинаково при любой степени приближения. Фрактальная геометрия не есть «чистая» геометрическая теория. Это концепция, новый взгляд на хорошо известные вещи, перестройка восприятия, заставляющая исследователя по-новому видеть мир.

Фрактальная размерность орбит галактики

То, что материя делится до бесконечности, утверждали ещё Аристотель, Декарт и Лейбниц. В каждой частице, какой бы малой она ни была, «есть города, населённые людьми, обработанные поля, и светит солнце, луна и другие звёзды, как у нас» — утверждал греческий философ Анаксагор в своём труде о гомеомериях в V веке до нашей эры.

Основной постулат легендарной «Изумрудной Скрижали» Гермеса Трисмегиста гласит: «То, что находится внизу, аналогично тому, что находится вверху». Этот принцип принят за аксиому последователями герметической философии, которые утверждали аналогию между микро и макро мирами.

Фрактальная размерность орбит галактики

Сакральные учения всех древних цивилизаций пронизывает идея существования гармоничной Вселенной. Египетская богиня истины и порядка Маат представляла собой воплощение принципа естественного порядка вещей. Греки, учившиеся у египтян, связали с цивилизацией слово «космос», переводимое как «вышивка» и выражающее гармонию и красоту.

Фрактальная размерность орбит галактикиМногие объекты и процессы во Вселенной обладают свойством «самоподобия». Если рассматривать эти объекты в различном масштабе, то постоянно обнаруживаются одни и те же элементы. Все они могут быть описаны в виде математических уравнений.

Принципы сакральной геометрии, в основе которой лежат фракталы, «платоновы тела», спираль Золотого сечения, число Фи, в равной мере присущи и человеку, и цветку, и звёздам. Всё, что существует в реальном мире, является фракталом: кровеносная система, кроны и листья деревьев, облака и молекула кислорода.

Исследования, связанные с фракталами, меняют привычные представления об окружающем нас мире. Фракталы заставляют пересмотреть наши взгляды на геометрические свойства объектов. Фракталы описывают реальный мир иногда даже лучше, чем традиционная физика или математика.

Фрактальная размерность орбит галактики

Мы не можем описать камень, участок ландшафта, поверхность моря, скалу или границы острова с помощью прямых линий, кругов и треугольников. Здесь нам приходят на помощь фракталы.

С помощью фракталов эти структуры можно моделировать, создавать, что и используется в различных компьютерных программах.

Когда мы всматриваемся во фрактальную форму, то видим одну и ту же структуру независимо от степени увеличения. Такое подобие можно увидеть в природе, рассматривая при разном приближении горы, облака, береговые линии. Природа есть неразрывная паутина.

Фрактальная размерность орбит галактики

Фрактальная геометрия — геометрия природы. Сама природа пользуется её достижениями и примеры этого можно найти повсюду: от спиралей раковины и цветков маргаритки до симметрии шестиугольных пчелиных сот. «Самоподобие» можно встретить, исследуя формы молекул или галактик. Все объекты во Вселенной взаимопроникают друг в друга.

Фрактальная геометрия предопределяет формы молекул и кристаллов, которые составляют наши тела и Космос. Фактически она есть ключ к пониманию Вселенной.

Фрактальная структура — это генетический код Вселенной.

Фрактальная размерность орбит галактики

Источник: zhitanska.com

Елена Чернова
«Природа» №5, 2015

Хаос — это порядок, который нужно расшифровать.

Жозе Сарамаго, «Двойник»

«Грядущим поколениям ХХ век будет памятен лишь благодаря созданию теорий относительности, квантовой механики и хаоса… теория относительности разделалась с иллюзиями Ньютона об абсолютном пространстве-времени, квантовая механика развеяла мечту о детерминизме физических событий, и, наконец, хаос развенчал Лапласову фантазию о полной предопределенности развития систем» [1]. Эти слова известного американского историка и популяризатора науки Джеймса Глейка отражают огромную важность вопроса, который лишь вкратце освещается в статье, предлагаемой вниманию читателя. Наш мир возник из хаоса. Однако если бы хаос не подчинялся своим собственным законам, если бы в нем не было особой логики, он ничего не смог бы породить.

Новое — это хорошо забытое старое

Позволю себе еще одну цитату из Глейка:

Мысль о внутреннем подобии, о том, что великое может быть вложено в малое, издавна ласкает человеческую душу… По представлениям Лейбница, капля воды содержит в себе весь блистающий разноцветьем мир, где искрятся водяные брызги и живут другие неизведанные вселенные. «Увидеть мир в песчинке» — призывал Блейк, и некоторые ученые пытались следовать его завету. Первые исследователи семенной жидкости склонны были видеть в каждом сперматозоиде своего рода гомункулуса, т. е. крошечного, но уже полностью сформировавшегося человечка. [1]

Ретроспективу подобных воззрений можно обратить гораздо дальше в глубь истории. Один из основных принципов магии — неотъемлемой ступени развития любого общества — состоит в постулате: часть подобна целому. Он проявлялся в таких действиях, как захоронение черепа животного вместо всего животного, модели колесницы вместо самой колесницы и т. д. Сохраняя череп предка, родственники считали, что он продолжает жить рядом с ними и принимать участие в их делах.

Еще древнегреческий философ Анаксагор рассматривал первичные элементы мироздания как частицы, подобные другим частицам целого и самому целому, «бесконечные и по множеству, и по малости». Аристотель характеризовал элементы Анаксагора прилагательным «подобочастные» [2].

А наш современник, американский кибернетик Рон Эглэш, исследуя культуру африканских племен и южноамериканских индейцев, сделал открытие: с древних времен некоторые из них использовали фрактальные принципы построения в орнаментах, узорах, наносимых на одежду и предметы быта, в украшениях, ритуальных обрядах и даже в архитектуре. Так, структура деревень некоторых африканских племен представляет собой круг, в котором находятся маленькие круги — дома, внутри которых еще более мелкие круги — дома духов. У иных племен вместо кругов элементами архитектуры служат другие фигуры, но они также повторяются в разных масштабах, подчиненных единой структуре. Причем эти принципы построения не были простым подражанием природе, но согласовывались с бытующим мировоззрением и социальной организацией [3].

Наша цивилизация, казалось бы, ушла далеко от первобытного существования. Однако мы продолжаем жить в том же мире, нас по-прежнему окружает природа, живущая по своим законам, несмотря на все попытки человека приспособить ее к своим нуждам. Да и сам человек (не будем забывать об этом) остается частью этой природы.

Герт Эйленбергер, немецкий физик, занявшийся изучением нелинейности, как-то заметил:

Почему силуэт согнувшегося под напором штормового ветра обнаженного дерева на фоне мрачного зимнего неба воспринимается как прекрасный, а очертания современного многофункционального здания, несмотря на все усилия архитектора, вовсе не кажутся такими? Сдается мне, что… наше чувство прекрасного «подпитывается» гармоничным сочетанием упорядоченности и беспорядка, которое можно наблюдать в естественных явлениях: облаках, деревьях, горных цепях или кристаллах снежинок. Все такие контуры суть динамические процессы, застывшие в физических формах, и для них типична комбинация устойчивости и хаотичности. [1]

У истоков теории хаоса

Что мы понимаем под хаосом? Невозможность предсказать поведение системы, беспорядочные скачки в разных направлениях, которые никогда не превратятся в упорядоченную последовательность.

Первым исследователем хаоса считается французский математик, физик и философ Анри Пуанкаре. Еще в конце XIX в. при изучении поведения системы с тремя телами, взаимодействующими гравитационно, он заметил, что могут быть непериодические орбиты, которые постоянно и не удаляются от конкретной точки, и не приближаются к ней.

Традиционные методы геометрии, широко используемые в естественных науках, основаны на аппроксимации структуры исследуемого объекта геометрическими фигурами, например линиями, плоскостями, сферами, метрическая и топологическая размерности которых равны между собой. В большинстве случаев свойства исследуемого объекта и его взаимодействие с окружающей средой описываются интегральными термодинамическими характеристиками, что приводит к утрате значительной части информации о системе и к замене ее на более или менее адекватную модель. Чаще всего подобное упрощение вполне оправдано, однако известны многочисленные ситуации, когда применение топологически неадекватных моделей недопустимо. Пример такого несоответствия привел в своей кандидатской диссертации (теперь уже доктор химических наук) Владимир Константинович Иванов: оно обнаруживается при измерении площади развитой (например, пористой) поверхности твердых тел с помощью сорбционных методов, регистрирующих изотермы адсорбции. Оказалось, что величина площади зависит от линейного размера молекул-«измерителей» не квадратично, чего следовало бы ожидать из простейших геометрических соображений, а с показателем степени, иногда вплотную приближающемся к трем [4].

Прогнозирование погоды — одна из проблем, над которой человечество бьется с древних времен. Существует известный анекдот на эту тему, где прогноз погоды передается по цепочке от шамана — оленеводу, затем геологу, потом редактору радиопередачи, и наконец круг замыкается, поскольку выясняется, что шаман узнал прогноз по радио. Описание такой сложной системы, как погода, со множеством переменных, невозможно свести к простым моделям. С данной задачи началось использование компьютеров для моделирования нелинейных динамических систем. Один из основоположников теории хаоса, американский метеоролог и математик Эдвард Нортон Лоренц много лет отдал проблеме прогнозирования погоды. Еще в 60-х годах прошлого века, пытаясь понять причины ненадежности прогнозов погоды, он показал, что состояние сложной динамической системы может сильно зависеть от начальных условий: незначительное изменение одного из многих параметров способно кардинально изменить ожидаемый результат. Лоренц назвал эту зависимость эффектом бабочки: «Сегодняшнее трепетание крыльев мотылька в Пекине через месяц может вызвать ураган в Нью-Йорке» [1]. Ему принесла известность работа, посвященная общему круговороту атмосферы. Исследуя описывающую процесс систему уравнений с тремя переменными, Лоренц графически отобразил результаты своего анализа: линии графика представляют собой координаты точек, определяемых решениями в пространстве этих переменных (рис. 1). Полученная двойная спираль, названная аттрактор Лоренца (или «странный аттрактор»), выглядела как нечто бесконечно запутанное, но всегда расположенное в определенных границах и никогда не повторяющееся. Движение в аттракторе абстрактно (переменными могут быть скорость, плотность, температура и др.), и тем не менее оно передает особенности реальных физических явлений, таких как движение водяного колеса, конвекция в замкнутой петле, излучение одномодового лазера, диссипативные гармонические колебания (параметры которых играют роль соответствующих переменных).

Из тысяч публикаций, составивших специальную литературу по проблеме хаоса, вряд ли какая-либо цитировалась чаще, чем написанная Лоренцем в 1963 г. статья «Детерминистский непериодический поток» [6]. Хотя благодаря компьютерному моделированию уже во времена этой работы предсказание погоды из «искусства превратилось в науку», долгосрочные прогнозы по-прежнему оставались недостоверными и ненадежными. Причина этого заключалась в том самом эффекте бабочки.

В тех же 60-х годах математик Стивен Смэйл из Калифорнийского университета собрал в Беркли исследовательскую группу из молодых единомышленников. Ранее он был удостоен медали Филдса за выдающиеся исследования в области топологии. Смэйл занимался изучением динамических систем, в частности нелинейных хаотических осцилляторов. Для воспроизведения всей неупорядоченности осциллятора ван дер Поля в фазовом пространстве он создал структуру, известную под названием «подкова» — пример динамической системы, имеющей хаотическую динамику.

«Подкова» (рис. 2) — точный и зримый образ сильной зависимости от начальных условий: никогда не угадаешь, где окажется начальная точка после нескольких итераций. Этот пример послужил толчком к изобретению русским математиком, специалистом по теории динамических систем и дифференциальных уравнений, дифференциальной геометрии и топологии Дмитрием Викторовичем Аносовым «диффеоморфизмов Аносова»*. Позже из этих двух работ выросла теория гиперболических динамических систем. Прошло десятилетие, прежде чем результаты работы Смэйла удостоились внимания представителей других дисциплин. «Когда это все же случилось, физики поняли, что Смэйл повернул целый раздел математики лицом к реальному миру» [1].

В 1972 г. математик из Мэрилендского университета Джеймс Йорк прочитал вышеупомянутую статью Лоренца, которая поразила его. Йорк увидел в статье живую физическую модель и посчитал своей святой обязанностью донести до физиков то, чего они не разглядели в работах Лоренца и Смэйла. Он направил копию статьи Лоренца Смэйлу. Тот изумился, обнаружив, что безвестный метеоролог (Лоренц) десятью годами раньше обнаружил ту неупорядоченность, которую он сам посчитал однажды математически невероятной, и разослал копии всем своим коллегам.

Биолог Роберт Мэй, друг Йорка, занимался изучением изменений численности популяций животных. Мэй шел по стопам Пьера Ферхлюста, который еще в 1845 г. обратил внимание на непредсказуемость изменения численности животных и пришел к выводу, что коэффициент прироста популяции — величина непостоянная. Иными словами, процесс оказывается нелинейным. Мэй пытался уловить, что случается с популяцией в момент приближения колебаний коэффициента роста к некоторой критической точке (точке бифуркации). Варьируя значения этого нелинейного параметра, он обнаружил, что возможны коренные перемены в самой сущности системы: увеличение параметра означало возрастание степени нелинейности, что, в свою очередь, изменяло не только количественные, но и качественные характеристики результата. Подобная операция влияла как на конечное значение численности популяции, находившейся в равновесии, так и на ее способность вообще достигнуть последнего. При определенных условиях периодичность уступала место хаосу, колебаниям, которые никогда не затухали.

Йорк математически проанализировал описанные явления в своей работе, доказав, что в любой одномерной системе происходит следующее: если появляется регулярный цикл с тремя волнами (плавными подъемами и спадами значений какого-либо параметра), то в дальнейшем система начнет демонстрировать как правильные циклы любой другой продолжительности, так и полностью хаотичные. (Как выяснилось через несколько лет после опубликования статьи на международной конференции в восточном Берлине, советский (украинский) математик Александр Николаевич Шарковский несколько опередил Йорка в своих исследованиях [7]). Йорк написал статью для известного научного издания «Американский математический ежемесячник» [8]. Однако Йорк достиг большего, чем просто математический результат: он продемонстрировал физикам, что хаос вездесущ, стабилен и структурирован. Он дал повод поверить в то, что сложные системы, традиционно описывающиеся трудными для решения дифференциальными уравнениями, могут быть представлены с помощью наглядных графиков.

Мэй пытался привлечь внимание биологов к тому, что популяции животных переживают не одни лишь упорядоченные циклы. На пути к хаосу возникает целый каскад удвоения периодов. Именно в точках бифуркации некоторое увеличение плодовитости особей могло привести, например, к смене четырехгодичного цикла популяции непарного шелкопряда восьмигодичным. Американец Митчел Фейгенбаум решил начать с подсчета точных значений параметра, порождавших такие изменения. Его расчеты показывали, что не имело значения, какова начальная популяция, — она все равно неуклонно приближалась к аттрактору. Затем, с первым удвоением периодов, аттрактор, подобно делящейся клетке, раздваивался. Потом происходило следующее умножение периодов, и каждая точка аттрактора вновь начинала делиться. Число — инвариант, полученный Фейгенбаумом, — позволило ему предугадывать, когда именно это произойдет. Ученый обнаружил, что может прогнозировать этот эффект для сложнейшего аттрактора — в двух, четырех, восьми точках… Говоря языком экологии, он мог прогнозировать действительную численность, которая достигается в популяциях во время ежегодных колебаний. Так Фейгенбаум открыл в 1976 г. «каскад удвоения периода», опираясь на работу Мэя и свои исследования турбулентности. Его теория отражала естественный закон, который относится ко всем системам, испытывающим переход от упорядоченного состояния к хаосу. Йорк, Мэй и Файгенбаум первыми на Западе в полной мере осознали важность удвоения периодов и сумели передать эту идею всему научному сообществу. Мэй заявлял, что хаос необходимо преподавать.

Советские математики и физики продвигались в своих исследованиях независимо от зарубежных коллег. Начало изучению хаоса положили работы А. Н. Колмогорова 50-х годов. Но и идеи зарубежных коллег не оставались без их внимания. Пионерами теории хаоса считаются советские математики Андрей Николаевич Колмогоров и Владимир Игоревич Арнольд и немецкий математик Юрген Мозер, построившие теорию хаоса, называемую КАМ (теория Колмогорова — Арнольда — Мозера). Другой наш выдающийся соотечественник, блестящий физик и математик Яков Григорьевич Синай, применил в термодинамике соображения, аналогичные «подкове Смейла». Едва в 70-х годах с работой Лоренца познакомились западные физики, как она приобрела известность и в СССР. В 1975 г., когда Йорк и Мэй еще прилагали немалые усилия к тому, чтобы добиться внимания коллег, Синай и его товарищи организовали в Горьком исследовательскую группу для изучения этой проблемы.

В прошлом веке, когда узкая специализация и разобщение между различными дисциплинами стали в науке нормой, математики, физики, биологи, химики, физиологи, экономисты бились над схожими задачами, не слыша друг друга. Идеи, требующие изменения привычного мировоззрения, всегда с трудом пробивают себе путь. Однако постепенно стало ясно, что такие вещи, как изменение популяций животных, колебания цен на рынке, перемена погоды, распределение небесных тел по размерам и многое, многое другое, — подчиняются одним закономерностям. «Осознание этого факта заставило менеджеров пересмотреть отношение к страховке, астрономов — под другим углом зрения взглянуть на Солнечную систему, политиков — изменить мнение о причинах вооруженных конфликтов» [1].

К середине 80-х годов ситуация сильно изменилась. Идеи фрактальной геометрии объединили ученых, озадаченных собственными наблюдениями и не знавшими, как их интерпретировать. Для исследователей хаоса математика стала экспериментальной наукой, компьютеры заменили собой лаборатории. Графические изображения приобрели первостепенную важность. Новая наука дала миру особый язык, новые понятия: фазовый портрет, аттрактор, бифуркация, сечение фазового пространства, фрактал…

Бенуа Мандельброт, опираясь на идеи и работы предшественников и современников, показал, что такими сложными процессами, как рост дерева, образование облаков, вариации экономических характеристик или численности популяций животных управляют сходные, по сути, законы природы. Это определенные закономерности, по которым живет хаос. С точки зрения природной самоорганизации они намного проще, чем искусственные формы, привычные цивилизованному человеку. Сложными их можно признать лишь в контексте евклидовой геометрии, поскольку фракталы определяются посредством задания алгоритма, и, следовательно, могут быть описаны с помощью небольшого объема информации.

Фрактальная геометрия природы

Давайте попробуем разобраться, что же такое фрактал и «с чем его едят». А съесть некоторые из них действительно можно, как, например, типичного представителя, показанного на фотографии.

Слово фрактал происходит от латинского fractus — дробленый, сломанный, разбитый на куски. Под фракталом подразумевается математическое множество, обладающее свойством самоподобия, т. е. масштабной инвариантности.

Термин «фрактал» был придуман Мандельбротом в 1975 г. и получил широкую популярность с выходом в 1977 г. его книги «Фрактальная геометрия природы» [9]. «Дайте чудовищу какое-нибудь уютное, домашнее имя, и вы удивитесь, насколько легче будет его приручить!» — говорил Мандельброт. Это стремление сделать исследуемые объекты (математические множества) близкими и понятными привело к рождению новых математических терминов, таких как пыль, творог, сыворотка, наглядно демонстрирующих их глубинную связь с природными процессами.

Математическое понятие фрактала выделяет объекты, обладающие структурами различных масштабов, как больших, так и малых, и, таким образом, отражает иерархический принцип организации. Конечно, различные ветви дерева, например, не могут быть точно совмещены друг с другом, но их можно считать подобными в статистическом смысле. Точно так же формы облаков, очертания гор, линия морского берега, рисунок пламени, сосудистая система, овраги, молния, рассматриваемые при различных масштабах, выглядят подобными. Хотя эта идеализация и может оказаться упрощением действительности, она существенно увеличивает глубину математического описания природы.

Понятие «природный фрактал» Мандельброт ввел для обозначения естественных структур, которые могут быть описаны с помощью фрактальных множеств. Эти природные объекты включают в себя элемент случайности. Созданная Мандельбротом теория позволяет количественно и качественно описывать все те формы, которые ранее назывались спутанными, волнистыми, шероховатыми и т. д.

Динамические процессы, о которых шла речь выше, так называемые процессы с обратной связью, возникают в различных физических и математических задачах. Все они имеют одно общее — конкуренцию нескольких центров (получивших имя «аттракторы») за доминирование на плоскости. То состояние, в котором система оказалась после некоторого числа итераций, зависит от ее «места старта». Поэтому каждому аттрактору соответствует некоторая область начальных состояний, из которых система обязательно попадет в рассматриваемое конечное состояние. Таким образом, фазовое пространство системы (абстрактное пространство параметров, ассоциированных с конкретной динамической системой, точки в котором однозначно характеризуют все возможные ее состояния) разбивается на области притяжения аттракторов. Налицо своеобразный возврат к динамике Аристотеля, согласно которой каждое тело стремится к предназначенному ему месту [2]. Простые границы между «сопредельными территориями» в результате такого соперничества возникают редко. Именно в этой пограничной области и происходит переход от одной формы существования к другой: от порядка к хаосу. Общий вид выражения для динамического закона очень прост:

х n+1 f х n C

. Вся сложность состоит в нелинейной зависимости между начальным значением и результатом. Если начать итерационный процесс указанного вида с некоторого произвольного значения ( x_0 ), то результатом его будет последовательность ( x_1 ), ( x_2 ), …, которая либо будет сходиться к некоторому предельному значению ( X ), стремясь к состоянию покоя, либо придет к некоторому циклу значений, которые будут повторяться вновь и вновь, либо будет все время вести себя беспорядочно и непредсказуемо [5]. Именно такие процессы исследовали еще во время Первой мировой войны французские математики Гастон Жюлиа и Пьер Фато.

Изучая множества, открытые ими, Мандельброт в 1979 г. пришел к изображению на комплексной плоскости образа, который является, как будет ясно из дальнейшего, своего рода оглавлением целого класса форм, именующегося множествами Жюлиа. Множество Жюлиа — это множество точек, возникающее в результате итерирования квадратичного преобразования:

х n х n−1 2 + C

, динамика в окрестности которых неустойчива по отношению к малым возмущениям начального положения. Каждое последовательное значение ( x ) получается из предыдущего; комплексное число ( C ) называется управляющим параметром. Поведение последовательности чисел зависит от параметра ( C ) и начальной точки ( x_0 ). Если зафиксировать ( C ) и изменять ( x_0 ) в поле комплексных чисел, мы получим множество Жюлиа. Если же зафиксировать ( x_0 ) = 0 и изменять ( C ), получим множество Мандельброта (( M )). Оно подсказывает нам, какого вида множества Жюлиа следует ожидать при конкретном выборе ( C ). Каждое комплексное число ( C ) либо принадлежит области ( M ) (черной на рис. 3), либо нет. ( C ) принадлежит ( M ) тогда и только тогда, когда «критическая точка» ( x_0 ) = 0 не стремится к бесконечности. Множество ( M ) состоит из всех точек ( C ), которые ассоциируются со связными множествами Жюлиа, если же точка ( C ) лежит вне множества ( M ), ассоциированное с ней множество Жюлиа несвязно. Граница множества ( M ) определяет момент математического фазового перехода для множеств Жюлиа

х n х n−1 2 + C

. Когда параметр ( C ) покидает ( M ), множества Жюлиа теряют свою связность, образно говоря, взрываются и превращаются в пыль. Качественный скачок, происходящий на границе ( M ), влияет и на примыкающую к границе область. Сложную динамическую структуру пограничной области можно приближенно показать, окрашивая (условно) в разные цвета зоны с одинаковым временем «убегания в бесконечность начальной точки ( x_0 ) = 0». Те значения ( C ) (один оттенок), при которых критической точке требуется данное число итераций, чтобы оказаться вне круга радиусом ( N ), заполняют промежуток между двумя линиями. По мере приближения к границе ( M ) необходимое число итераций увеличивается. Точка все большее время вынуждена блуждать извилистыми путями вблизи множества Жюлиа. Множество Мандельброта воплощает в себе процесс перехода от порядка к хаосу.

Интересно проследить путь, которым Мандельброт шел к своим открытиям. Бенуа родился в Варшаве в 1924 г., в 1936 семья эмигрировала в Париж. Окончив Политехническую школу, а затем и университет в Париже, Мандельброт переехал в США, где отучился еще и в Калифорнийском технологическом институте. В 1958 г. он устроился в научно-исследовательский центр IBM в Йорктауне. Несмотря на чисто прикладную деятельность компании, занимаемая должность позволяла ему вести исследования в самых разных областях. Работая в области экономики, молодой специалист занялся изучением статистики цен на хлопок за большой период времени (более 100 лет). Анализируя симметрию длительных и кратковременных колебаний цен, он заметил, что эти колебания в течение дня казались случайными и непредсказуемыми, однако последовательность таких изменений не зависела от масштаба. Для решения этой задачи он впервые использовал свои разработки будущей фрактальной теории и графическое отображение исследуемых процессов.

Интересуясь самыми разными областями науки, Мандельброт обратился к математической лингвистике, затем наступил черед теории игр. Он также предложил собственный подход к экономике, указав на упорядоченность масштабов в распространении малых и больших городов. Изучая малоизвестную работу английского ученого Льюиса Ричардсона, вышедшую после смерти автора, Мандельброт столкнулся с феноменом береговой линии. В статье «Какова длина береговой линии Великобритании?» [10] он подробно исследует этот вопрос, над которым мало кто задумывался до него, и приходит к неожиданным выводам: длина береговой линии равна… бесконечности! Чем точнее вы стараетесь ее измерить, тем большим получается ее значение!

Для описания подобных явлений Мандельброту пришло в голову отталкиваться от идеи размерности. Фрактальная размерность объекта служит количественной характеристикой одной из его особенностей, а именно — заполнения им пространства.

Определение понятия фрактальной размерности восходит к работе Феликса Хаусдорфа, опубликованной в 1919 г., и было окончательно сформулировано Абрамом Самойловичем Безиковичем. Фрактальная размерность — мера детализации, изломанности, неровности фрактального объекта. В евклидовом пространстве топологическая размерность всегда определяется целым числом (размерность точки — 0, линии — 1, плоскости — 2, объемного тела — 3). Если проследить, например, проекцию на плоскость движения броуновской частицы, которая вроде бы должна состоять из отрезков прямой, т. е. иметь размерность 1, очень скоро окажется, что след ее заполняет почти всю плоскость. Но размерность плоскости — 2. Расхождение между этими величинами и дает нам право отнести данную «кривую» к фракталам, а ее промежуточную (дробную) размерность называть фрактальной. Если рассмотреть хаотическое движение частицы в объеме, фрактальная размерность траектории окажется больше 2, но меньше 3. Артерии человека, например, имеют фрактальную размерность примерно 2,7. Упомянутые в начале статьи результаты Иванова, относящиеся к измерению площади пор силикагеля, которые не могут быть истолкованы в рамках обычных евклидовых представлений, при использовании теории фракталов находят разумное объяснение [4].

Итак, с математической точки зрения, фракталом называется множество, для которого размерность Хаусдорфа — Безиковича строго больше его топологической размерности и может быть (а чаще всего и является) дробной.

Необходимо особо подчеркнуть, что фрактальная размерность объекта не описывает его форму, и объекты, имеющие одинаковую размерность, но порожденные различными механизмами образования, зачастую совершенно не похожи друг на друга. Физические фракталы обладают скорее статистическим самоподобием.

Дробное измерение позволяет вычислять характеристики, которые не могут быть четко определены иным путем: степени неровности, прерывистости, шероховатости или неустойчивости какого-либо объекта. Например, извилистая береговая линия, несмотря на неизмеримость ее длины, обладает присущей только ей шероховатостью. Мандельброт указал пути расчета дробных измерений объектов окружающей действительности. Создавая свою геометрию, он выдвинул закон о неупорядоченных формах, которые встречаются в природе. Закон гласил: степень нестабильности постоянна при различных масштабах.

Особую разновидность фракталов составляют временные фракталы. В 1962 г. Мандельброт столкнулся с задачей по устранению шумов в телефонных линиях, которые вызвали проблемы для компьютерных модемов. Качество передачи сигнала зависит от вероятности возникновения ошибок. Инженеры бились над проблемой уменьшения шумов, придумывая головоломные и дорогостоящие приемы, но не получали впечатляющих результатов. Опираясь на работу основателя теории множеств Георга Кантора, Мандельброт показал, что возникновения шумов — порождения хаоса — невозможно избежать в принципе, поэтому предложенные способы борьбы с ними не принесут результата. В поисках закономерности возникновения шумов он получает «канторову пыль» — фрактальную последовательность событий. Интересно, что тем же закономерностям подчиняется распределение звезд в Галактике:

«Вещество», однородно распределенное вдоль инициатора (единичный отрезок временной оси), подвергается воздействию центробежного вихря, который «сметает» его к крайним третям интервала… Створаживанием можно называть любой каскад неустойчивых состояний, приводящий в итоге к сгущению вещества, а термин творог может определять объем, внутри которого некая физическая характеристика становится — в результате створаживания — чрезвычайно концентрированной. [9]

Хаотические явления, такие как турбулентность атмосферы, подвижность земной коры и т. д., демонстрируют сходное поведение в различных временных масштабах подобно тому, как объекты, обладающие инвариантностью к масштабу, обнаруживают сходные структурные закономерности в различных пространственных масштабах.

В качестве примера приведем несколько характерных ситуаций, где полезно использовать представления о фрактальной структуре. Профессор Колумбийского университета Кристофер Шольц специализировался на изучении формы и строения твердого вещества Земли, он изучал землетрясения. В 1978 г. он прочитал книгу Мандельброта «Фракталы: форма, случайность и размерность» и попытался применить теорию к описанию, классификации и измерению геофизических объектов. Шольц выяснил, что фрактальная геометрия снабдила науку эффективным методом описания специфичного бугристого ландшафта Земли. Фрактальное измерение ландшафтов планеты открывает двери к постижению ее важнейших характеристик. Металлурги обнаружили то же самое на другом масштабном уровне — применительно к поверхностям различных типов стали. В частности, фрактальное измерение поверхности металла зачастую позволяет судить о его прочности. Огромное количество фрактальных объектов продуцирует явление кристаллизации. Самый распространенный тип фракталов, возникающих при росте кристаллов, — дендриты, они чрезвычайно широко распространены в живой природе. Ансамбли наночастиц часто демонстрируют реализацию «пыли Леви». Эти ансамбли в сочетании с абсорбированным растворителем образуют прозрачные компакты — стекла Леви, потенциально важные материалы фотоники [11].

Поскольку фракталы выражаются не в первичных геометрических формах, а в алгоритмах, наборах математических процедур, понятно, что такая область математики стала развиваться семимильными шагами вместе с появлением и развитием мощных компьютеров. Хаос, в свою очередь, вызвал к жизни новые компьютерные технологии, специальную графическую технику, которая способна воспроизводить удивительные структуры невероятной сложности, порождаемые теми или иными видами беспорядка. В век Интернета и персональных компьютеров то, что представляло значительную сложность во времена Мандельброта, стало легко доступным любому желающему. Но самым важным в его теории стало, разумеется, не создание красивых картинок, а вывод, что данный математический аппарат пригоден для описания сложных природных явлений и процессов, которые раньше не рассматривались в науке вообще. Репертуар алгоритмических элементов неисчерпаем.

Овладев языком фракталов, можно описать форму облака так же четко и просто, как архитектор описывает здание с помощью чертежей, в которых применяется язык традиционной геометрии. <…> Прошло всего несколько десятилетий с тех пор, как Бенуа Мандельброт заявил: «Геометрия природы фрактальна!», на сегодняшний день мы уже можем предположить намного больше, а именно что фрактальность — это первоочередной принцип построения всех без исключения природных объектов. [12]

В заключение позвольте представить вашему вниманию набор фотографий, иллюстрирующих этот вывод, и фракталов, построенных с помощью компьютерной программы Fractal Explorer. А проблеме использования фракталов в физике кристаллов будет посвящена наша следующая статья.

Post Scriptum

С 1994 по 2013 г. в пяти томах вышел уникальный труд отечественных ученых «Атлас временных вариаций природных антропогенных и социальных процессов» [13] — не имеющий аналогов источник материалов, который включает в себя данные мониторинга космоса, биосферы, литосферы, атмосферы, гидросферы, социальной и техногенной сфер и сферы, связанной со здоровьем и качеством жизни человека. В тексте подробно приводятся данные и результаты их обработки, сопоставляются особенности динамики временных рядов и их фрагментов. Унифицированное представление результатов дает возможность получить сопоставимые результаты для выявления общих и индивидуальных черт динамики процессов и причинно-следственных связей между ними. На экспериментальном материале показано, что процессы в разных сферах, во-первых, схожи, а во-вторых, в большей или меньшей степени связаны друг с другом.

Итак, атлас обобщил результаты междисциплинарных исследований и представил сравнительный анализ совершенно различных данных в широчайшем диапазоне времени и пространства. Книга показывает, что «протекающие в земных сферах процессы обусловлены большим числом взаимодействующих факторов, которые в разных областях (и в разное время) вызывают разную реакцию», что говорит о «необходимости комплексного подхода к анализу геодинамических, космических, социальных, экономических и медицинских наблюдений». Остается выразить надежду на то, что эти фундаментальные по значимости работы будут продолжены.

Источник: elementy.ru


You May Also Like

About the Author: admind

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Этот сайт использует Akismet для борьбы со спамом. Узнайте, как обрабатываются ваши данные комментариев.