Энтропия клаузиуса


Содержание

 

Введение

1. Космологический парадокс Клаузиуса

1.1 Биографическая справка

1.2 Гипотеза «тепловой смерти» Вселенной

2. Опровержение гипотезы «тепловой смерти» Вселенной

Заключение

Список использованной литературы

Введение

 

Термодинамический парадокс в космологии, сформулированный во второй половине ХIХ века, непрерывно будоражит с тех пор научное сообщество. Дело в том, что он затронул наиболее глубинные структуры научной картины мира. Хотя многочисленные попытки разрешения этого парадокса приводили всегда лишь к частным успехам, они порождали новые, нетривиальные физические идеи, модели, теории. Термодинамический парадокс выступает неиссякаемым источником новых научных знаний. Космологические парадоксы оставались неразрешенными до двадцатых годов нашего столетия, когда на смену классической космологии пришла теория конечной и расширяющейся Вселенной.


Термодинамический парадокс возник впервые в картине мира Ньютона — как острый конфликт между самой этой картиной мира и ее философско-мировоззренческими основаниями, с одной стороны, и выводами вытекающими из экстраполяции на Вселенную принципа возрастания энтропии — с другой. Этот парадокс был сформулирован Р. Клаузиусом и В. Томсоном.

По словам Клаузиуса «…общее состояние Вселенной должно все больше и все больше изменяться» в направлении, определяемом принципом возрастания энтропии и, следовательно, это состояние должно непрерывно приближаться к некоторому предельному состоянию». Отсюда вытекают, по мнению Клаузиуса, следующие формулировки принципов термодинамики:

  1. Энергия мира постоянна.
  2. Энтропия мира стремится к максимуму. Тем самым неявно вводятся следующие абстракции: в рамках термодинамики можно употреблять понятия состояния мира как целостной системы; мир как целое — замкнутая система; эволюция мира может быть описана как смена его состояний; для мира как целого состояние с максимальной энтропией имеет смысл, также как и для любой конечной системы.

Цель данной работы: попытаться выяснить, что представляет собой гипотеза «тепловой смерти» Вселенной, сформированная Клаузиусом.

абота состоит из введения, 2 глав, заключения и библиографического списка. Общий объем работы 13 страниц.

 

1. Космологический парадокс Клаузиуса

 

1.1 Биографическая справка


 

Клаузиус Рудольф Юлиус Эмануэль, немецкий физик, один из основателей термодинамики и молекулярно-кинетической теории теплоты. Учился в Берлинском университете (с 1840). В 1850-57 преподавал в Берлине и Цюрихе. Профессор университетов в Цюрихе (с 1857), Вюрцбурге (с 1867), Бонне (с 1869). Иностранный член-корреспондент Петербургской АН.

Клаузиусу принадлежат основополагающие работы в области молекулярно-кинетической теории теплоты. Работы Клаузиус способствовали введению статистических методов в физику. Клаузиус удалось с единой точки зрения объяснить такие внешне совершенно различные явления в газах, как внутреннее трение, теплопроводность и диффузия. Он ввёл понятие идеального газа, а также понятие длины свободного пробега молекул, впервые вычислив эту длину. Доказал теорему вириала, связывающую среднюю кинетическую энергию системы частиц с действующими в ней силами. Построил кинетическую теорию перехода вещества из одного агрегатного состояния в другое и в 1850 обосновал уравнение, связывающее изменение температуры плавления с изменением давления (Клапейрона — Клаузиуса уравнение).

Клаузиус внёс важный вклад в теорию электролиза. Теоретически обосновал закон Джоуля — Ленца, развил термодинамическую теорию термоэлектричества и др. Развивая идеи итальянского учёного О.Ф.Моссотти, Клаузиус разработал теорию поляризации диэлектриков, на основе которой установил соотношение между диэлектрической проницаемостью и поляризуемостью (Клаузиуса — Моссотти формула).


Клаузиус первым понял и проанализировал глубокие идеи С.Карно и оценил их значение для теории теплоты и тепловых машин. Развивая эти идеи, Клаузиус в 1850 (одновременно с У.Томсоном) дал первую формулировку второго начала термодинамики: «Теплота не может сама собою перейти от более холодного тела к более тёплому». Клаузиус доказал, что не существует способа передачи теплоты от более холодного тела к более нагретому без того, чтобы в природе не произошло каких-либо изменений, которые могли бы компенсировать такой переход.

В 1865 Клаузиус ввёл понятие энтропии — (от греч. entropia поворот, превращение), функция состояния термодинамической системы, изменение которой в равновесном процессе равно отношению количества теплоты, сообщенного системе или отведенного от нее, к термодинамической температуре системы. Неравновесные процессы в изолированной системе сопровождаются ростом энтропии, они приближают систему к состоянию равновесия, в котором максимальна. Понятием энтропии широко пользуются в физике, химии, биологии и теории информации.

Клаузиус сформулировал первый и второй законы термодинамики следующим образом: "Энергия мира постоянна, энтропия мира стремится к максимуму". Согласно гипотезе Клаузиуса возрастание энтропии, сопровождаемое уменьшением свободной энергии, приведет к состоянию с максимальной энтропией, когда прекратятся все физические и химические процессы.


На начальной стадии становления термодинамики Клаузиус переоценил ее возможности. Во-первых, эта гипотеза построена на недоказанности гипотезы о конечности Вселенной. Во-вторых, вывод получен для малых промежутков времени, по сравнению с космическими периодами времени. В-третьих, наконец, второй закон термодинамики, описывающий возрастание энтропии в изолированных системах, не выполняется для систем с ограниченным (малым) количеством частиц.

Таким образом, область применения второго закона термодинамики ограничена снизу — системами с малым количеством частиц и сверху — системами с любым количеством частиц, наблюдаемым в течение большого промежутка времени. В результате уточненную формулировку второго закона термодинамики можно представить следующим образом: энтропия изолированной системы, наблюдаемой в продолжении небольших с космической точки зрения промежутков времени, стремится к относительному максимуму

Сформулировал Закон возрастания энтропии, который можно выразить следующим образом: «…в адиабатически изолированной термодинамической системе энтропия не может убывать: она или сохраняется, если в системе происходят только обратимые процессы, или возрастает, если в системе протекает хотя бы один необратимый процесс». С законом возрастания энтропии непосредственно связан парадокс, сформулированный Клаузиусом, совместно с Томсоном и названый гипотезой «тепловой смерти» Вселенной.

 

1.2 Гипотеза «тепловой смерти» Вселенной


 

Мир полон энергии, которая подчиняется важнейшему закону природы — закону сохранения энергии. При всех своих превращениях из одного вида в другой энергия не исчезает и не возникает из ничего. Общее количество энергии остается постоянным. Казалось бы, из этого закона неизбежно вытекает вечный круговорот материи во Вселенной. В самом деле, если в Природе при всех изменениях материи она не исчезает и не возникает из ничего, а лишь переходит из одной формы существования в другую, то Вселенная вечна, и материя, ее составляющая, пребывает в вечном круговороте. Таким образом, погасшие звезды снова превращаются в источник света и тепла. Никто, конечно, не знал, как это происходит, но убеждение в том, что Вселенная в целом всегда одна и та же, было в прошлом веке почти всеобщим.

Тем неожиданнее прозвучал вывод из второго закона термодинамики. При всех превращениях различные виды энергии в конечном счете переходят в тепло, которое, будучи предоставлено себе, стремится к состоянию термодинамического равновесия, то есть рассеивается в пространстве. Так как такой процесс рассеяния тепла необратим, то рано или поздно все звезды погаснут, все активные процессы в Природе прекратятся и Вселенная превратится в мрачное замерзшее кладбище. Наступит «тепловая смерть Вселенной».

Подробный анализ этой гипотезы был выполнен Клаузиусом, и он считал правомерным распространение на всю Вселенную закона возрастания энтропии. Действительно, если рассмотреть Вселенную как адиабатически изолированную термодинамическую систему, то, учитывая ее бесконечный возраст, на основании закона возрастания энтропии можно сделать вывод о достижении ею максимума энтропии, то есть состояния термодинамического равновесия. Но в реально окружающей нас Вселенной этого не наблюдается.


Итак, необратимость реальных тепловых процессов в природе обусловлена стремлением термодинамических систем к равновесию, сопровождающемуся разрушением порядка и переходом к более вероятному неупорядоченному состоянию. И в соответствии со статистической формулировкой второго начала термодинамики «стрела времени» направлена в сторону увеличения энтропии системы. Это фундаментальное положение равновесной термодинамики было положено в основу одной достаточно популярной в свое время космологической гипотезы. Так, применив второе начало термодинамики ко всей Вселенной как к целому, он пришел к выводу, что конечным состоянием Вселенной должно стать состояние теплового равновесия, когда материя окажется равномерно распределенной по всему пространству.

Такая концепция получила название «тепловой смерти» Вселенной. Согласно этой концепции нынешнее состояние Вселенной — это гигантская флуктуация из равновесного состояния, которая в настоящее время «рассасывается», экспоненциально приближаясь к равновесному состоянию. В дальнейшем возможно повторение флуктуационного всплеска, сопр


Источник: www.studsell.com

Источник: www.chem21.info

По определению КПД любого цикла

Энтропия клаузиуса (2.13.1)

а обратимого цикла Карно

Энтропия клаузиуса (2.13.2)

Из выражений (2.13.1–2.13.2) следует, что

Энтропия клаузиуса (2.13.3)

где Энтропия клаузиуса Отношение количества теплоты, получаемой (отдаваемой) системой, к абсолютной температуре, при которой эта теплота получена (отдана) Клаузис назвал приведенной теплотой. Равенство (2.13.3) утверждает, что сумма приведенных теплот в обратимом цикле Карно всегда равна нулю, хотя сумма самих теплот в этом цикле не равна нулю, т. е. Энтропия клаузиуса

Обобщим равенство (2.13.3) на любой обратимый цикл, совершаемый системой. Для этого, как мы это делали при доказательстве третьей теоремы Карно, разобьем этот цикл на элементарные циклы Карно, для каждого из которых будет справедливо равенство, подобное (2.13.3), т. е.

Энтропия клаузиуса (2.13.4)

Суммируя соотношение (2.13.4) по всем элементарным циклам Карно, будем иметь:

Энтропия клаузиуса (2.13.5)

Переобозначив индекс суммирования, выражение (2.13.5) можно записать в виде одной суммы:

Энтропия клаузиуса (2.13.6)

Если количества полученного и отданного тепла на изотермах элементарных циклов Карно считать бесконечно малыми, то выражение (2.13.6) можно представить в виде интеграла по замкнутому контуру:

Энтропия клаузиуса (2.13.7)

Равенство (2.13.7) утверждает: сумма бесконечно малых приведенных теплот в любом обратимом круговом процессе всегда равна нулю. Это равенство является математическим выражением второго закона термодинамики для обратимых круговых процессов и называется равенством Клаузиуса.

Как отмечалось ранее, если интеграл по замкнутому контуру равен нулю, то подынтегральная функция есть полный дифференциал некоторой функции, которую обозначим буквой Энтропия клаузиуса , т. е.

Энтропия клаузиуса (2.13.8)

Интегрируя последнее соотношение, получим

Энтропия клаузиуса (2.13.9)

где Энтропия клаузиуса – произвольная постоянная.

Если проинтегрировать выражение (2.13.8) от состояния 1 до состоя-ния 2, получим

Энтропия клаузиуса (2.13.10)

Равенства (2.13.8) и (2.13.10) также представляют собой запись второго закона термодинамики для обратимых некруговых процессов. Как видно из формулы (2.13.10), функция S является функцией состояния. Ее называют энтропией.

Рассмотрим основные свойства энтропии.

1. Если система частиц совершает обратимый процесс и получает тепло Энтропия клаузиуса , то ее энтропия, как видно из (2.13.8), увеличивается Энтропия клаузиуса

2. Если система совершает обратимый процесс и при этом отдает тепло Энтропия клаузиуса , то ее энтропия уменьшается Энтропия клаузиуса

3. Если система адиабатически изолирована Энтропия клаузиуса и совершает обратимый процесс, то ее энтропия не изменяется Энтропия клаузиуса и Энтропия клаузиуса

Если система замкнута, т. е. не обменивается с внешней средой энергией ни в форме тепла, ни в форме работы, то энтропия такой замкнутой системы также остается постоянной при любых совершающихся в ней обратимых процессах.

4. Увеличение температуры вещества при его нагревании ведет к росту его энтропии.

Если Энтропия клаузиуса молей вещества поглощают Энтропия клаузиуса теплоты и при этом его температура повышается на Энтропия клаузиуса , то

Энтропия клаузиуса (2.13.11)

Подставив (2.13.11) в (2.13.9), получим

Энтропия клаузиуса (2.13.12)

Теплоемкость Энтропия клаузиуса вещества зависит от температуры. Поэтому, чтобы вычислить интеграл, заменим функцию Энтропия клаузиуса ее средним значением Энтропия клаузиуса . В результате будем иметь:

Энтропия клаузиуса (2.13.13)

Отсюда видно, что с повышением температуры энтропия растет по логарифмическому закону. Если при вычислении интеграла использовать саму функцию , а не ее среднее значение, то тенденция роста энтропии сохранится, но, естественно, не по логарифмическому закону.

Таким образом, вычисление энтропии, согласно (2.13.12), сводится к нахождению температурной зависимости теплоемкости.

5. Энтропия – мера беспорядка в системе.

Газ, находящийся при высокой температуре, имеет большую энтропию. При этом интенсивное движение молекул создает большую хаотичность в расположении молекул. При понижении температуры энтропия уменьшается, газ постепенно переходит в жидкое состояние, которое характеризуется более упорядоченным размещением молекул, уменьшается беспорядок в системе частиц. При дальнейшем уменьшении температуры энтропия еще более уменьшается, газ переходит в твердое состояние, отличительной чертой которого является высокая упорядоченность расположения частиц. При абсолютном нуле температуры хаотическое тепловое движение частиц прекращается, система становится полностью упорядоченной, а энтропия становится равной нулю. Таким образом, состояния с большим беспорядком характеризуется большой энтропией.

6. Энтропия системы определяется с точностью до произвольной постоянной (см.(2.13.9)).

7. Энтропия при переходе из одного состояния в другое не зависит от пути перехода, а определяется только начальным и конечным состоянием системы.

Это свойство энтропии следует из равенства Клаузиуса (2.13.7). В самом деле, пусть система обратимо переходит из состояния 1 в состояние 2 по нескольким различным путям (рис. 40).

Энтропия клаузиуса

Р и с. 40

Тогда из равенства Клаузиуса следуют равенства:

Энтропия клаузиуса (2.13.14)

Энтропия клаузиуса (2.13.15)

Из последних соотношений и равенства (2.13.10) следует утверждение седьмого свойства энтропии:

Энтропия клаузиуса (2.13.16)

8. Количество теплоты, получаемое или отдаваемое при обратимом переходе из состояния 1 в состояние 2, определяется по формуле

Энтропия клаузиуса (2.13.17)

Таким образом, в плоскости Энтропия клаузиуса количество тепла Энтропия клаузиуса численно равно площади под кривой процесса 12 (рис. 41)

Энтропия клаузиуса Энтропия клаузиуса

Р и с. 41 Р и с. 42

На рис. 42 в плоскости представлен обратимый цикл теплового двигателя. Количество теплоты Энтропия клаузиуса получаемое за цикл рабочим веществом в процессе расширения равно площади фигуры Энтропия клаузиуса т. е.

Энтропия клаузиуса

а количество теплоты, отдаваемое за цикл рабочим веществом,

Энтропия клаузиуса

и, следовательно, определяется площадью фигуры Энтропия клаузиуса Работа, произведенная рабочим веществом за цикл Энтропия клаузиуса равна площади, ограниченной замкнутой линией Энтропия клаузиуса

Таким образом, плоскость примечательна тем, что в ней очень просто и наглядно представляются и количества теплоты, подводимой и отводимой в цикле, и работа, произведенная за цикл. К тому же, на плоскости легко видеть, на каких участках цикла подводится теплота, а на каких она отводится: участкам цикла, где рабочее вещество получает тепло, соответствует увеличение энтропии, а участкам цикла, где отдается тепло – уменьшение энтропии.

Представим цикл Карно в плоскости . Изотермам в плоскости будут соответствовать прямые 12 и 34, параллельные оси , а адиабатам – прямые 23 и 41, параллельные оси T (рис. 43).

Энтропия клаузиуса

Р и с. 43

Количество теплоты, подводимое за цикл Карно, равно

Энтропия клаузиуса (2.13.18)

а количество теплоты, отводимой за этот цикл,

Энтропия клаузиуса

Откуда

Энтропия клаузиуса (2.13.19)

Работа, произведенная рабочим веществом за цикл,

Энтропия клаузиуса (2.13.20)

и, таким образом, определяется площадью прямоугольника 12341. Наконец, КПД цикла Карно

Энтропия клаузиуса

Используя для рассуждений плоскость , легко доказать третью теорему Карно.

Пусть имеется произвольный обратимый цикл. На рис. 44 площадь этого цикла заштрихована.

Энтропия клаузиуса

Р и с. 44

Найдем наибольшую Энтропия клаузиуса и наименьшую Энтропия клаузиуса температуры рабочего веще-ства в этом цикле. Согласно формулировке третьей теоремы Карно, тепловой двигатель, работающий по циклу 1234 Карно, имеет эти же температуры горячего Энтропия клаузиуса и холодного Энтропия клаузиуса источников.

По определению КДП произвольного обратимого цикла

Энтропия клаузиуса (2.13.21)

а КПД обратимого цикла Карно

Энтропия клаузиуса (2.13.22)

где Энтропия клаузиуса – площади соответствующих областей, указанных на рис. 44. Из сравнения выражений (2.13.21–2.13.22) заключаем, что

Энтропия клаузиуса (2.13.23)

Для произвольного необратимого цикла неравенство (2.13.23), очевидно, может только усилиться. Таким образом, третья теорема Карно доказана. Как видно из соотношений (2.13.21–2.13.22), КПД произвольного обрати-мого цикла тем выше, чем больше его площадь заполняет площадь прямоугольника 1234 цикла Карно.

Источник: lektsia.com

Определение энтропии

Энтропия клаузиуса

Рис.8.12

Понятие энтропии было введено Клаузиусом. Энтропия – это одна из функций состояния термодинамической системы. Функция состояния – это такая величина, значения которой однозначно определяются состоянием системы, а изменение функции состояния при переходе системы из одного состояния в другое определяется только начальным и конечным состояниями системы и не зависят от пути перехода.

 

Внутренняя энергия U – функция состояния. Внутренняя энергия идеального газа равна Энтропия клаузиуса , и её изменение определяется только начальной и конечной температурами: Энтропия клаузиуса . Величина Энтропия клаузиуса  – это молярная теплоёмкость идеального газа при постоянном объёме.

 Количество теплоты Q и работа A не являются функциями состояния: они зависят от пути перехода системы из начального состояния в конечное. Например, пусть идеальный газ переходит из состояния 1 в состояние 2, совершив последовательно сначала изобарный процесс, затем – изохорный (рис.8.12, а). Тогда совершённая за весь процесс работа равна Энтропия клаузиуса . Пусть теперь из 1 в 2 идеальный газ переходит, сначала совершив изохорный процесс, а затем изобарный (рис.8.12, b). Работа при таком переходе равна Энтропия клаузиуса . Очевидно, Энтропия клаузиуса . Величина работы оказалась разная, хотя начальное и конечное состояние одинаковы. Поскольку по первому закону термодинамики количество теплоты, сообщённое системе, идёт на приращение внутренней энергии и на работу системы против внешних сил: Энтропия клаузиуса , то теплота, полученная системой в процессах a и b, тоже будет разной, то есть теплота также не является функцией состояния.

С точки зрения математики, малые приращения величин, не являющихся функциями состояния, не будут полными дифференциалами, и для них нужно использовать обозначения: Энтропия клаузиуса  и Энтропия клаузиуса . Оказывается, что для теплоты интегрирующим множителем является обратная температура: Энтропия клаузиуса , и величина, равная отношению полученной системой теплоты к абсолютной температуре, является полным дифференциалом – это приведённая теплота: Энтропия клаузиуса . По определению Клаузиуса, функция состояния системы, дифференциал которой в обратимом процессе равен приведённой теплоте, является энтропией:

Энтропия клаузиуса .                                                    (8.41)

 

 


Свойства энтропии

1) Энтропия – функция состояния системы, то есть в замкнутой системе в обратимом процессе, когда система возвращается в исходное состояние, полное изменения энтропии равно нулю:

Энтропия клаузиуса .                                                (8.42)

2) Энтропия аддитивна, то есть энтропия системы равна сумме энтропий всех её частей.

3) Энтропия замкнутой системы не убывает:

Энтропия клаузиуса ,                                                     (8.43)

причём Энтропия клаузиуса  для обратимых процессов и Энтропия клаузиуса  для необратимых.

Соотношение (8.43) называется неравенством Клаузиуса и представляет собой одну из формулировок второго начала термодинамики: энтропия замкнутой системы остаётся постоянной, если в ней происходят только обратимые процессы, и возрастает в случае необратимых процессов.

Рассмотрим замкнутую систему, состоящую из двух тел с температурами Энтропия клаузиуса  и Энтропия клаузиуса . Пусть Энтропия клаузиуса  – количество теплоты, полученное вторым телом от первого Энтропия клаузиуса . Тогда количество теплоты, полученное первым телом, отрицательно и равно Энтропия клаузиуса . Полное приращение энтропии системы двух тел в процессе теплопередачи равно сумме изменений энтропий двух тел:

Энтропия клаузиуса .                                (8.44)

Процесс теплопередачи может быть обратим лишь в случае, если температуры тел равны: Энтропия клаузиуса . При неравенстве температур обратный процесс невозможен: теплота сама собой от холодного к нагретому идти не может – это одна из формулировок второго начала термодинамики. Тогда из (8.44) получим:

Энтропия клаузиуса .                         (8.45)

Процесс передачи теплоты от первого тела ко второму будет необратимым, если Энтропия клаузиуса . Тогда Энтропия клаузиуса , и из (8.44)

Энтропия клаузиуса .                                 (8.46)

Источник: studopedia.ru


You May Also Like

About the Author: admind

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Этот сайт использует Akismet для борьбы со спамом. Узнайте как обрабатываются ваши данные комментариев.