Дифферент это астрономия


Путь к пониманию положения нашей планеты и живущего на ней человечества во Вселенной был очень непростым и подчас весьма драматичным. Вам известно, что движение звёзд на небе привлекало людей с древних времён. Тогда было естественным считать, что Земля является неподвижной, плоской и находится в центре мира. Казалось, что вообще весь мир создан ради человека. Подобные представления получили название антропоцентризма.

Дифферент это астрономия

Ещё древние греки — как и многие другие народы до и после них, — проводили различие между Землёй, которую они считали центром Вселенной, и планетами. При этом многие идеи и мысли древнегреческих учёных отразились и в современных научных представлениях о природе. Тяжело перечислить имена всех учёных Древней Греции, гениальные догадки которых легки в основу современной астрономии. Например, гениальный математик Пифагор считал, что «в мире правит число». При этом считается, что именно он первым высказал идею о том, что наша планета, как и все другие небесные тела, имеет шарообразную форму.


Древнегреческий философ Демокрит, с которым вы знакомились ещё на начальных этапах изучения физики и химии, первым предположил, что наше Солнце во много раз превосходит по объёму Землю. Так же он первым высказал догадку о том, что Луна не имеет собственного свечения, а лишь отражает солнечный свет.

К IV веку до нашей эры, выдающийся философ античного мира Аристотель смог обобщить все эти знания. И более 2 тысяч лет его сведения о Земле и небе, о закономерностях движения тел не подвергались сомнению.

Дифферент это астрономия

Аристотель первым попытался обосновать шарообразность Земли. Согласно ему, все тяжёлое стремится к центру Вселенной, где скапливается и образует шарообразную массу — Землю. Планеты (что переводится, как «блуждающие звёзды») размещены на особых сферах, которые вращаются вокруг Земли. Такая система мира получила название геоцентрической (от греческого названия Земли — Гея).

Аристотель не случайно предложил считать Землю неподвижным центром мира. Если бы Земля перемещалась, то, по справедливому мнению Аристотеля, было бы заметно регулярное изменение взаимного расположения звёзд на небесной сфере. Но ничего подобного никто из астрономов не наблюдал. И лишь в начале XIX века было наконец-то обнаружено и измерено смещение звёзд, происходящее вследствие движения Земли вокруг Солнца.


В III веке до нашей эры ещё один древнегреческий мыслитель Аристарх Самосский по астрономическим наблюдениям впервые смог определить расстояние от Земли до Луны. Ему также принадлежат первые вычисления объёма Солнца. По его данным он более чем в 300 раз превосходил объём Земли. На основании этих данных Аристарх Самосский первым выдвинул предположение о том, что Земля вместе с другими планетами движется вокруг этого самого крупного тела. Поэтому неслучайно наши современники называют Аристарха «Коперником античного мира».

Дифферент это астрономия

Во II веке нашей эры Клавдий Птолемей, используя наблюдения и идеи своих предшественников, а также собственные наблюдения и математические выкладки, разработал полноценную геоцентрическую систему мира. Построенная им система позволяла вычислять положения планет относительно звёзд на будущее время, а также предсказывать наступления солнечных и лунных затмений. Птолемей создал модель, используя общепринятую в античности идею, что все светила движутся вокруг неподвижной Земли, которая является центром мироздания и имеет шарообразную форму.


Дифферент это астрономия

Наиболее сложной задачей для него оказалось попытка объяснения петлеобразного движения планет. В своём великом труде «Математический трактат астрономии» (более известным, как «Альмагест») он вводит комбинацию двух равномерных круговых движений планет: движение самой планеты по малой окружности (эпицикл) и обращение центра этой окружности вокруг Земли (деферент). При комбинации этих двух круговых движений получалась эпициклоида, по которой, как полагалось, и двигалась планета.

Конечно же система мира Птолемея была не совершенной, так как она давала чисто кинематическое описание движения планет. Но другого объяснения наука того времени дать просто не могла.

Со временем, по мере накопления наблюдений о движениях планет, теория Птолемея всё больше и больше усложнялась (вводились дополнительные круги с различными радиусами, наклонами, скоростями), что вскоре сделало её слишком громоздкой и неудобной. Но не смотря на все трудности система мира Птолемея господствовала ещё более тысячи лет.

Лишь в XVI веке некоторые учёные начинают ставить под сомнение геоцентрическую систему мира Птолемея. В частности, в 1543 году выходит плод более чем 40-летней работы Николая Коперника «Об обращении небесных сфер».


Дифферент это астрономия

В нём он приводит доводы о том, что центром нашей системы является не Земля, а Солнце. Так возникло гелиоцентрическое учение, которое дало ключ к познанию Вселенной. В частности, Коперник показал, что суточное движение всех светил на небесной сфере является следствием вращения Земли вокруг своей оси. Также гелиоцентрическая система Коперника очень просто объясняла петлеобразное движение планет.

Создание гелиоцентрической системы мира ознаменовало новый этап в развитии не только астрономии, но и всего естествознания. Учение Коперника освободило науку от устаревших и схоластических традиций, тормозивших её развитие. Однако сам великий астроном оставался в плену некоторых предубеждений. Например, Коперник так и не смог отказаться от представления, что планеты движутся равномерно по круговым орбитам. Поэтому его модель Вселенной также содержала множество эпициклов и деферентов.

Дифферент это астрономия

Но несмотря на это, простота и стройность системы строения мира, изложенная Коперником, быстро нашла своих сторонников. Одним из первых был итальянский монах, поэт и философ Джордано Бруно. Он не только принимает учение Коперника, но и расширяет его. В частности, он первым указывает на то, что звёзды — это далёкие солнца, вокруг которых вращаются свои планеты. О том, что во Вселенной существует бесчисленное количество тел, подобных нашему Солнцу.


Дифферент это астрономия

В противоположность бытовавшим в то время мнениям, он полагал кометы небесными телами, а не испарениями в земной атмосфере. Бруно также отвергал средневековые представления о противоположности между Землёй и небом, утверждая физическую однородность мира. Во многом из-за своих революционных знаний, в 1592 году Бруно был арестован и подвергнут суду Инквизиции. В 1600 году его признали «нераскаявшимся, упорным и непреклонным еретиком» и приговорили к «наказанию без пролития крови», что означало требование сжечь живым. В ответ на приговор Бруно заявил судьям: «Сжечь — не значит опровергнуть!».

Огромный вклад в развитие гелиоцентрической системы мира внёс немецкий астроном Иоганн Кеплер. Проявив не дюжую интуицию, он одним из первых определил, что каждая планета движется не по окружности, а по эллипсу, в одном из фокусов которых располагается Солнце. Также он вывел ещё два закона движения планет, с которыми мы познакомимся немного позднее.

Одновременно с Кеплером на другом конце Европы итальянский учёный Галилео Галилей также поддержал гелиоцентрическую систему мира Коперника.
уже рассказывали о том, что настоящий переворот в астрономии произошёл в 1608 году, после того как голландский мастер по изготовлению очков Иоанн Липперсгей обнаружил, что две линзы, расположенные на одной прямой, могут увеличивать предметы. Этой идеей сразу же воспользовался Галилей. В 1609 году он сконструировал свою первую зрительную трубу с трёхкратным увеличением и направил её в небо, тем самым «превратив» её в телескоп.

С помощью изобретённого телескопа Галилей сделал ряд открытий, либо косвенно подтверждавших теорию Коперника, либо выбивавших почву из-под ног его противников — сторонников Аристотеля. Во-первых, Галилей установил, что поверхность Луны не гладкая, как подобало небесному телу в учении Аристотеля. Она, подобно нашей планете, имеет горы и впадины. Кроме того, итальянец первым объяснил пепельный свет Луны отражением солнечного света Землёй. Также Галилею принадлежит открытие четырёх спутников Юпитера: Ио, Европы, Ганимеда и Каллисто.

Однако, в 1633 году Галилео Галилей судом Инквизиции был обвинён в публичной поддержке запрещённой гелиоцентрической системы мира Николая Коперника, которую в 1616 году католическая церковь осудила как еретическое учение:

«Ты, Галилей, сын флорентийца Винченцо Галилея, был обвинён в сем Святом судилище в том, что считаешь за истину и распространяешь в народе лжеучение, по которому Солнце находится в центре мира неподвижно, а Земля движется вокруг оси суточным вращением… В том, что ты издал несколько писем о солнечных пятнах, в которых вышеуказанное учение объявлял истинным… Наконец, явился на свет экземпляр твоего сочинения, … и ты в нём, следуя бредням Коперника, развивал некоторые положения, противоречащие здравому смыслу и Святому писанию»


Дифферент это астрономия

В результате процесса, Галилей отрёкся от учения Коперника, а также от своих астрономических наблюдений и вычислений. Хотя общеизвестна легенда, согласно которой, после суда Галилей сказал: «И всё-таки она вертится!».

В 1687 году Исаак Ньютон опубликовал открытый им закон всемирного тяготения, который позволил выразить теорию движения планет в виде формул и навсегда отказаться от громоздких геометрических построений. Но это уже другая история, о которой мы поговорим с вами позже.

Источник: videouroki.net

Когда речь заходит о теории относительности, частенько на ровном месте разрастаются споры, которые были занесены в почву непонимания и обильно удобрены мифами, недосказанностью и недостаточной математической подготовкой. Даже на лекциях от некоторых профессоров можно услышать, что детище гения Эйнштейна не имеет практической пользы, а на робкие попытки пролепетать что-то про спутниковые системы навигации они пренебрежительно отмахиваются, дескать, там все сложно и двояко.


Так что совершенно естественно желание попробовать провести некоторые расчеты самолично, потрогать формулы, покрутить параметры, чтобы постепенно заложить интуицию в столь горячей теме.


Вся красота и непостижимая мощь общей теории относительности аккуратно упакована в уравнение гравитационного поля Эйнштейна:

R_{munu} + left( Lambda - frac 1 2 R right) g_{munu} = frac{8pi G}{c^4}T_{munu}

Оно говорит, что искривление пространства-времени определяется материей. То есть, гравитация воспринимается не как сила, а как следствие искривленной геометрии царства 4d, а искривления порождены материей (тензор энергии-импульса в правой части уравнения). Движению объекта можно поставить в соответствие траекторию в четырехмерном пространстве-времени — мировую линию. Просто представьте себе четырехмерный брусок в котором статично зависли макаронины: галактики, планеты или молекулы — последние на некоторое мгновение переплетаются, чтобы образовать читателя этой статьи, а затем вновь разносятся в пространстве, очерчивая пути кусочков кожи и турбулентных потоков выдохнутого воздуха.


Вся эта лапша подчинена кривизне пространства-времени, и она же, собираясь в массивные сплетения, эту кривизну задает. Для работы с искривленной геометрией у нас есть математические инструменты: метрический тензор, символы Кристоффеля, тензор кривизны Римана, тензор Риччи и скалярная кривизна. Для того, чтобы создать интуитивный образ, вообразите натянутый кусок ткани деформированный массивным телом…

https://xkcd.com/895/
https://xkcd.com/895/

Хотя есть куда более умозрительный и математически точный вариант в видео A new way to visualize General Relativity:

И давайте тогда сразу приведем список полезных источников для погружения в тему:

видео и книги

Орбиты в геометрии Шварцшильда

Все мы со школьной скамьи приучены к метрике Минковского: решая задачки в евклидовой геометрии, постепенно привыкаешь к плоскому пространству. Но чего нам действительно не хватало, так это построения геодезических линий на глобусе или небесной сфере. Собственно, сферическая симметрия это вотчина метрики Шварцшильда. Гравитационное поле массивного сферического тела, черные дыры — это все сюда. Есть еще разные другие метрики: для заряженных, для вращающихся тел, для расширяющейся вселенной и т. д.

В плоском пространстве-времени все довольно просто:


begin{align} &x = (t, x, y, z)\ &x_alpha x^alpha equiv eta_{alphabeta}x^{alpha}x^{beta}\ &eta_{alphabeta} = mathrm{diag}(-1, 1, 1, 1)\ &mathrm{d} s^2 = eta_{alphabeta}mathrm{d}x^alphamathrm{d}x^beta=-mathrm{d}t^2 + mathrm{d}x^2+ mathrm{d}y^2+ mathrm{d}z^2 \ &mathrm{d}s^2 = - c^2 mathrm{d}tau^2 \ & u^alphaequivfrac{mathrm{d}x^alpha}{mathrm{d}tau} = left(frac{mathrm{d} t}{mathrm{d} tau}, frac{mathrm{d} vec x}{mathrm{d} tau}right) = gammaleft(1, frac{mathrm{d} vec x}{mathrm{d} t}right) end{align}

  1. Событие задается вектором с четырьмя компонентами

  2. Зависящие от наблюдателя пространственно-временные координаты превращаются в инвариантные линейные элементы с помощью тензора метрики (мы держим в уме соглашение Эйнштейна о суммировании и Лоренц-инвариантность)

  3. Тензор метрики Минковского — это диагональная матрица 4х4

  4. Определяем интервал в этом плоском четырехмерьи. Обобщение теоремы Пифагора в искривленное пространство-время.

  5. Записываем его через собственное время — часики-то тикают, и у каждого свои.

  6. Вводим 4d-скорость. dx/dτ — скорость движения в направлении оси Х, dt/dτ — скорость изменения временнóй компоненты и т.д.

Допустим мы хотим решить уравнение Эйнштейна (найти метрический тензор g_{μν} ) для точки на некотором удалении от статичного незаряженного сферического тела. Само по себе решение в лоб трудоемко, но правильный выбор системы координат и учет симметрий чрезвычайно упрощают получение результата. Так что вывод метрики Шварцшильда вполне посильный труд. Получается, расстояние между двумя событиями в пространстве-времени в окрестности массивного сферического тела в вакууме имеет форму

mathrm{d} s^2 = -left(1-frac{2GM}{c^2r}right)(cmathrm{d} t)^2 + left(1-frac{2GM}{c^2 r}right)^{-1} mathrm{d}r^2 + r^2left(mathrm{d}theta^2 + sin^2thetamathrm{d}phi^2right)

Если занулить массу М, получим пустое плоское пространство-время Минковского. Чем ближе мы к массивному телу, тем сильнее ощущаем кривизну. Внутри тела метрика не работает, но если оно компактное, то мы можем найти особое положение, при котором первое слагаемое стремится к нулю, и, соответственно, второе уходит в бесконечность. Как вы догадались, речь идет о радиусе Шварцшильда — горизонте черной дыры. Для разогрева, попробуйте рассчитать в этой метрике замедление времени для искусственного спутника Земли и сравните с результатами какого-нибудь эксперимента.

Запишем тензор метрики в нормальных единицах (c=G=1). Кстати, в этой геометрической системе время и масса имеют размерность длины. Ответьте, чему равен ваш возраст в метрах? А сколько километров весит Солнце?

g={begin{bmatrix}-left(1-displaystyle {frac {2M}{r}}right)&0&0&0\0&left(1-displaystyle {frac {2M}{r}}right)^{-1}&0&0\0&0&r^{2}&0\0&0&0&r^{2}sin ^{2}theta end{bmatrix}}

Воспользуемся симметрией смещения во времени и вращения вокруг оси z, чтобы ввести сохраняющиеся величины:

begin{align} &e equiv -xi^alpha u_alpha = g_{alphabeta}xi^alpha u^beta = left(1-frac{2M}{r}right)frac{mathrm{d}t}{mathrm{d}{tau}} \ &lequiv eta^alpha u_alpha = g_{alphabeta}eta^alpha u^beta = r^2sin^2thetafrac{mathrm{d}phi}{mathrm{d}{tau}}\ &xi^alpha = (1, 0, 0, 0)\ &eta^alpha = (0,0,0,1) end{align}

Это энергия и угловой момент на единицу массы покоя. К слову, они нам еще могут пригодиться, если мы вдруг надумаем поиграть с черными дырами и червоточинами. Итак, сохранение углового момента подразумевает, что орбита лежит в заданной плоскости, что позволяет выбрать для переменной θ конкретное значение, скажем θ = π/2. Чтобы перейти к скоростям, разделим выражение для интервала в метрике Шварцшильда на dτ² и получим выражение для полной энергии тела на орбите

begin{align} &-1=g_{alphabeta}u^alpha u^beta=-left(1-frac{2M}{r}right) left(u^tright)^2 + left(1-frac{2M}{r}right)^{-1} left(u^rright)^2 + r^2 left(u^phiright)^2\ &mathcal E equiv frac{e^2 - 1}{2} = frac{1}{2}left(frac{mathrm{d} r}{mathrm{d} tau}right)^2 + V_{mathrm{eff}}(r)\ &V_mathrm{eff}(r)equiv -frac{M}{r}+frac{l^2}{2r^2}- frac{Ml^2}{r^3}\&V_mathrm{classical}(r)= -frac{M}{r}+frac{l^2}{2r^2} end{align}

Уравнение полной энергии слагается из кинетической и потенциальной, так что у нас есть аналитическое выражение для гравитационного потенциала в релятивистском и классическом случаях.

Давайте их визуализируем! Используем язык Julia (для питонистов в конце тоже будет ссылка).

Код
Дифферент это астрономия

Окей, как и предполагалось, в классической механике существует только два различных типа орбит:

  • замкнутые: эллипсы и круги (орбиты 2 и 3)

  • незамкнутые орбиты рассеяния: гиперболы (орбита 1)

В общей теории относительности существует три типа орбит:

  • спиральные: радиальное погружение (орбита 1)

  • незамкнутые (орбита 2)

  • замкнутые: прецессирующие эллипсы (орбита 3)

Очевидно, устойчивость орбиты определяется характером экстремума.

Уравнения движения

Вспомним формулу полной энергии и запишем ее в привычной размерной форме

begin{align} &mathcal E = frac{1}{2}left(frac{mathrm d r}{mathrm dtau}right)^2 -frac{M}{r}+frac{l^2}{2r^2}- frac{Ml^2}{r^3}\ &E = frac{1}{2}mu^2 + frac{L^2}{2mr^2} - frac{GMm}{r} - frac{GML^2}{c^2mr^3} \ &E=mathcal E m, quad L^2 = l^2m^2 end{align}

Заметим, что при малых скоростях четвертое слагаемое дает пренебрежимо малый вклад, и формула будет описывать классическое орбитальное движение. А дальше, выполнив дифференцирование последних двух слагаемых, имеем радиальную силу

F = -frac{partial }{partial r}left(-frac{GMm}{r} - frac{GML^2}{c^2mr^3}right)=-frac{GMm}{r^2}left(1 + frac{3l^2}{c^2r^2}right)

Опять-таки, в классическом случае, когда скорость света кажется бесконечной, у нас будет обычная формула из школьной физики. Вспомнив второй закон Ньютона, записываем уравнение движения

begin{align} & frac{mathrm{d}^2 rho}{mathrm{d}T^2} =-frac{1}{2rho^2}left(1 + frac{3l^2}{rho^2}right)\ & rhoequiv frac{r}{R_S} = frac{r}{2M_odotmu} quad mathrm{and}quad Tequiv frac{tau}{t_0}\ end{align}

или, на плоскости и с понижением порядка:

begin{align} &frac{mathrm{d}x}{mathrm{d}T}=u,quad frac{mathrm{d}u}{mathrm{d}T}=-frac{Ax}{rho^3}left(1 + frac{B}{rho^2}right)\ &frac{mathrm{d}y}{mathrm{d}T}=v,quad frac{mathrm{d}v}{mathrm{d}T}=-frac{Ay}{rho^3}left(1 + frac{B}{rho^2}right)\ & A = frac 1 2, quad B = 3l^2 end{align}

Здесь появились константы А и В, чтобы можно было переобозначив их легко вернуться к размерным переменным. Четыре дифурки решаем Рунге-Куттой-4:

Код
Дифферент это астрономия

и давайте нарисуем все три типа релятивистских орбит

#Z0 = [0, 10, .1845, 0] Z0 = [0, 10, .1849, 0] n = 5000 tau_max = 142.7 Z = getOrbit(n, tau_max, Z0) p1 = plotOrbit(Z, 1.1)
Дифферент это астрономия
Z0 = [0, 20, 0.1, 0] #Z0 = [0, 10, 0.2, -0.2] #Z0 = [0, 10, .25, 0] #Z0 = [0, 10, 0.2, -.1] #Z0 = [0, 10, .2, 0] n = 5000 tau_max = 4000 Z = getOrbit(n, tau_max, Z0) p2 = plotOrbit(Z, 1.1)
Дифферент это астрономия
#Z0 = [0, 100, 0.05, -0.5] Z0 = [0, 10, 0.2, -.25]  n = 5000 tau_max = 1000 Z = getOrbit(n, tau_max, Z0) p3 = plotOrbit(Z, 1.1)
Дифферент это астрономия

Что будет если стартануть с горизонта событий? С позиции за горизонтом? Что произойдет при достижении r = 0?

Источник: habr.com


You May Also Like

About the Author: admind

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Этот сайт использует Akismet для борьбы со спамом. Узнайте, как обрабатываются ваши данные комментариев.